2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准.doc

2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）

一、选择题（每小题6分，共36分）
1．已知集合，则集合中所有元素的和为（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】 B
【解答】由，得。又。因此。
所以，集合中所有元素的和为0。
2．已知正三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解答】设，则三棱锥外接球的半径。
（第2题图）
由得。
∴ ，三棱锥的体积。

3．已知为实数，若存在实数，使得，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解答】 由，得
∵ ，
∴ ，即，解得或。
∴ 的取值范围为。
4．、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）
（1）对、外任意一点，存在过点且与、都相交的直线；
（2）若，，，则；
（3）若，，且，则；
（4）若，，，，则。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 B
（第4题图）
【解答】（1）不正确。如图，在正方体中，取为直线，为直线。过点的直线如果与直线相交，则在内，此时与直线不相交。
（2）、（3）正确。
（4）不正确。如图，正方体的面内取两条与平行的直线，如图中的直线与，则有，，，，但与面相交而不平行。

5．已知函数，若对任意实数均有，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 A
【解答】 依题意，的图像关于直线对称。
∴ ，。
于是，，解得。
，时，
。
∴ ，
即。
此时，，，符合题意。
∴ ，即时，取最小值。

6．已知，，，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D
【解答】 由，得。
∴ 。
设，则。
∵ ，
∴ ，解得，即，。
∴ ，即。
∴ ，即。
由，知，。
∴ ，解得。因此，。
又当时，代入前面解得，。符合题设要求。
∴ 的最小值为。
二、填空题（每小题6分，共36分）
7．已知定义在上的函数（，且）的值域也是，则的值为 。
【答案】
【解答】当时，在上为增函数，依题意有
，方程组无解。
当时，在上为减函数，依题意有
，解得。
所以，。
8．如图，在三棱锥中，，，。设与所成的角为，则的值为 。
【答案】
【解答】如图，取中点，连接，。
∵ ，，
∴ ，，。
∴ ，。
（第8题图）
又由，知是等边三角形。
作于，则，且。
∴ 是与所称的角。
∴ 。

（第8题图）

9．已知，，，点在线段内，且平分，则点的坐标为 。
【答案】
【解答】如图，方程为，设（）。
又直线方程为，方程为，平分。
∴ 点到直线、距离相等。
∴ 。
（第9题图）
解得，（舍去）或。
因此，点坐标为。

10．设是定义在上以2为周期的偶函数，且在区间上单调递减。若，，则不等式组的解集为 。
【答案】
【解答】∵ 是偶函数，且在区间上单调递减。
∴ 在区间上为增函数。
又是以2为周期的周期函数，
∴ 在区间上为增函数。
又，，以及是以2为周期的偶函数。
∴ ，。
又，
∴ 不等式组的解集为。

11．已知，定义，，，，，…，则 。
【答案】
【解答】 依题意，有，，，
……………
一般地，有。
所以，

12．已知，，，且，则的最大值为 。
【答案】
【解答】由，知
，当且仅当，且，即，时，等号成立。
所以，的最大值为。
三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）
13．已知，且当时，恒成立。
（1）求的解析式；
（2）已知、是函数图像上不同的两点，，且。当、为整数，时，求直线的方程。
【解答】（1）依题意，，。
∴ ，且。
∴ 。 …………………………… 4分
此时，，可见在区间上的最小值为。
∴ 的对称轴为，即，
∴ 。 …………………………… 8分
（2）由（1）知，。同理。
∵ ，
∴ 。
∴ 。 …………………………… 12分
又、为整数，且，
∴ ，或，或。
结合，得，。
∴ 、坐标分别为、。
∴ 直线的方程为。 …………………………… 16分

14．过直线：上一点作圆：的两条切线、，、为切点。
（1）在上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若直线过原点，求点的坐标。
【解答】（1）假设符合条件的点存在
则由，知。
∵ ，，
∴ 。 ……………………………… 4分
另一方面，由圆心到直线的距离，知。
即，矛盾。因此，假设不成立。
∴ 符合条件的点不存在。 ……………………………… 8分
（2）设为直线上一点。
则。
∴ 点、在以为圆心，半径为的圆上，
即点、在圆上，
即圆上。
又点、在圆：上，即圆上。
将上述两圆方程联立，消二次项，得。
∴ 直线方程为。…………………… 12分
由直线过原点知，。
联立，解得，。
∴ 点的坐标为。 ……………………………… 16分

15．如图，为锐角三角形，于，为的垂心，为的中点。点在线段上，且。
（1）求证：；
（2）求证：。
【解答】（1）由条件知，，，
∴ 、、、四点共圆。
∴ 。……………… 4 分
∵ 为的中点，
∴ ，。
延长交于点。由为的垂心知，。
（第15题图）
∴ 。
∴ 。
又，，
∴ 。……………………………… 8分
（2）由（1）知，。
又，
∴ 。
∴ 。…………………… 12分
又，
（第15题图）
∴ 。
又，
∴ 。
∴ 。 ……………………………… 16分

16．已知为定义在上的奇函数，且当时，。。
（1）若函数恰有两个不相同的零点，求实数的值；
（2）记为函数的所有零点之和。当时，求的取值范围。
【解答】 （1）如图，作出函数的草图。

（第16题图）

由图像可知，当且仅当或时，直线与函数的图像有两个不同的交点。
所以，当且仅当或时，函数恰有两个不相同的零点。
因此，或。 ………………………………… 4分
（2）由的图像可知，当时，有6个不同的零点。………… 8分
设这6个零点从左到右依次设为，，，，，。
则，，是方程的解，是方程的解。
∴ 。 …………………… 12分
∵ 时，，
∴ 。
∴ 时，的取值范围为。 ……………………… 16分

17．设集合是一个由正整数组成的集合，且具有如下性质：
① 对任意，在中去掉后，剩下的数的算术平均数都是正整数；
② ，，且是中最大的数。
求的最大值。（符号表示集合中元素的个数）
【解答】依题意，设，且。
记，，则，其中，2，3，…，。
∴ 对任意，有。………… 5分
∴ 对任意，。
又，
∴ 任意，。
∴ 任意，。
于是，。
即，。
∴ 。 ………………………………… 10分
另一方面，令，，2，3，…，31，则符合要求。
∴ 的最大值为31，即的最大值为31。 …………………………… 14分

10