吴赣昌 第五版 经管类概率论与数理统计课后习题 完整版.doc

随机事件及其概率
1.1 随机事件
习题1试说明随机试验应具有的三个特点．

习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.

现习题9

1.2 随机事件的概率

1.3 古典概型

现习题3

现习题4

现习题5

现习题6

现习题7

现习题8

现习题9

现习题10

1.4 条件概率

习题3 空
现习题4

1.5 事件的独立性

现习题6

现习题7

现习题8

总习题1

习题3. 证明下列等式：

习题4.

现习题5

习题6.

习题7

习题8

习题9

习题10

习题11

现习题12

习题13

习题14

习题15

习题16

习题17

习题18

习题19

习题20

习题21

习题22

现习题23

现习题24

第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量
习题1随机变量的特征是什么？
解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.
②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.
③随机变量取特定值的概率大小是确定的.
习题2试述随机变量的分类.
解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.
习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.

2.2 离散型随机变量及其概率分布
习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ.

习题2
设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,
试求(1)P{123}.

习题3
一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.

习题4 (空)
习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：
X
10
20
30
40
pi
0.15
0.25
0.45
0.15
求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.

习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：
(1)X的概率分布； (2)P{X≥5};
(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?

习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.

习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布.

习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.

习题10 纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005,在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.

习题11设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.

2.3 随机变量的分布函数
习题1.解答：离散.
由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.
习题2

习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,
试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.

习题4

习题5

习题6在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.

2.4 连续型随机变量及其概率密度
习题1

习题2

习题3

习题4

习题5设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.

习题6

习题7 (空)
习题8

习题9

习题10

习题11

2.5 随机变量函数的分布
习题1

习题2

习题3

习题4

习题5

习题6

总习题二
1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

9、

10、

11、

12、

13、

14、

15、

16、

17、

18、

19、

20、

第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量及其分布
1、

2、
⑴

⑵

⑶

3、⑴

⑵

⑶

4、

5、

6、

7、

8、

9、

3.2 条件分布与随机变量的独立性
1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

3.3 二维随机变量函数的分布
1、

2、

7、

4、

复习总结与总习题解答
1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

9、

10、

11、

12、

13、

14、（空）
15、

16、

17、

第四章 随机变量的数字特征
4.1 数学期望
1、

2、

3、

4

5、

6、

7、

8、

9、

10、

11、

4.2 方差
1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

4.3 协方差与相关系数
1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

4.4 大数定理与中心极限定理
1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

9、

10、

11、

总习题四解答
1、

2、

3、

4、

5、

6、
X表示每件产品的利润，则X取-2,10, 求每件产品的平均利润，即X的数学期望.E(X)=-2×0.1+10×0.9=8.8.
7、

8、

9、

10、

11、

12、

13、

14、

15、

故cov(X,Y)=0.

16、

17、

18、

19、

20、

21、

22、

23、

24、

25、

第五章 数理统计的基础知识
5.1 数理统计的基本概念
习题1
已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布(λ未知), X1,X2,⋯,Xn为X的样本，则().
(A)1/n∑i=1nXi-λ2是一个统计量； (B)1/n∑i=1nXi-E(X)是一个统计量；
(C)X1+X2是一个统计量； (D)1/n∑i=1nXi^2-D(X)是一个统计量.
解答： 应选(C). 由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.(A)(B)(D)中均含未知参数.
习题2
观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位(单位：cm), 得到如下表中所列的数据. 按区间[70,80),[80,90),⋯,[150,160), 将100个数据分成9个组，列出分组数据计表(包括频率和累积频率), 并画出频率累积的直方图. 解答：
分组数据统计表
组序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
组限
组中值
组频率
组频率%
累计频率%
70~80
75
3
3
3
80~90
85
9
9
12
90~100
95
13
13
25
100~110
105
16
16
41
110~120
115
26
26
67
120~130
125
20
20
87
130~140
135
7
7
94
140~150
145
4
4
98
150~160
155
2
2
100
频率直方图见图(a),累积频率直方图见图(b).
习题3
测得20个毛坯重量(单位：g),列成如下简表：
毛坯重量 185 187 192 195 200 202 205 206
频数 1 1 1 1 1 2 1 1

毛坯重量 207 208 210 214 215 216 218 227
频数 2 1 1 1 2 1 2 1
将其按区间[183.5,192.5),⋯,[219.5,228.5)组，列出分组统计表，并画出频率直方图.
解答： 分组统计表见表
组序号 1 2 3 4 5
组限 183.5,∼192.5 192.5,∼201.5 201.5,∼210.5 210.5,∼219.5 219.5,∼228.5
组中值 188 197 206 215 224
组频数 3 2 8 6 1
组频率/% 15 10 40 30 5
频率直方图见下图
习题4
某地区抽样调查200个居民户的月人均收入，得如下统计资料：
月人均收入(百元) 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 合计
户数 18 35 76 24 19 14 14 200
求样本容量n,样本均值X¯，样本方差S^2.
解答：
对于抽到的每个居民户调查均收入，可见n=200. 这里，没有给出原始数据，而是给出了整理过的资料(频率分布), 我们首先计算各组的“组中值”，然后计算X¯和S2的近似值：
月人均收入(百元) 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 合计
组中值ak 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 -
户数fk 18 35 76 24 19 14 14 200
X¯=1n∑kakfk=1200(5.5×18+⋯+11.5×14)=7.945,
S2≈1n-1∑k(akX¯)2fk=1n-1∑kak2fk-X¯2 =1199(5.52×18+⋯+11.52×14)-7.945
≈66.0402-63.123025=2.917175.
习题5
设总体X服从二项分布B(10,3100),X1,X2,⋯,Xn为来自总体的简单随机样本，
X¯=1n∑i=1nXi与Sn2=1n∑i=1n(Xi-X¯)2
分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E(X¯),E(S2).
解答：
由X∼B(10,3100), 得
E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=2911000,
所以
E(X¯)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.
习题6
设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料
日售出台数k 2 3 4 5 6 合计
天数fk 20 30 10 25 15 100
求样本容量n,经验分布函数Fn(x). 解答：
(1)样本容量n=100; (2)经验分布函数
Fn(x)={0,x<20.20,2≤x<30.50,3≤x<40.60,4≤x<50.85,5≤x<61,x≥6.
习题7
设总体X的分布函数为F(x), 概率密度为f(x),X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的一个样本，记
X(1)=min1≤i≤n(Xi),X(n)=max1≤i≤n(Xi),
试求X(1)和X(n) 各自的分布函数和概率密度.
解答：
设X(1)的分布函数和概率密度分别为F1(x)和f1(x), X(n)的分布函数和概率密度分别为
Fn(x)和fn(x), 则
Fn(X)=P{X(n)≤x}=P{X1≤x,⋯,X(n)≤x} =P{X1≤x}P{X2≤x}⋯P{Xn≤x}=[F(x)]n, fn(x)=F′n(x)=n[F(x)]n-1f(x),
F1(x)=P{X(1)≤x}=1-P{X(1)>x}1-P{X1>x,X2>x,⋯,Xn>x} =1-P{X1>x}P{X2>x}⋯P{Xn>x}
=1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]⋯[1-P{Xn≤x}] =1-[1-F(x)]n,
F′1(x)=f1(x)=n[1-F(x)]n-1f(x).
习题8
设总体X服从指数分布e(λ),X1,X2是容量为2的样本，求X(1)，X(2)的概率密度.
解答：
f(x)={λe-λx,x>00,其它, F(x)={1-e-λx,x>00,x≥0,
X(2)的概率密度为
f(2)(x)=2Fx)f(x)={2λe-λx(1-e-λx),x>00,其它,
又X(1)的概率密度为
f(1)(x)=2[1-F(x)]f(x)={2λe-2λx,x>00,其它.
习题9
设电子元件的寿命时间X(单位：h)服从参数λ=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求：
(1)没有元件在800h之前失效的概率； (2)没有元件最后超过3000h的概率.
解答：
(1)总体X的概率密度f(x)={(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它,
分布函数F(x)={1-e-0.0015x,x>00,其它,
{没有元件在800h前失效}={最小顺序统计量X(1)>800}, 有
P{X(1)>800}=[P{X>800}]6=[1-F(800)]6
=exp(-0.0015×800×6)=exp(-7.2)≈0.000747.
(2){没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X(6)<3000}
P{X(6)<3000}=[P{X<3000}]6=[F(3000)]6 =[1-exp{-0.0015×3000}]6=[1-exp{-4.5}]6 ≈0.93517.
习题10
设总体X任意，期望为μ,方差为σ2, 若至少要以95%的概率保证∣X¯-μ∣<0.1σ, 问样本容量n应取多大？ 解答：
因当n很大时，X¯-N(μ,σ2n), 于是
P{∣X¯-μ∣<0.1σ}=P{μ-0.1σ的正数a(0
1-a=P{F>F1-a(n1,n2)}=P{1F<1F1-a(n1,n2)=1-P{1F>1F1-a(n1,n2)
由于1F∼F(n2,n1), 所以
P{1F>1F1-a(n1,n2)=P{1F>Fa(n2,n1)=a,
即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是对的.
习题2(1)
2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (1)X1-X2X32+X42; 解答：
因为Xi∼N(0,1),i=1,2,⋯,n, 所以：
X1-X2∼N(0,2), X1-X22∼N(0,1), X32+X42∼χ2(2),
故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422∼t(2).
习题2(2)
2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (2)n-1X1X22+X32+⋯+Xn2; 解答：
因为Xi∼N(0,1),∑i=2nXi2∼χ2(n-1), 所以
n-1X1X22+X32+⋯+Xn2=X1∑i=2nXi2/(n-1)∼t(n-1).
习题2(3)
2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (3)(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2. 解答：
因为∑i=13Xi2∼χ2(3),∑i=4nXi2∼χ2(n-3), 所以：
(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/(n-3)∼F(3,n-3).
习题3
设X1,X2,X3,X4是取自正态总体X∼N(0,22)的简单随机样本，且
Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,
则a=?,b=?时，统计量Y服从χ2分布，其自由度是多少？
解答：
解法一 Y=[a(X1-2X2)]2+[b(3X3-4X4)]2, 令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4), 则
Y=Y12+Y22,
为使Y∼χ2(2), 必有Y1∼N(0,1),Y2∼N(0,1), 因而
E(Y1)=0,D(Y1)=1, E(Y2)=0,D(Y2)=1,
注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4, 由
D(Y1)=D[a(X1-2X2)]=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2)) =a(4+4×4)=20a=1,
D(Y2)=D[b(3X3-4X4)]=bD(3X3-4X4)
=b(9D(X3)+16D(X4))=b(4×9+16×4)=100b=1, 分别得a=120,b=1100. 这时Y∼χ2(2), 自由度为n=2.
解法二 因Xi∼N(0,22)且相互独立，知
X1-2X2=X1+(-2)X2∼N(0,20), 3X3-4X4=3X3+(-4)X4∼N(0,100),
故X1-2X220∼N(0,1),3X3-4X4100∼N(0,1), 为使
Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)2∼χ2(2),
必有X1-2X21/a∼N(0,1),3X3-4X41/b∼N(0,1), 与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是 1a=20,1b=100, 即a=120,b=1100.
习题4
设随机变量X和Y 相互独立且都服从正态分布N(0,32). X1,X2,⋯,X9和Y1,Y2,⋯,Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量
T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92
服从自由度为9的t分布.
解答：
首先将Xi,Yi分别除以3, 使之化为标准正态. 令X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,⋯,9, 则
X′i∼N(0,1),Y′i∼N(0,1);
再令X′=X′1+X′2+⋯+X′9, 则X′∼N(0,9),X′3∼N(0,1),
Y′2=Y′12+Y′22+⋯+Y′92, Y′2∼χ2(9).
因此
T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92=X1′+X2′+⋯+X9′Y′12+Y′22+⋯+Y′92=X′Y′2=X′/
3Y′2/9∼t(9),
注意到X′,Y′2相互独立.
习题5
设总体X∼N(0,4), 而X1,X2,⋯,X15为取自该总体的样本，问随机变量
Y=X12+X22+⋯+X1022(X112+X122+⋯+X152)
服从什么分布？参数为多少？ 解答：
因为Xi2∼N(0,1), 故Xi24∼χ2(1),i=1,2,⋯,15, 而X1,X2,⋯,X15独立，故
X12+X22+⋯+X1024∼χ2(10),X112+X122+⋯+X1524∼χ2(5),
所以
X12+X22+⋯+X1024/10X112+X122+⋯+X1524/5=X12+X22+⋯+X1022(X112+X122+
⋯+X152)=Y
习题6
证明：若随机变量X服从F(n1,n2)的分布，则
(1)Y=1X服从F(n2,n1)分布；(2)并由此证明F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).
解答：
(1)因随机变量X服从F(n1,n2), 故可设X=U/n1V/n2, 其中U服从χ2(n1),V服从χ2(n2), 且U与V相互独立，设1X=V/n2U/n1, 由F分布之定义知
Y=1x=V/n2U/n1,
服从F(n2,n1).
(2)由上侧α分位数和定义知
P{X≥F1-α(n1,n2)}=1-α,P{1X≤1F1-α(n1,n2)=1-α,
即P{Y≤1F1-α(n1,n2)=1-α,1-P{Y>1F1-α(n1,n2)=1-α, 故
P{Y>1F1-α(n1,n2)=α,
而P{Y≥Fα(n2,n1)}=α.
又Y为连续型随机变量，故P{Y≥1F1-α(n1,n2)=α, 从而
Fα(n2,n1)=1F1-α(n1,n2),
即F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).
习题7
查表求标准正态分布的上侧分位数：u0.4,u0.2,u0.1与u0.05. 解答：
u0.4=0.253, u0.2=0.8416, u0.1=1.28,u0.05=1.65.
习题8
查表求χ2分布的上侧分位数：χ0.952(5), χ0.052(5), χ0.992(10)与χ0.012(10). 解答：
1.145, 11.071, 2.558, 23.209.
习题9
查表求F分布的上侧分位数：F0.95(4,6),F0.975(3,7)与F0.99(5,5). 解答：
0.1623,0.0684,0.0912.
习题10
查表求t分布的下侧分位数：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)与t0.005(10). 解答：
2.353,3.3651.415,3.169.
5.3 抽样分布
习题1
已知离散型均匀总体X,其分布律为
X 2 4 6
Pi 1/3 1/3 1/3
取大小为n=54的样本，求：
(1)样本平均数X¯落于4.1到4.4之间的概率； (2)样本均值X¯超过4.5的概率.
解答：
μ=E(X)=13×(2+4+6)=4,
σ2=E(X2)-[E(X)]2=13×(22+42+66)-42=83,
所以
μX¯=μ=4, σX¯2=σ2n=8/354=481, σX¯=29.
令Z=X¯-42/9, 则n充分大时，Z∼近似N(0,1)
(1)P{4.14.5}=P{Z>4.5-42/9=1-P{Z≤2.25}
≈1-Φ(2.25)=1-0.9878=0.0122.
习题2
设总体X服从正态分布N(10,32),X1,X2,⋯,X6是它的一组样本，设 X¯=16∑i=16Xi.
(1)写出X¯所服从的分布；(2)求X¯>11的概率.
解答：
(1)X¯∼N(10,326), 即X¯∼N(10,32). (2)P{X¯>11}=1-P{X¯≤11}=1-Φ(11-1032)
≈1-Φ(0,8165)≈1-Φ(0.82)=0.2061.
习题3
设X1,X2,⋯,Xn是总体X的样本，X¯=1n∑i=1nXi, 分别按总体服从下列指定分布求
E(X¯),D(X¯).
(1)X服从0-1分布b(1,p); (2)*X服从二项分布b(m,p); (3)X服从泊松分布P(λ); (4)X服从均匀分布U[a,b]; (5)X服从指数分布e(λ).
解答：
(1)由题意，X的分布律为：
P{X=k}=Pk(1-P)1-k(k=0,1).
E(X)=p,D(X)=p(1-p).
所以
E(X¯)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=1n⋅np=p,
D(X¯)=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nD(X1)=1n2⋅np(1-p)=1np(1-p).
(2)由题意，X的分布律为：
P{X=k}=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,⋯,m).
同(1)可得
E(X¯)=mp,D(X¯)=1nmp(1-p).
(3)由题意，X的分布律为：
P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0,k=0,1,2,⋯).
E(X)=λ,D(X)=λ.
同(1)可得
E(X¯)=λ,D(X¯)=1nλ.
(4)由E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212, 同(1)可得
E(X¯)=a+b2,D(X¯)=(b-a)212n.
(5)由E(X)=1λ,D(X)=1λ2, 同(1)可得
D(X¯)=1λ,D(X¯)=1nλ2.
习题4
某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求：
（1）容量为9的随机样本平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率； （2）容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。 解答：
（1）由题意知X¯∼N(5,1n),n=9，则标准化变量 Z=X¯-51/9=X¯-51/3∼N(0,1).
而 P{4.4分别是两个独立总体N(0,16)和N(1,9)的样本，以X¯和Y¯分别表示两个样本均值，求P{∣X¯-Y¯∣>1}. 解答：
X¯∼N(0,1616)，Y¯∼N(1,925)，X¯-Y¯∼N(-1,1+925)，即
X¯-Y¯∼N(-1,3425)． 标准化变量X¯-Y¯，令Z=X¯-Y¯34/5∼N(0,1)，所以
P{∣X¯-Y¯∣>1}=1-P{∣X¯-Y¯∣≤1}=1-P{-1≤X¯-Y¯≤1} =1-P{0≤X¯-Y¯+134/5≤234/5 ≈1-Φ(1.715)+Φ(0) =1-0.9569+0.5=0.5431．
习题6
假设总体X服从正态分布N(20,32), 样本X1,⋯,X25来自总体X, 计算
P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182.
解答：
令Y1=∑i=116Xi,Y2=∑i=1725Xi, 由于X1,⋯,X25相互独立同正态分布N(20,32), 因此有
Y1与Y2相互独立，且Y1∼N(320,122), Y2∼N(180,92),
Y1-Y2∼N(140,152), {∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182=P{Y1-Y2≤182}, =P{Y1-Y2-14015≤2.8≈Φ(2.8)=0.997.
习题7
从一正态总体中抽取容量为n=16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为0.01, 试求总体的标准差. 解答：
设总体X∼N(μ,σ2), 样本均值为X¯,则有
X¯-μσ/n=X¯-μσ/4∼N(0,1).
因为
P{∣X¯-μ∣>2}=P{∣X¯-μσ/4∣>8σ=2P{Z>8σ=2[1-Φ(8σ)]=0.01,
所以Φ(8σ)=0.995.
查标准正态分布表，得8σ=2.575, 从而σ=82.575=3.11.
习题8
设在总体N(μ,σ2)中抽取一容量为16的样本，这里μ,σ2均为未知.
(1)求P{S2/σ2≤2.041}, 其中S2为样本方差； (2)求D(S2).
解答：
(1)因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知
(n-1)S2σ2∼χ2(n-1).
这里n=16, 于是
P{S2/σ2≤2.041}=P(15S2σ2≤15×2.041)
=1-P{15S2σ2>30.615(查χ2分布表可得) =1-0.01=0.99.
(2)因为(n-1)S2σ2∼χ2(n-1), 又知
D((n-1)S2σ2)=2(n-1)
所以
D(S2)=σ4(n-1)2D((n-1)S2σ2)=σ4(n-1)2⋅2(n-1)=2n-1σ4=215σ4
(因为n=16).
习题9
设总体X∼N(μ,16),X1,X2,⋯,X10为取自该总体的样本，已知P{S2>a}=0.1, 求常数a. 解答：
因为(n-1)S2σ2∼χ2(n-1),n=10,σ=4, 所以P{S2>a}=P{9S216>916a=0.1.
查自由度为9的χ2分布表得，916a=14.684, 所以a≈26.105.
习题10
设X1,X2,⋯,Xn和Y1,Y2,⋯,Yn分别取自正态总体
X∼N(μ1,σ2)和Y∼N(μ2,σ2)
且相互独立，问以下统计量服从什么分布？
(1)(n-1)(S12+S22)σ2; (2)n[(X¯-Y¯)-(μ2-σ2)]2S12+S22.
解答：
(1)由(n-1)S12σ2∼χ2(n-1), (n-1)S22σ2∼χ2(n-1), 由χ2(n)的可加性
(n-1)(S12+S22)σ2∼χ(2(n-1)).
(2)X¯-Y¯∼N(μ1-μ2,2σ2n), 标准化后(X¯-Y¯)-(μ1-μ2)σ2n∼N(0,1), 故有
[(X¯-Y¯)-(μ1-μ2)]22σ2n∼χ21),
又由(n-1)(S12+S22)σ2∼χ2(2n-2), 注意F分布定义
[(X¯-Y¯)-(μ1-μ2)]21n2σ2/1(n-1)(S12+S22)σ2/2(n-1)=n[(X¯-Y¯)-(μ1-μ2)]2S1
习题11
分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差不小于第二个样本方差的两倍的概率. 解答：
用S12和S22分别表示两个样本方差，由定理知
F=S12/σ12S22/σ22=S12/20S22/35=1.75S12S22∼F(8-1,10-1)=F(7,9).
又设事件A={S12≥2S22}, 下面求