奥数训练——数的整除.doc

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数的整除

一、解答题（共15小题，满分0分）
1．判断能否被3，7，11，13整除．

2．试说明形式的6位数一定能被11整除．

3．在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？

4．求被179整除的最小和最大的四位数．

5．一个五位数减去其各位数字之和后变为，则x是多少？

6．首位数字是9，各位上的数字互不相同的7位数中，能被6整除最小数是多少？？

7．养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？

8．五个三位数前四个数分别是123、345、567、789．已知五个数的平均数是9的倍数，第5个数最大是多少？

9．五个数之和是308．这五个数分别被2、3、5、7、11整除，且商相同，求这五个数．

10．一个数乘以91后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？

11．一个各位数字全是1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？

12．某六位数能被17和19整除，求．

13．五位数能被36整除，求这样的五位数．

14．是105的倍数，求xy．

15．给你一个六位数：
（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；
（2）根据（1的结果说明该六位数一定不能被72整除；
（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；
（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；
（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除．

数的整除
参考答案与试题解析
　一、解答题（共15小题，满分0分）
1．判断能否被3，7，11，13整除．
考点：
数的整除特征．菁优网版权所有

专题：
整除性问题．

分析：
首先判定能否被3整除，因为能同时被7、11、13整除的最小数为1001，把这个数写成1001×98666+766，探讨766能否被7，11，13整除即可．

解答：
解：因为9+8+7+6+5+4+3+2=44，不能被3整除；
因为98765432=1001×98666+766，
766不能被7整除；
766不能被11整除；
766不能被13整除；
所以不能被3，7，11，13整除．

点评：
掌握能被3，7，11，13整除数的特征是解决问题的关键，注意问题的灵活处理．

2．试说明形式的6位数一定能被11整除．
考点：
数的整除特征．菁优网版权所有
专题：
整除性问题．
分析：
根据被11整除数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．由此说明即可．
解答：
解：=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c
=100100a+10010b+1001c
=1001×（100a+10b+c）
因为11能整除1001，
所以形式的6位数一定能被11整除．
点评：
此题考查数的整除特征，掌握被11能出数的特征是解决问题的根本．

3．在1998后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7和8整除，所添的两个数字是多少？
考点：
数的整除特征．菁优网版权所有
专题：
整除性问题．
分析：
不妨设，添加的两个数字为ab，则8ab能被8整除，则ab可以是00，08，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96；且7能整除1998ab，也就是整除3ab，相当于整除20+ab，进一步验证得出答案即可．
解答：
解：设添加的两个数字为ab，
8能整除1998ab，则ab可以为：00，08，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96；
7能整除1998ab=28542×7+6+ab，也就是7能整除6+ab，
经过验证可知，ab=08，64．
所以所添的两个数字是08或64．
点评：
此题考查能被7，8整除的数的特征，解答此题还要有较强的分析推理能力．

4．求被179整除的最小和最大的四位数．
考点：
数的整除特征．菁优网版权所有
专题：
整除性问题．
分析：
先求出1000÷179的商，该商+1后，与179相乘的积即为所求的被179整除的最小四位数；
先求出9999÷179的商，然后用商与179相乘的积即为所求的被179整除的最大四位数．
解答：
解：1000÷179=5…105，
179×（5+1）
=179×6
=1074．
9999÷179=55…154，
179×55=9845；
答：被179整除的最小的四位数是1074，最大的四位数是9845．
点评：
此题考查了数的整除特征，明确倍数的求法，是解答此题的关键．

5．一个五位数减去其各位数字之和后变为，则x是多少？
考点：
数字问题．菁优网版权所有
专题：
数性的判断专题．
分析：
五位数与各位数字和的差为7xxxx，已知万位为7，那么4x+7应是9的倍数，进一步解决问题．
解答：
解：设原来的三位数是abcde，由题意得：
10000a+1000b+100c+10d+e﹣（a+b+c+d+e）=7xxxx，
9999a+999b+99c+9d=7xxxx，
因此，五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，可得4x+7=9（或18，或27，36）
经验证，只有4x+7=27符合题意，因此x=5
点评：
设原来的三位数是abcde，五位数减去各们数字之和一定是9的倍数，然后通过验证推出结果．

6．首位数字是9，各位上的数字互不相同的7位数中，能被6整除最小数是多少？？
考点：
数的整除特征．菁优网版权所有
专题：
整除性问题．
分析：
首位数字确定，要使最小，不妨设为901234x，x是偶数，且9+1+2+3+4+x=18+（x+1）要能被3整除，求得x=2或8，最小且不重复就是8．
解答：
解：要使最小，不妨设为901234x，x是偶数，
则9+1+2+3+4+x=18+（x+1）需能被3整除，
则x=2或8，
2与前面的数字重复，所以x取8．
所以能被6整除最小数是9012348．
点评：
此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被2或3整除数的特征是解决问题的关键．

7．养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？

考点：
分数和百分数应用题（多重条件）．菁优网版权所有
专题：
分数百分数应用专题．
分析：
根据“卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同”，可知鸡×（1﹣80%）=鸭×（1﹣75%），所以鸡：鸭=（1﹣75%）：（1﹣80%）=5：4．那么鸡有810÷（5+4）×5=450（只），进而求出鸭的只数．
解答：
解：（1﹣75%）：（1﹣80%）=54
鸡有：
810÷（5+4）×5
=810÷9×5
=450（只）
鸭有：
810﹣450=360（只）
答：原来鸡养了450只，鸭养了360只．
点评：
此题先求出鸡鸭只数的比，是解答此题的关键．

8．五个三位数，前四个数分别是123、345、567、789．已知五个数的平均数是9的倍数，第5个数最大是多少？
考点：
平均数问题；整除性质．菁优网版权所有
专题：
平均数问题；整除性问题．
分析：
123+345+567+789=1824，根据题意“已知五个数的平均数是9的倍数”所以得出这五个三位数的能既能被5整除，又能被9整除，因为能被5整除，所以个位数是0或5，因为求这个五位数最大是900多，1824+900=2724，因为这5个三位数的和能被9整除，所以各个数位上数的和能被9整除，然后分析当这五个数的和的个位是0或5时，要求的数的大小，然后进行比较，进而得出结论．
解答：
解：123+345+567+789=1824，
因为能被5整除，所以个位数是0或5，
因为求这个五位数最大是900多，
1824+900=2724
因为这5个三位数的和能被9整除，所以各个数位上数的和能被9整除，
当个位是0时，2+7+9+0=18，能被9整除，所以这个数的和是2790，则要求的数为：2790﹣1824=966；
当个位是5时，2+74+5=18，能被9整除，所以这个数的和是2745，则要求的数为：2745﹣1824=921；
因为921＜966
所以要求的三位是最大是966．
答：第5个数最大是966．
点评：
此题考查了数的整除特征，明确能被5和9整除的数的特征，是解答此题的关键．

9．五个数之和是308．这五个数分别被2、3、5、7、11整除，且商相同，求这五个数．
考点：
整除性质．菁优网版权所有
专题：
整除性问题．
分析：
先求出2、3、5、7、11的和，然后用308除以这五个数的和，求出商，然后用商分别乘2、3、5、7、11，即可求出这五个数．
解答：
解：2+3+5+7+11=28，308÷28=11，
所以这五个数分别是：2×11=22，3×11=33，5×11=55，7×11=77，11×11=121；
答：这五个数分别是22，33，55，77，121．
点评：
求出2+3+5+7+11的和，然后用308除以28，求出商，是解答此题的关键．

10．一个数乘以91后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？
考点：
最大与最小．菁优网版权所有
专题：
整除性问题．
分析：
因为是193，3只能和1×3才出3．所以这个数的最后一个数是3，又3×90=270，十位90﹣70=20，则这个数的十应是2，即后两位是23，91×23=2093百位还差1，只要找个数与1相乘得1相乘得1就可以了，1与1相乘得了，则这个数最小是123，即123×91=11193．
解答：
解：由于1×3=3，
则这个数个位是3，
3×90=270，十位90﹣70=20，1×20=20，
则这个数的十应是2，即后两位是23，
91×23=2093，百位还差1，
1与1相乘得1，
则这个数最小是123，
即123×91=11193．
答：这个数最小是123．
点评：
首先根据题意确定这个数的个位是3，然后逐步进行推理是完成本题的关键．

11．一个各位数字全是1的自然数能被33333整除，问这个数最小是多少？
考点：
整除性质．菁优网版权所有
专题：
整除性问题．
分析：
先把33333分解质因数：33333=3×11111，能被33333整除，那么所有的1加起来能被3整除，所以可能有6，9，12，15个1；但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是15个．也就是111111111111111÷33333=3333366667；由此解答即可．
解答：
解：能被33333整除，那么所有的1加起来能被3整除，所以可能有6，9，12，15个1；但是33333是5位数，很明显6个、9个、12个都不能整除，位数不合适，只能是15个，即这个数最小是111111111111111；
答：这个数最小是111111111111111．
点评：
明确能被3和11111整除的数的特征，是解答此题的关键．

12．某六位数能被17和19整除，求．
考点：
整除性质；位值原则．菁优网版权所有
专题：
整除性问题．
分析：
根据六位数23xy22能被17和19整除，得出这个六位数能被17×19=323整除，再假设出这个六位数最大值与最小值，进而得出它们商的取值范围，进而得出符合要求的答案．
解答：
解：因为六位数23xy22能被17和19整除，
所以这个六位数能被17×19=323整除，
这个数最小为230022，故230022÷323=712.46，
这个数最大为239922，故239922÷323=742…256，
因为23□□22能被323整除，商一定为3位数，且个位数一定为4，
符合要求的只有714，724，734．
故试一下323×714=230622，323×724=233852，323×734=237082，
只有323×714=230622符合要求，
故原数为：230622；
答：xy=06．
点评：
此题主要考查了数的整除性，根据已知得出23□□22除以323商的取值范围以及个位数的特点是解题关键．

13．五位数能被36整除，求这样的五位数．
考点：
整除性质；位值原则．菁优网版权所有
专题：
整除性问题．
分析：
36=4×9，能被36整除，就要能同时被4和9整除，能被4整除的数：后两位能被4整除；能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；由此可知：y可能是2或6，如果y=2，则2+x+8+9+2能被9整除，x=6；如果y=6，则2+x+8+9+6能被9整除，x=2；由此即可求出这个五位数．
解答：
解：36=4×9，能被36整除，就要能同时被4和9整除，
能被4整除的数：后两位能被4整除；
能被9整除的数：各位数字的和能被9整除；
由此可知：y可能是2或6，
如果y=2，则2+x+8+9+2能被9整除，x=6；
如果y=6，则2+x+8+9+6能被9整除，x=2；
所以这个五位数是26892或22896．
答：这个五位数是26892或22896．
点评：
明确能被4和9整除的数的特征，是解答此题的关键．

14．是105的倍数，求xy．
考点：
数的整除特征．菁优网版权所有
专题：
整除性问题．
分析：
首先105=3×5×7，能被3整除则2+7+x+y能被3整除，能被5整除，则末尾是0或5，进一步验证是否能被7整除得出答案即可．
解答：
解：因为105=3×5×7，
则2+7+x+y能被3整除，
能被5整除，则末尾是0或5，
当y=0时，2+7+x+0能被3整除，则x=0，3，6，9；
当y=5时，2+7+x+5能被3整除，则x=1，4，7；
则能被7整除的只有200760．
所以x=6，y=0．
点评：
此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被3、5、7整除数的特征是解决问题的关键．

15．给你一个六位数：
（1）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被9整除；
（2）根据（1）的结果说明该六位数一定不能被72整除；
（3）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被24整除；
（4）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被55整除；
（5）试求出所有这样的x、y的组合，使该六位数能被91整除．
考点：
整除性质；位值原则．菁优网版权所有
专题：

整除性问题．
分析：
（1）由已知要求需（8+7+3+2x+y）能被9整除，即2x+y能被9整除，且0≤x，y＜10，由此列举即可；
（2）验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件；
（3）欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且2x+y能被3整除，即要求2x+y能被6整除，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3xy被8整除，这样可以得到（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）几个组合；
（4）为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11．因此即2x﹣y﹣2能被11整除，这样组合仅有（9，5）一组；
（5）为使能整除91，则要求87x﹣3xy能被91整除，则87x=x+51，3xy=10x+y+27，即要求x+51=10x+y+27，由此得出（x，y）=（2，6）．
解答：
解：（1）由已知要求需（8+7+3+2x+y）能被9整除，即2x+y能被9整除，且0≤x，y＜10，因此（x，y）只能是如下组合（0，9）、（1，7）、（2，5）、（3，3）、（4，1）、（5，8）、（6，6）、（7，4）、（8，2）、（9，9）；
（2）验证（1）中的11组结果，容易得到没有结果符合条件；
（3）欲使该6位数被24整除，则首先必须是偶数，且2x+y能被3整除，即要求2x+y能被6整除，这样的组合只可能如下（0，6）（1，4）（2，2）（3，0）（2，8）（3，6）（4，4）（5，2）（6，0）（5，8）（6，6）（7，4）（8，2）（9，0）（8，8）（9，6），又要求该六位数能被8整除，即要求3xy被8整除，这样可以得到只有（2，8），（3，6），（4，4），（5，2）（6，0）；
（4）为使能整除55，首先y只可能是0或者5，其次偶数位减奇数位整除11．因此即2x﹣y﹣2能被11整除，这样组合仅有（9，5）一组；
（5）为使能整除91，则要求87x﹣3xy能被91整除，则87x=x+51，3xy=10x+y+27，即要求x+51=10x+y+27，由此得出（x，y）=（2，6）．
点评：
此题考查了整除的性质，明确能被9整除及能被11整除的特征，是解答此题的关键．

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