数学建模-最优化模型省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,最优化模型,一、最优化方法概述,二、无约束最优化问题,三、无约束最优化问题MATLAB,求解,四、有约束最优化问题,第1页,最优化方法概述,1,、最优化理论和方法是近二十多年来发展十分快速一个数学分支。,2,、在数学上，最优化是一个求极值方法。,3,、最优化已经广泛渗透到工程、经济、电子技术等领域。,第2页,在实际生活当中，人们做任何事情，不论是分析问题，还是进行决议，都要用一个标准衡量一下是否到达了最优。,（比如基金人投资）,在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会经济问题中，人们总是希望在有限资源条件下，用尽可能小代价，取得最大收获。,（比如保险）,第3页,数学家对最优化问题研究已经有很多年历史。,以前处理最优化问题数学方法只限于古典求导方法和变分法（求,无约束极值,问题），拉格朗日（,Lagrange,）乘数法处理等式约束下条件极值问题。,计算机技术出现，使得数学家研究出了许多最优化方法和算法用以处理以前难以处理问题。,第4页,最优化：,在一定条件下，寻求使得目标最大（最小）策略,约二分之一以上问题与最优化问题相关。如：,飞行管理问题（,95A,）,最优打鱼策略（,96A,）,节水洗衣机（,96B,）,零件参数设计,(97A),投资收益和风险,(98A),钢管订购和运输,(B),电力市场堵塞管理,(B),第5页,几个概念,最优化,是从全部可能方案中选择最合理一个以到达最优目标学科。,最优方案,是到达最优目标方案。,最优化方法,是搜寻最优方案方法。,最优化理论,就是最优化方法理论。,第6页,经典极值问题,包含：,无约束极值问题,约束条件下极值问题,第7页,1,、无约束极值问题数学模型,2,、约束条件下极值问题数学模型,其中，极大值问题能够转化为极小值问题来进行求解。如求：,能够转化为：,第8页,1,、无约束极值问题求解,例,1,：求函数,y=2x,3,+3x,2,-12x+14,在区间,-3,4,上最大值与最小值。,解：令,f(x)=y=2x,3,+3x,2,-12x+14,f(x)=6x,2,+6x-12=6(x+2)(x-1),解方程,f(x)=0,，得到,x,1,=-2,，,x,2,=1,，又,因为,f(-3)=23,，,f(-2)=34,，,f(1)=7,，,f(4)=142,，,综上得，,函数,f(x),在,x=4,取得在,-3,4,上得最大值,f(4)=142,，在,x=1,处取得在,-3,4,上取得最小值,f(1)=7,第9页,第10页,用,MATLAB,解无约束优化问题,其中等式（,3,）、（,4,）、（,5,）右边可选取（,1,）或（,2,）等式右边,.,函数,fminbnd,算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解,.,惯用格式以下：,（1）x=fminbnd(fun,x1,x2),（2）x=fminbnd(fun,x1,x2，options),（3）x，fval=fminbnd（,）,（4）x，fval，exitflag=fminbnd（,）,（5）x，fval，exitflag，output=fminbnd（,）,第11页,MATLAB(wliti1),主程序为,wliti1.m:,f=2*exp(-x).*sin(x);,fplot(f,0,8);%,作图语句,xmin,ymin=fminbnd(f,0,8),f1=-2*exp(-x).*sin,(x);,xmax,ymax=fminbnd(f1,0,8),第12页,例,2,有边长为,3m,正方形铁板，在四个角剪去相等正方形以制成方形无盖水槽，问怎样剪法使水槽容积最大？,解,先编写,M,文件,fun0.m,以下,:,function,f=fun0(x),f=-(3-2*x).2*x;,主程序为,wliti2.m:,x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5);,xmax=x,fmax=-fval,运算结果为,:xmax=0.5000,fmax=2.0000.,即剪掉正方形边长为,0.5m,时水槽容积最大,最大容积为,2m,3,.,MATLAB(wliti2),第13页,命令格式为,:,（,1,）,x=fminunc,（,fun,X0,）；或,x=fminsearch,（,fun,X0,）,（,2,）,x=fminunc,（,fun,X0,，,options,）；,或,x=fminsearch,（,fun,X0,，,options,）,（,3,）,x,，,fval=fminunc,（,.,）；,或,x,，,fval=fminsearch,（,.,）,（,4,）,x,，,fval,，,exitflag=fminunc,（,.,）；,或,x,，,fval,，,exitflag=fminsearch,（,5,）,x,，,fval,，,exitflag,，,output=fminunc,（,.,）；,或,x,，,fval,，,exitflag,，,output=fminsearch,（,.,）,2.,多元函数无约束优化问题,标准型为：,min,第14页,例 用,fminsearch,函数求解,输入命令,:,f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2;,x,fval,exitflag,output=fminsearch(f,-1.2 2),运行结果,:,x=1.0000 1.0000,fval=1.9151e-010,exitflag=1,output=,iterations:108,funcCount:202,algorthm:Nelder-Mead simplex direct search,第15页,建立数学模型时要尽可能,简单,，而且要能完整地描述所研究系统，详细建立怎样数学模型需要丰富经验和熟练技巧。即使在建立了问题数学模型之后，通常也必须对模型进行必要,数学简化,方便于分析、计算。,普通模型简化工作包含以下几类：,（,1,）将离散变量转化为连续变量。,（,2,）将非线性函数线性化。,（,3,）删除一些非主要约束条件。,最优化问题数学模型,第16页,建立最优化问题数学模型三要素：,（,1,）,决议变量和参数。,决议变量是由数学模型解确定未知数。参数表示系统控制变量，有确定性也有随机性。,（,2,）,约束或限制条件。,因为现实系统客观物质条件限制，模型必须包含把决议变量限制在它们可行值之内约束条件，而这通常是用约束数学函数形式来表示。,（,3,）,目标函数。,这是作为系统决议变量一个数学函数来衡量系统效率，即系统追求目标。,第17页,解：决定圆柱体表面积大小有两个决议变量：圆柱体底面半径,r,、高,h,。,问题约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即,例,1.,把半径为,1,实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它表面积最小？,第18页,则得数学模型：,s.t.Subject to.,问题目标是圆柱体表面积最小。即,min,即 即,第19页,此时圆柱体表面积为,分别对,r.h.,求偏导数,并令其等于零,.,有,:,利用在高等数学中所学,Lagrange,乘子法可求解本问题,第20页,例,4.,多参数曲线拟合问题,已知两个物理量,x,和,y,之间依赖关系为,:,其中 和 待定参数,为确定这些参数,对,x.y,测得,m,个试验点,:,试将确定参数问题表示成最优化问题,.,第21页,解,:,很显然对参数 和 任意给定一组数值,就由上式确定了,y,关于,x,一个函数关系式,在几何上它对应一条曲线,这条曲线不一定经过那,m,个测量点,而要产生“偏差”,.,将测量点沿垂线方向到曲线距离,平方和作为这种“偏差”度量,.,即,显然偏差,S,越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而我们问题就转化为,5,维无约束最优化问题。即：,第22页,第23页,有约束最优化,最优化方法分类,（一）,线性最优化,：目标函数和约束条件都是线性则称为线性最优化。,非线性最优化,：目标函数和约束条件假如含有非线性，则称为非线性最优化。,（二）,静态最优化,：假如可能方案与时间无关，则是静态最优化问题。,动态最优化,：,假如可能方案与时间相关，则是动态最优化问题,第24页,有约束最优化问题数学建模,有约束最优化模型普通含有以下形式：,或,其中,f(x),为目标函数，省略号表示约束式子，能够是等式约束，也能够是不等式约束。,第25页,依据目标函数，约束条件特点将最优化方法包含主要内容大致以下划分：,线性规划,整数规划,非线性规划,动态规划,多目标规划,对策论,最优化方法主要内容,第26页,最优化问题普通数学模型,最优化问题普通算法,第27页,整体（全局）最优解：,若 ，对于一切 ，恒有,则称 是最优化问题整体最优解。,局部最优解：,若 ，存在某邻域 ，使得对于一切,，恒有 则称 是最优化问题局部最优解。其中,严格最优解：,当 ，有 则称 为问题严格最优解。,第28页,f(X),局部最优解,整体最优解,第29页,第30页,第31页,利用最优化方法处理最优化问题普通方法步骤以下：,前期分析：分析问题，找出要处理目标，约束条件，并确立最优化目标。,定义变量，建立最优化问题数学模型，列出目标函数和约束条件。,针对建立模型，选择适当求解方法或数学软件。,编写程序，利用计算机求解。,对结果进行分析，讨论诸如：结果合理性、正确性，算法收敛性，模型适用性和通用性，算法效率与误差等。,第32页,线性规划模型普通形式,:,目标函数,满足约束条件,通常称 为决议变量，为价值系数，,为消耗系数,为资源限制系数。,线性规划,第33页,用单纯法求解时，常将标准形式化为：,线性规划基本算法,单纯形法,第34页,用,MATLAB,优化工具箱解线性规划,min,z=cX,1,、模型：,命令：,x=linprog,（,c,，,A,，,b,）,2,、模型,：,min,z=cX,命令：,x=linprog,（,c,，,A,，,b,，,Aeq,beq,）,注意：若没有不等式：存在，则令,A=,，,b=.,第35页,3,、模型,：,min,z=cX,VLBXVUB,命令：,1,x=linprog,（,c,，,A,，,b,，,Aeq,beq,VLB,，,VUB,）,2,x=linprog,（,c,，,A,，,b,，,Aeq,beq,VLB,，,VUB,X,0,）,注意：,1,若没有等式约束,:,则令,Aeq=,beq=.,2,其中,X,0,表示初始点,4,、命令：,x,fval=linprog(),返回最优解及处目标函数值,fval.,第36页,问题：,任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床可用台时数分别为,800,和,900,，三种工件数量分别为,400,、,600,和,500,，且已知用三种不一样车床加工单位数量不一样工件所需台时数和加工费用以下表。问怎样分配车床加工任务，才能既满足加工工件要求，又使加工费用最低？,引例,第37页,解,设在甲车床上加工工件,1,、,2,、,3,数量分别为,x,1,、,x,2,、,x,3,，在乙车床上加工工件,1,、,2,、,3,数量分别为,x,4,、,x,5,、,x,6,。可建立以下线性规划模型：,第38页,S.t.,改写为：,问题解答,第39页,编写,M,文件,xxgh3.m,以下,:,f=13 9 10 11 12 8;,A=0.4 1.1 1 0 0 0,0 0 0 0.5 1.2 1.3;,b=800;900;,Aeq=1 0 0 1 0 0,0 1 0 0 1 0,0 0 1 0 0 1;,beq=400 600 500;,vlb=zeros(6,1);,vub=;,x,fval=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub),第40页,结果,:,x=,0.0000,600.0000,0.0000,400.0000,0.0000,500.0000,fval=1.3800e+004,即在甲机床上加工,600,个工件,2,在乙机床上加工,400,个工件,1,、,500,个工件,3,，可在满足条件情况下使总加工费最小为,13800,。,第41页,例,1,，,某铁器加工厂要制作,100,套钢架，每套要用长为,2.9,米，,2.1,米和,1.5,米圆钢各一根。已知原料长为,7.4,米，问应怎样下料，可使材料最省？,分析：在长度确定原料上截取三种不一样规格圆钢，能够归纳出,8,种不一样下料方案：,圆钢（米）,2,9,1,2,0,1,0,1,0,0,2,1,0,0,2,2,1,1,3,0,1,5,3,1,2,0,3,1,0,4,料头（米）,0,0.1,0.2,0.3,0.8,0.9,1.,1.4,问题归纳为怎样混合使用这,8,种不一样下料方案，来制造,100,套钢架，且要使剩下料头总长为最短。,线性规划一些应用,第42页,设,x,j,表示用第,j,种下料方案下料原料根数，,j=1,28,数学模型,s.t.,这是一个下料问题，是在生产任务确定条件下，合理组织生产，,使所消耗资源数最少数学规划问题。,满足一组约束条件同时，寻求变量,x,1,至,x,8,值,使目标函数取得最,小值。,圆钢（米）,2,9,1,2,0,1,0,1,0,0,2,1,0,0,2,2,1,1,3,0,1,5,3,1,2,0,3,1,0,4,料头（米）,0,0.1,0.2,0.3,0.8,0.9,1.1,1.4,且为整数,第43页,数学模型,s.t.,且为整数,设,x,j,表示用第,j,种下料方案下料原料根数，,j=1,28,第44页,例,2:,人力资源分配问题,红旗商场是个中型百货商场，它对售货人员需求经过统计分析如表所表示。为了确保售货人员充分休息，售货人员每七天工作五天，休息两天，并要求休息两天是连续，问应该怎样安排售货人员作息，既满足了工作需要又使配置售货人员人数最少？,表,时 间,所需售货员人数,星期日,28,人,星期一,15,人,星期二,24,人,星期三,25,人,星期四,19,人,星期五,31,人,星期六,28,人,第45页,解：,设,x,1,为星期一开始上班人数，,x,2,为星期二开始上班人数，,，,x,7,星期日开始上班人数。我们就可得到以下数学模型：,min,x,1,+,x,2,+,x,3,+,x,4,+,x,5,+,x,6,+,x,7,x,3,+,x,4,+,x,5,+,x,6,+,x,7,28,x,4,+,x,5,+,x,6,+,x,7,+,x,1,15,x,5,+,x,6,+,x,7,+x,1,+,x,2,24,x,6,+,x,7,+x,1,+,x,2,+,x,3,25,x,7,+,x,1,+,x,2,+,x,3,+,x,4,19,x,1,+,x,2,+,x,3,+,x,4,+,x,5,31,x,2,+,x,3,+,x,4,+,x,5,+,x,6,28,x,1,、,x,2,、,x,3,、,x,4,、,x,5,、,x,6,、,x,7,0,该问题最优解为：,x,1,=8,，,x,2,=0,，,x,3,=12,，,x,4,=0,，,x,5,=11,，,x,6,=5,，,x,7,=0,；,目标函数最小值为,36,。,第46页,例,3:,某企业现有,68,名员工申请提前退休。企业必须在今后,8,年内对这些员工分期支付一定数量现金，以下表所表示。,注意，三种政府债券票面价值均为,1000,元，债券到期时按票面价值进行支付，利率计算也以票面价值为基准。银行储蓄年利率为,4%,。怎样安排投资计划，使企业以最小投资额完成对退休员工现金支付任务？,为了完成这项现金支付任务，企业财务人员必须现在就为此制订一个投资计划。投资计划有政府债券投资和银行储蓄两种方式组成。政府债券投资有三种债券类型可供选择，以下表所表示。,年份（年）,1,2,3,4,5,6,7,8,现金支付（千元）,430,210,222,231,240,195,225,225,债券,价格（元）,利率（,%,）,到期年限,1,1150,8.875,5,2,1000,5.500,6,3,1350,11.750,7,第47页,解：,1,确定决议变量,设,F,为完成投资计划所需要总资金额。,x,1,、,x,2,、,x,3,分别表示债券,1,、,2,、,3,购置量；,y,i,(i=1,，,8),表示第,i,年初银行储蓄投资额。,2,确定约束条件,这类问题一个经典特征就是每年现金支付普通表示式为：,年初可用资金额,当年用于债券和储蓄资金额,=,当年现金支付,于是有,F 1.15,x,1,1,x,2,1.35,x,3,y,1,=430,（第,1,年）,第48页,对于第二年，用于三种债券投资第一年利息加上第一年储蓄利息为年初可用资金，第二年用于储蓄资金为,y,2,，所以有,0.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,1,y,2,=210,（第,2,年）,同理对于其它年份有,0.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,2,y,3,=222,（第,3,年）,0.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,3,y,4,=231,（第,4,年）,0.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,4,y,5,=240,（第,5,年）,1.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,5,y,6,=195,（第,6,年）,1.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,6,y,7,=225,（第,7,年）,1.1175,x,3,+1.04,y,7,y,8,=255,（第,8,年）,所以实际上，,y,8,值应为,0,，若大于,0,，那么对应投资计划必定不是最优。,第49页,3.,确定目标函数,目标就是使满足要求投资额最小，即,Min,z=F,综合有以下数学模型,Min,z=F,F 1.15,x,1,1,x,2,1.35,x,3,y,1,=430,0.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,1,y,2,=210,0.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,2,y,3,=222,0.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,3,y,4,=231,0.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,4,y,5,=240,1.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,5,y,6,=195,1.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,6,y,7,=225,1.1175,x,3,+1.04,y,7,y,8,=255,x,1,，,x,2,，,x,3,0,，,y,i,0,，,i=1,，,，,8,第50页,该线性规划模型求解结果为,目标函数最优值为：,1728.794,变量 最优解 检验数,F,1728.794,0,x,1,144.988 0,x,2,187.856 0,x,3,228.188 0,y,1,636.148 0,y,2,501.606 0,y,3,349.682 0,y,4,182.681 0,y,5,0 0.064,y,6,0 0.0126,y,7,0 0.0213,y,8,0 0.671,第51页,债券,购置量,投资额（千元）,年份,储蓄额（千元）,1,144.988,1.150144.988=166.736,1,636.148,2,187.856,1.000187.856=187.856,2,501.606,3,228.188,1.350228.188=308.054,3,349.682,总投资额,F,=1728794,元,4,182.681,5,8,0,即得到最正确投资计划以下表所表示。,第52页,约束 松弛,/,剩下变量 对偶价格,1 0,1.000,2 0,0.962,3 0,0.925,4 0,0.889,5 0,0.855,6 0,0.760,7 0,0.719,8 0,0.671,结果分析：,前,4,年储蓄额均大于,0,，可见从第,6,年起债券利息和债券到期收入才能够完全满足当前现金支付需要。,每一个约束条件对偶价格均为负值，说明降低任何一年现金支付都将有利于企业总投资额降低。,对偶价格逐年降低也说明了，在前面年份降低现金支付将对总投资额降低更为有效。从而暗示了企业能够适当降低前面年份现金支付量，而在后面年份进行补足。,Min,z=F,F 1.15,x,1,1,x,2,1.35,x,3,y,1,=430,0.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,1,y,2,=210,0.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,2,y,3,=222,0.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,3,y,4,=231,0.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,4,y,5,=240,1.08875,x,1,+0.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,5,y,6,=195,1.055,x,2,+0.1175,x,3,+1.04,y,6,y,7,=225,1.1175,x,3,+1.04,y,7,y,8,=255,x,1,，,x,2,，,x,3,0,，,y,i,0,，,i=1,，,，,8,第53页,线性规划应用小结,线性规划有着广泛应用；,线性规划应用非常灵活；,所讲案例只是真实情况缩微；,第54页,投资收益和风险,(98A),第55页,第56页,二、基本假设和符号要求,第57页,第58页,三、模型建立与分析,1.,总体风险用所投资,S,i,中最大一个风险来衡量,即,max q,i,x,i,|i=1,，,2,n,第59页,4.,模型简化：,第60页,第61页,第62页,第63页,四、模型,1,求解,因为,a,是任意给定风险度，到底怎样给定没有一个准则，不一样投资者有不一样风险度。我们从,a=0,开始，以步长,a=0.001,进行循环搜索，编制程序以下：,第64页,a=0;,while(1.1-a)1,c=-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185;,Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;,A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;,b=a;a;a;a;,vlb=0,0,0,0,0;vub=;,x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);,a,x=x,Q=-val,plot(a,Q,.),，,axis(0 0.1 0 0.5),，,hold on,a=a+0.001;,end,xlabel(a),ylabel(Q),第65页,计算结果：,第66页,五、结果分析,3.,曲线上任一点都表示该风险水平最大可能收益和该收益要求最小风险。对于不一样风险承受能力，选择该风险水平下最优投资组合。,2,.,当投资越分散时，投资者负担风险越小，这与题意一致。即,:,冒险投资者会出现集中投资情况，保守投资者则尽可能分散投资。,1.,风险大，收益也大。,第67页,4,.,在,a=0.006,附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加极少时，利润增加很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增加很迟缓，所以对于风险和收益没有特殊偏好投资者来说，应该选择曲线,拐点,作为最优投资组合，大约是,a,*,=0.6%,，,Q,*,=20%,，所对应投资方案为,:,风险度 收益,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,0.0060 0.0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212,第68页,无约束最优化问题,第69页,标准形式：,求解无约束最优化问题基本思想,求解基本思想,(,以二元函数为例,),5,3,1,连续可微,第70页,多局部极小,唯一极小,(,全局极小,),第71页,搜索过程,最优点,(1 1),初始点,(-1 1),-1,1,4.00,-0.79,0.58,3.39,-0.53,0.23,2.60,-0.18,0.00,1.50,0.09,-0.03,0.98,0.37,0.11,0.47,0.59,0.33,0.20,0.80,0.63,0.05,0.95,0.90,0.003,0.99,0.99,1E-4,0.999,0.998,1E-5,0.9997,0.9998,1E-8,第72页,无约束优化问题基本算法,最速下降法是一个最基本算法，它在最优化方法中占有主要地位,.,最速下降法优点是工作量小，存放变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛慢，最速下降法适合用于寻优过程前期迭代或作为间插步骤，当靠近极值点时，宜选取别种收敛快算法,.,1,最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：,第73页,2,牛顿法算法步骤：,假如,f,是对称正定矩阵,A,二次函数，则用牛顿法经过,一次迭代,就可到达最优点,如不是二次函数，则牛顿法不能一步到达极值点，,但因为这种函数在极值点附近和二次函数很近似,所以牛顿法收,敛速度还是很快,.,牛顿法收敛速度即使较快，但要求,Hessian,矩阵要可逆,，,要计算二阶导数和逆矩阵，就加大了计算机计算量和存放量,.,第74页,3,拟牛顿法,第75页,第76页,其它各种直接算法,(,单纯形调优法,H_J,法,Powell,方向加速法等,),第77页,Matlab,优化工具箱介绍,1.MATLAB,求解优化问题主要函数,第78页,2.,优化函数输入变量,使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时,输入变量见下表,:,第79页,3.,优化函数输出变量下表,:,第80页,用,Matlab,解无约束优化问题,其中（,3,）、（,4,）、（,5,）等式右边可选取（,1,）或（,2,）等式右边。,函数,fminbnd,算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。,惯用格式以下：,（,1,）,x=fminbnd(,fun,x,1,x,2,),（,2,）,x=fminbnd(,fun,x,1,x,2,，,options),（,3,）,x,，,fval=fminbnd,（,.,）,（,4,）,x,，,fval,，,exitflag=fminbnd,（,.,）,（,5,）,x,，,fval,，,exitflag,，,output=fminbnd,（,.,）,第81页,主程序为,wliti1.m:,f=2*exp(-x).*sin(x);,fplot(f,0,8);%,作图语句,xmin,ymin=fminbnd(f,0,8),f1=-2*exp(-x).*sin(x);,xmax,ymax=fminbnd(f1,0,8),第82页,例,2,对边长为,3,米正方形铁板，在四个角剪去相等正方形以制成方形无盖水槽，问怎样剪法使水槽容积最大？,解,先编写,M,文件,fun0.m,以下,:,function f=fun0(x),f=-(3-2*x).2*x;,主程序为,wliti2.m:,x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5);,xmax=x,fmax=-fval,运算结果为,:,xmax=0.5000,fmax=2.0000.,即剪掉正方形边长为,0.5,米时水槽容积最大,最大容积为,2,立方米,.,第83页,命令格式为,:,（,1,）,x=fminunc,（,fun,X,0,）；或,x=fminsearch,（,fun,X,0,）,（,2,）,x=fminunc,（,fun,X,0,，,options,）；,或,x=fminsearch,（,fun,X,0,，,options,）,（,3,）,x,，,fval=fminunc,（,.,）；,或,x,，,fval=fminsearch,（,.,）,（,4,）,x,，,fval,，,exitflag=fminunc,（,.,）；,或,x,，,fval,，,exitflag=fminsearch,（,5,）,x,，,fval,，,exitflag,，,output=fminunc,（,.,）；,或,x,，,fval,，,exitflag,，,output=fminsearch,（,.,）,2,、多元函数无约束优化问题,标准型为,：,min F(X),第84页,3 fminunc,为中型优化算法步长一维搜索提供了两种算法，,由,options,中参数,LineSearchType,控制：,LineSearchType=quadcubic(,缺省值,),，混合二次和三,次多项式插值；,LineSearchType=cubicpoly,，三次多项式插,使用,fminunc,和,fminsearch,可能会得到局部最优解,.,说明,:,fminsearch,是用单纯形法寻优,.fminunc,算法见以下,几点说明：,1 fminunc,为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由,options,中参数,LargeScale,控制：,LargeScale=on(,默认值,),使用大型算法,LargeScale=off,使用中型算法,2 fminunc,为中型优化算法搜索方向提供了,4,种算法，由,options,中参数,HessUpdate,控制：,HessUpdate=bfgs,（默认值），拟牛顿法,BFGS,公式；,HessUpdate=dfp,，拟牛顿法,DFP,公式；,HessUpdate=steepdesc,，最速下降法,第85页,例,3,min f(x)=(4x,1,2,+2x,2,2,+4x,1,x,2,+2x,2,+1)*exp(x,1,),1,、编写,M-,文件,fun1.m:,function f=fun1(x),f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);,2,、输入,M,文件,wliti3.m,以下,:,x,0,=-1,1;,x=fminunc(fun1,x,0,);,y=fun1(x),3,、运行结果,:,x=0.5000 -1.0000,y=1.3029e-10,第86页,第87页,3.,用,fminsearch,函数求解,输入命令,:,f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2;,x,fval,exitflag,output=fminsearch(f,-1.2 2),运行结果,:,x=1.0000 1.0000,fval=1.9151e-010,exitflag=1,output=,iterations:108,funcCount:202,algorithm:Nelder-Mead simplex direct search,第88页,4.,用,fminunc,函数,(1),建立,M-,文件,fun2.m,function,f=fun2(x),f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2,(2),主程序,wliti44.m,第89页,Rosenbrock,函数不一样算法计算结果,能够看出，最速下降法结果最差,.,因为最速下降法尤其不适合于从一狭长通道抵达最优解情况,.,第90页,例,5,产销量最正确安排,某厂生产一个产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡情况下怎样确定各自产量，使总利润最大,.,所谓产销平衡指工厂产量等于市场上销量,.,第91页,基本假设,1,价格与销量成线性关系,第92页,2,成本与产量成负指数关系,第93页,模型建立,若依据大量统计数据,求出系数,b,1,=100,a,11,=1,a,12,=0.1,b,2,=280,a,21,=0.2,a,22,=2,r,1,=30,1,=0.015,c,1,=20,r,2,=100,2,=0.02,c,2,=30,则,问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号产量,x,1,，,x,2,，使,总利润,z,最大,.,为简化模型,先忽略成本,并令,a,12,=0,a,21,=0,问题转化为求,:,z,1,=(b,1,-a,11,x,1,)x,1,+(b,2,-a,22,x,2,)x,2,极值,.,显然其解为,x,1,=b,1,/2a,11,=50,x,2,=b,2,/2a,22,=70,我们把它作为原问题初始值,.,总,利润,为：,z,(,x,1,x,2,)=(,p,1,-q,1,),x,1,+(,p,2,-q,2,),x,2,第94页,模型求解,1.,建立,M-,文件,fun.m,:,function f=fun(x),y,1,=(100-x(1)-0.1*x(2)-(30*exp(-0.015*x(1)+20)*x(1);,y,2,=(280-0.2*x(1)-2*x(2)-(100*exp(-0.02*x(2)+30)*x(2);,f=-y,1,-y,2,;,2.,输入命令,:,x0=50,70;,x=fminunc(fun,x0),z=fun(x),3.,计算结果,:,x=23.9025,62.4977,z=6.4135e+003,即甲产量为,23.9025,乙产量为,62.4977,最大利润为,6413.5.,第95页,约束非线性规划,第96页,定义,假如目标函数或约束条件中最少有一个是非线性函数时最优化问题就叫做,非线性规划问题,约束非现性规划基本概念,普通形式,:,（,1,）,其中 ，是定义在,E,n,上实值函数，简记,:,其它情况,:,求目标函数最大值或约束条件为小于等于零情况，都可经过取其相反数化为上述普通形式,第97页,非线性规划基本解法,SUTM,外点法,SUTM,内点法（障碍罚函数法）,1,、罚函数法,2,、,近似规划法,第98页,罚函数法,罚函数法,基本思想是经过结构罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为,序列无约束最小化方法,简称为,SUMT,法,其一为,SUMT,外点法,，其二为,SUMT,内点法,第99页,其中,T(X,M),称为,罚函数,，,M,称为,罚因子,，,带,M,项称为,罚项,，,这里罚函数只对不满足约束条件点实施处罚：当 时，满足各 ，故罚项,=0,，不受处罚当 时，必有 约束条件，故罚项,0,，要受处罚,SUTM,外点法,第100页,罚函数法,缺点,是：每个近似最优解,X,k,往往不是允许解，而只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用；在解一系列无约束问题中，计算量太大，尤其是伴随,M,k,增大，可能造成错误,1,、,任意给定初始点,X,0,，取,M,1,1,，给定允许误差 ，令,k=1,；,2,、,求无约束极值问题 最优解，设为,X,k,=X(M,k,),，即,；,3,、,若存在 ，使 ，则取,M,k,M(),令,k=k+1,返回（,2,），不然，停顿迭代得最优解,.,计算时也可将收敛性判别准则 改为,.,SUTM,外点法,(,罚函数法,),迭代步骤,第101页,SUTM,内点法（,障碍函数法,）,第102页,内点法迭代步骤,第103页,近似规划法基本思想,：将问题,(3),中目标函数 和约束条件 近似为线性函数，并对变量取值范围加以限制，从而得到一个近似线性规划问题，再用单纯形法求解之，把其符合原始条件最优解作为,(3),解近似,近似规划法,每得到一个近似解后，都从这点出发，重复以上步骤,这么，经过求解一系列线性规划问题，产生一个由线性规划最优解组成序列，经验表明，这么序列往往收敛于非线性规划问题解。,第104页,近似规划法,算法步骤以下,第105页,第106页,用,MATLAB,软件求解,其,输入格式,以下,:,1.x=quadprog(H,C,A,b);,2.x=quadprog(H,C,A