喀兴林高等量子力学习题EX1.矢量空间.doc

EX1.矢量空间
练习 1.1 试只用条件（1）~（8）证明，和。
（完成人：梁立欢 审核人：高思泽）
证明：由条件（5）、（7）得

只需证明和这两式互相等价
根据条件（7）

现在等式两边加上，得

根据条件（4），
上式左
根据条件（4）、（2）
上式右

由，根据条件（4）、（7）得

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练习 1.2 证明在内积空间中若对任意成立，则必有。
（完成人：谷巍 审核人：肖钰斐）
证明 由题意可知，在内积空间中若对任意成立，则有
,－,=0 (1)
于是有
(2)
由于在内积空间中对任意成立，则可取,则有
=0 成立 （3）
根据数乘的条件（12）可知，则必有
（4）
即
故命题成立，即必有.
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练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。
（完成人：赵中亮 审核人：张伟）
解：矢量空间运算的12个条件是独立的。
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练习 1.4 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角的分角线方向，空间是否仍为内积空间？
（2）在第二个例子中若将二矢量内积的定义改为或，空间是否仍为内积空间？
（3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为

空间是否仍为内积空间？
（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为

空间是否仍为内积空间？
（完成人：张伟 审核人：赵中亮）
解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。
因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元，如一个不为零的矢量设为，则任意矢量和它相加后，得到的矢量的长度不为零，所以一定不能得到零矢量，即找不到逆元。所以空间不是内积空间。
（2）在第二个例子中若将内积的定义改之后，空间不是一个内积空间。证明如下：
一般情况下，,即有
=
所以内积的定义改变之后不是内积空间。
（3）在第三个例子中若将内积的定义改之后，空间仍然是一个内积空间。证明如下：
i
ii．

iii．

iv.，对任意成立
若
综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间
（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为
后，空间不是内积空间。
因为，积分号内的函数是一个奇函数，它不能保证对于任意的积分出来后都大于零，即不符合条件(12)，所以不是内积空间。
在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为
后，空间是内积空间。
证明如下:
i
ii iii
iv
若，则必有
综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间。
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练习 1.5若a为复数，证明若时，Schwartz不等式中的等号成立。
（完成人：肖钰斐 审核人：谷巍）
证明：当若时，分别带入Schwartz不等式的左边和右边。
左边=
右边=
左边=右边，说明当时，Schwartz不等式中的等号成立。
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练习1.6 证明当且仅当 对一切数成立时，与正交。并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。
（完成人：赵中亮 审核人：张伟）
证明：解：当对一切数成立时，有

即
得
即

因为可以取一切数,所以当取纯虚数时，即
得
由此得只能是实数
当取非零实数时，即

只有时，即与正交时才成立
所以 当 对一切数成立时，与正交。

当与正交时，
则
取为任意数
则

得
即 对一切数成立
综上，当且仅当 对一切数成立时，与正交。
在三维位形空间中，这一命题的几何意义是：对角线相等的平行四边形是矩形。
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练习1.7 证明：当且仅当对一切数成立时，与正交。
（完成人：班卫华 审核人：何贤文）
证明：因为，两边平方得

则构成以为变量的二次函数，要使对一切成立，判别式恒小于等于零，
即

只需

即

得

所以当对一切数成立时，与正交。

练习1.8在四维列矩阵空间中，给定四个不正交也不全归一的矢量：

它们构成一个完全集，试用Schmidt方法求出一组基矢。
（完成人：肖钰斐 审核人：谷巍）
解：由Schmidt方法，所求基矢：

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练习1.9 在上题中，改变四个的次序，取

重新用Schmidt方法求出一组基矢。
（完成人：何贤文 审核人：班卫华）
解：由空间中不满足正交归一条件的完全集{}，求这个空间的一组基矢{}.
（1）首先取为归一化的：

（2）取，选择常数使与正交，即

得
，
取为归一化的：

（3）取，选择常数和使与正交，即

归一化的为

（4）取，选择常数使与已选定的正交，即

归一化的为

则找到一组基矢为 {}.
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练习 1.10 在三维位形空间中，，，是在互相垂直的x，y，z三个轴上的单位矢量。取三个归一化的矢量： （高思泽）

在内积就是点乘积的定义下它们并不正交。现在改变正交的定义：定义这三个矢量，，互相正交。
1. 证明：定义一个归一化的完全集里面的矢量彼此互相正交，等于定有一种内积规则。
2. 求出这个新的内积规则，即将任意两个矢量，的内积表为和的函数。
3. 验证所求的内积规则符合条件（9）～（12）。
4. 用验证所求出的内积规则。

1证明：
在一个归一化的完全集里面的矢量集合里，任意的两个矢量正交，根据矢量的正交 性定义，两个矢量ψ和φ的内积为零，即。

2解：
由，，与，，的关系，可得到如下变换：

由上面的关系得：

由此，

定义，，互相正交，有矢量的正交性，得

由此可得

3 证明：

当时，只有x,y,z都同时等于0才能满足，即。
综上所述，所求的内积规则符合条件（9）～（12）。

4，见（2）
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练习1.11 在n维空间中，已知，i=1,2,3.....,n是一组完全集（不一定正交），现在有n个矢量，i=1,2,3.....,n（也不一定正交），定义
D=
证明线性相关的必要和充分条件维D=0。
（完成人：何贤文 审核人：班卫华）

解：对于矢量空间的n个矢量的集合，有，此式是关于n个矢量的集合的齐次方程组
（1）
若线性相关，则满足至少有一组非零解，则要求：

即
D=0
若D=0，则方程（1）必有非零解，即满足有一组不为零的复数使得

故线性相关。
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练习 1.12 一个矢量空间有两个不同的子空间S1 和S2，证明除去以下两种情况外，包括S1的全部元和S2的全部元的那个集合并不是子空间：
（1 S1是S2的子空间或S2是S1的子空间；
（2 S1和S2其中之一只含有零矢量一个元。
（完成人：张伟 审核人：赵中亮）
证明：（1）设子空间S1 和S2的维数分别为m，n，它们共同的基矢的个数为个，当S1不是S2的子空间且S2不是S1的子空间时，它们之间含有不同的基矢。
则当S1空间的一个矢量和S2空间的一个矢量做加法的时，它们得到的矢量并不能一定在包括S1的全部元和S2的全部元的那个集合中找到，因为加法后得到的矢量的维数可以大到维，而
所以包括S1的全部元和S2的全部元的那个集合并不是矢量空间，从而不是子空间。
（2）当S1和S2其中之一只含有零矢量一个元时，它必然是另一个子空间的子空间，由此可见(2)只不过是（1）的特例，显然得证。
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练习1.13 阅读狄拉克的《量子力学原理》§6，分析他建立左矢空间的方法与我们的方法有什么共同点和不同点.
（完成人：梁立欢 审核人：高思泽）
分析：
本书从空间的方向入手建立左矢量。我们对现有的一个矢量空间定义了其中矢量的加法、数乘和标量积运算，称此空间为单一空间。现在对照这个空间再建以下两个空间。一个叫右矢空间，它的构造同单一空间完会一样，每一个矢量（即右矢）都与单一空间里的矢量相对应，这些右矢有加法和数乘的运算，其定义和规则与单一空间相同。第二空间比照右欠空间来建立，称为左矢空间，其实右矢空间的每一个矢量在左矢空间都有一个左矢与其相对应。， 左矢空间中的事情不能随意去规定，需要同右矢空间的事情相互协调，它们通过标量积联系起来。这样建立的左矢空间是一个完全确定的（即有明确加法和数乘运算规则的）欠量空间。
狄拉克是从对偶矢量的方向入手建立左矢量。假定有一个数C。它是右矢量的函数， 就是说，对每一个右矢量有一个函数C与之相应，并且进一步假定此函数是线性函数， 其意义是，相应于的数等于相应于的数与相应于的数之和，相应于的数是相应于的数的倍，其中是任意的数字因子。这样，相应于任何的数C，就可以看成是与某个新矢量的标量积，对右矢量的每一线性函数就有一个这样的新矢量。我们把这种新矢量称为“左矢量”或简称“左矢”。 在此引入的左矢量，是与右矢量完全不同的另一类矢量，而且直到现在。除了左矢量与右矢量之间存在着标量积以外，两者之间还没有任何联系。现在作一个假定：在左矢量与右矢量之间有一一对应关系。使得相应于的左矢是相应于的左矢与相应于的左矢之和。而相应于的左矢则是相应于的左矢乘以，是c的共轭复数，相应的左矢可写成。
从以上两种方法来看，它们是从不同的方向来建立左矢空间的，在此过程中，都对矢量关系和运算问题进行了一些假定（或规定），并且所建立的左矢空间和右矢空间都是通过定义的标量积联系起来。
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练习 1.14 证明：与所有左矢的内积均已给定（但给定值应满足内积条件（9）~（12））的右矢是一个确定的右矢（即必定存在而且只有一个）。
（完成人：谷巍 审核人：肖钰斐）
证明 设右矢和与所有左矢的内积均已给定,且内积均为C.则有
（1）
（2）
根据内积条件（10）的第一式，由（1）－（2），则有
（3）
因为是任意的左矢，故知括号内为，即
(4)
(5)
故与所有左矢的内积均已给定的右矢是一个确定的右矢（即必定存在而且只有一个）.定理得证.