空间向量与立体几何.doc

一、知识点
<一>常用结论
1．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.
3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.
4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.
7.夹角公式 ：设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=.
8．异面直线所成角：=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
9.直线与平面所成角：(为平面的法向量).
10.二面角的平面角
或（，为平面，的法向量）.
11.空间两点间的距离公式 若A，B，则=.
12.异面直线间的距离： (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
13.点到平面的距离：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
14.三个向量和的平方公式：

15. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
116. 面积射影定理 .(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的).
117. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长
〈二〉温馨提示：
1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？
① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.
② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．
③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．
〈三〉解题思路：
1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线面平行的判定：
线面平行的性质：

三垂线定理（及逆定理）：

线面垂直：

面面垂直：

2、三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
二、题型与方法
【考点透视】
不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。
求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。
【例题解析】
考点1 点到平面的距离
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.
例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的
大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维
能力和运算能力．
解答过程：解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
平面．
连结，在正方形中，分别为
的中点， ， ．
在正方形中，， 平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
， 为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又， ．
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由，得，
．
点到平面的距离为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．
平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，． ，，

令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，
．
点到平面的距离．
小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.
考点2 异面直线所成的角
此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.
例2、如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．
（I）求证：平面平面；
（II）求异面直线与所成角的大小．

思路启迪：（II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.
解答过程：解法1：（I）由题意，，，
是二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
异面直线与所成角的大小为．

解法2：（I）同解法1．
（II）建立空间直角坐标系，如图，则，
，，
．
异面直线与所成角的大小为．
小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：.
考点3 直线和平面所成的角
此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.
例3. 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

考查目的：本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，
二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．

解答过程：解法一：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，
得底面．
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，
由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，
故，由，，，得
，．
的面积．
连结，得的面积
设到平面的距离为，由于，得
，解得．
设与平面所成角为，则．
所以，直线与平面所成的我为．
解法二：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．

又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
，，，，，
，，所以．
（Ⅱ）取中点，，
连结，取中点，连结，．
，，．
，，与平面内两条相交直线，垂直．
所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．
，．
，，
所以，直线与平面所成的角为．
小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.
考点4 二面角
此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视.
例4．如图，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．
（I）证明；
（II）求二面角的大小．
命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

过程指引：（I）在平面内过点作于点，连结．
因为，，所以，
又因为，所以．
而，所以，，
从而，又，
所以平面．因为平面，故．
（II）解法一：由（I）知，，又，，
，所以．
过点作于点，连结，由三垂线定理知，．
故是二面角的平面角．
由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，
不妨设，则，．
在中，，所以，
于是在中，．
故二面角的大小为．
解法二：由（I）知，，，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为，所以是和平面所成的角，则．
不妨设，则，．
在中，，
所以．
则相关各点的坐标分别是
，，，．
所以，．
设是平面的一个法向量，由得
取，得．
易知是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，由图可知，．
所以．
故二面角的大小为．
小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.
考点5 利用空间向量求空间距离和角
众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性.
例5．如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．
（1求证：四点共面；
（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面；
（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．

命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．
过程指引：解法一：
（1）如图，在上取点，使，连结，，则，．
因为，，所以四边形，都为平行四边形．
从而，．
又因为，所以，故四边形是平行四边形，由此推知，从而．
因此，四点共面．
（2）如图，，又，所以，
．
因为，所以为平行四边形，从而．
又平面，所以平面．
（3）如图，连结．
因为，，所以平面，得．
于是是所求的二面角的平面角，即．
因为，所以
， ．
解法二：
（1）建立如图所示的坐标系，则，，，
所以，故，，共面．
又它们有公共点，所以四点共面．
（2）如图，设，则，
而，由题设得，
得．
因为，，有，
又，，所以，，从而，．
故平面．
（3）设向量截面，于是，．
而，，得，，解得，，所以．
又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．
于是．
故．
小结：向量法求二面角的大小关键是确定两个平面的法向量的坐标，再用公式求夹角；点面距离一般转化为在面BDF的法向量上的投影的绝对值.

18