1、空间向量练习题
1. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD
的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的
坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
P（0，0，2）,
（Ⅰ）证明 因为，
平面PAB的一个法向量是，
所以共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为平面PBE，
故平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)解 易知
设是平面PBE的一个
2、法向量，则由得
所以
设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
2. 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有
棱长都为2，D为CC1中点。
（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；
（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；
（Ⅰ）证明 取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
x
z
A
B
C
D
O
3、
F
y
，．
平面．
（Ⅱ）解 设平面的法向量为．
，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
（Ⅲ）解 由（Ⅱ），为平面法向量，
．
点到平面的距离．
A
C
D
O
B
E
y
z
x
3.如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（1）求证：平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）求点E到平面ACD的距离．
⑴ 证明 连结OC
，．
在中，由已知可得
而，
A
C
D
O
B
4、
E
y
z
x
即
∴平面．
(2)解 以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
，
∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为．
⑶解 设平面ACD的法向量为则
，
∴，令得是平面ACD的一个法向量．
又 ∴点E到平面ACD的距离 ．
4.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐
5、标系如图。
则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分
（Ⅰ）,
因为，
所以CM⊥SN ……6分
（Ⅱ）,
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则 ……9分
因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。 ……12分
5. 如图，在三棱柱中，已知学，，，，，网，侧面，
（1）求直线C1B与底面ABC所成角正切值；
（2）在棱（不包含端点上确定一点的位置,
使得(要求说明理
6、由).
（3）在（2）的条件下,若，求二面角的大小.
解：（1）在直三棱柱中， 在平面上的射影为.
为直线与底面所成角. …………
，
即直线与底面所成角正切值为2. …………
（2）当E为中点时，.
，即 …………
又，
，， …………
（3）取的中点，的中点，则∥，且，
连结，设，连结，
则∥，且
为二面角的平面角. …………
，
∴二面角的大小为45° …………
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
