八年级数学上册 第十三章 轴对称13.4 课题学习 最短路径问题教案2（新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级上册数学教案.doc

13.4 课题学习 最短路径问题

教学目标
1.目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.
2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
教学过程
教学内容与教师活动
学生活动
设计意图
一、创设情景 引入课题
师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
（板书）课题

学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识.
从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.
二、自主探究 合作交流 建构新知
追问1：观察思考，抽象为数学问题
　这是一个实际问题，你打算首先做什么？
活动1：思考画图、得出数学问题
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．

B
。
。A
l

追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地
到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．

l
A

B′
C
B

强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”

活动2：尝试解决数学问题
问题2 ： 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问1　你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？

B
。
。A
l

　问题3 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？
B
。
。A
l

B

l
A

C

师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充
如果学生有困难，教师可作如下提示
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C，则点C 即为所求．
如图所示：

B′

l

C
A
B

问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

教师展示：证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴　AC +BC
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．

B

l
A

B′
C
C′

方法提炼：
将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.
问题4
练习　如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．

A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥

基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”．
问题5 造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

B
A

思维分析：1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？

B
A
Ｍ
Ｎ

思维点拨：改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）
1、把A平移到岸边.
2、把B平移到岸边.
3、把桥平移到和A相连.
4、把桥平移到和B相连.
教师：上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.
1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短. 理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１. 由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１　转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN 如图所示：
B
A

A1
N
Ｎ１
Ｍ１
M

方法提炼：
将最短路径问题转化为“线段和最小问题”

动手画
直线

观察口答

动手连线
观察口答

独立思考
合作交流

汇报交流成果，书写理由.

思考感悟活动1中的将军饮马问题，把刚学过的方法经验迁移过来

学生独立完成，集体订正

学生独立完成，集体订正

互相交流解题经验

独立完成，交流经验

观察思考，动手画图，用轴对称知识进行解决

各抒己见

合作与交流

交流体会

为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.

经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.

达到轴对称知识的学以致用

注意问题解决方法的小结：抓对称性来解决

及时进行学法指导，注重方法规律的提炼总结.

学以致用，及时巩固

注意问题解决方法的小结：抓轴对称来解决

经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.

提炼思想方法：轴对称，线段和最短

体会转化思想，

体验轴对称知识的应用

动手体验

动手作图

体验转化思想
教学内容与教师活动
学生活动
设计意图
三、巩固训练
1、最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．

(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．

2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）

如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处

.

学生独立思考解决问题

独立思考，合作交流.

巩固所学知识，增强学生应用知识的能力，渗透转化思想.

提炼方法，为课本例题奠定基础.
四、反思小结 布置作业
小结反思
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？
你还有哪些收获？

作业布置、课后延伸
必做题：课本P93-15题；选做题：生活中，你发现那些需要用到本课知识解决的最短路径问题
自由发言,相互借鉴.自我评价.

总结回顾学习内容，帮助学生归纳反思所学知识及思想方法.

关注学生的个体差异.
13.4 最短路径问题

两点的所有连线中，线段最短”、
“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．
方法提炼：
将最短路径问题转化为“线段和最小问题”
板书设计：

教学反思：