2017高三一轮复习第20讲----平面向量及其线性运算.doc

2017高三一轮复习第20讲 平面向量及其线性运算
（第一课时）
一、知识要点
1．向量的有关概念
⑴ 既有 又有 的量叫向量． 的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．
⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．
⑶ 且 的向量叫相等向量．
2．向量的加法与减法
⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．
⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．
3．实数与向量的积
⑴ 实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下：
① | |＝ ．
② 当＞0时，的方向与的方向 ；
当＜0时，的方向与的方向 ；
当＝0时， ．
⑵ (μ)＝ ．
(＋μ)＝ ．
(＋)＝ ．
⑶ 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．
4．⑴ 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 ．
⑵ 设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是 ．
二 。典型例题
题型一：平面向量的概念
例1.出下列命题：①若，则； ②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若，则； ④的充要条件是且∥； ⑤若∥，∥，则∥。 其中，正确命题的序号是____________
练习1. 判断下列命题是否正确：
① 零向量没有方向；② 两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；
③ 单位向量都相等；④ 在平行四边形中，一定有；
⑤ 若，，则；⑥ 若∥，∥，则∥；
⑦ 的充要条件是且∥；⑧ 向量就是有向线段；
⑨若∥，则直线∥直线；⑩ 两相等向量若共起点，则终点也相同.
练习2. . 判断下列命题是否正确
（1）若，则.
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
（3）若，则是平行四边形.
（4）若是平行四边形，则.
（5）若，则.
（6）若，则.
6. 若，，与的方向相反，则 .
题型二：向量的基本运算
例2．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设，，求．
变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量等于（ ）
A
D
B
C
A．－＋
B．－－
C．－
D．＋
变式训练2.已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
例3如图，梯形中，∥且，，分别是和的中
点，设，，试用，表示和.

.

B
O
A
D
C
N
M
变式训练3：如图所示，OADB是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用、表示，，．

第二课时：平面向量的坐标运算
知识要点：
1．平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ．
2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．
3．平面向量的坐标运算：
若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：
＋＝
－＝
λ＝
已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝ ．
4．两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是
5.重要定理、公式的坐标表示
（1）向量长度（模）的坐标表示：若，则.
（2）相等向量的坐标表示：. 相等的向量坐标相同，坐标
相同的向量相等.
（3）向量共线定理：若，，则∥.
（4）两点的距离：若，，则.
典型例题：
题型一：平面向量的坐标运算
例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且＝，求点C的坐标．
变式训练1.若，，则=
例2. 已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值．

变式训练2.已知－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋．

题型二：共线向量的坐标运算
例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x．

变式训练1.平面内给定三个向量，，，
A
M
B
C
D
P
（1）求满足的实数、的值；
（2）若∥，求实数的值；
（3）若满足∥，且，求.
例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．
(1) 若＝(3，5)，求点C的坐标；
(2) 当||＝||时，求点P的轨迹．

变式训练4已知、、，若，试问取何值时，点在第三象限？

作业：1．已知向量，，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2. 若，，且∥，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，且∥，则=（ ）
A． B． C． D．
4. 设向量，，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点是平行四边形对角线的交点，，，则的
坐标为 ；的坐标为 ；的坐标为 ．
5．已知，，，若，，三点共线，则的值是
6．下面给出四个命题：①对于实数m和向量，恒有
②对于实数m、n和向量，恒有
③若 ④若，则m=n 其中正确的命题个数是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7．在平行四边形中，若，则必有 ( )
A. B. C.是矩形 D.是正方形
8．下列命题中，正确的是（ ）
A.若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则
9. 下列说法中错误的是（ ）
A. 向量的长度与向量的长度相等　B. 任一非零向量都可以平行移动
C. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.
10．分别是的边的中点，且给出下列命题
① ② ③ ④
其中正确的序号是_________。
11．若，则__________。
12. 两列火车，先各从一站台沿相反方向开出，走了相同的路程，这两列火车位移的和是______。
13. 如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示。