1、高等代数(2)单元测验一
姓名 学号 得分
一、(15分) 选择题, 将正确选项填在括号[ ]里.
(1) 是数域上的维向量空间, 设,,是中的个线性无关的向量, 与它不等价的命题是 [ ].
A. 对任意不全为零的常数必有;
B. ,, 中任意向量都不能由其余向量线性表示;
C. , 且对任意,, 不能由,,, 线性表示;
D. 中的任意向量都可由,, 线性表示.
(2) 设,, 令,,, 则有[ ].
A. ,,必线性无关;
B. ,,必线性相
2、关;
C. 仅当,线性无关时, ,,线性无关;
D. 仅当,线性相关时, ,,线性相关.
(3) 已知向量组,,的极大无关组里含有个向量, 以下命题不正确的是[ ].
A. ,,中至少有一个含有个向量的部分组线性无关;
B. ,,中任何含有个向量的部分组都线性无关;
C. ,,中任何含有个向量的部分组都线性相关;
D. ,,中含有个向量的线性无关部分组与,,可互
相线性表示;
二、(20分) 判断, 在正确的命题后面打√, 错误的命题后面打×.
(1) 任何一个向量空间都不可能与它的某个真子空间同构. [ ]
(2) 令表示数域上一切次数的多项式连同零多项式
3、所组成的向
量空间, 则它的维数是. [ ]
(3) 设是数域上的行列的矩阵, 则的行空间和列空间相同且具有
相同的维数. [ ]
(4) 所有的维向量空间都是同构的.[ ]
三、(10分) 设是数域上的阶方阵, , 若, , 试证明线性无关.
四、(15分) 设在,,,中不能由,,,线性表示, 而是,,,的线性组合, 证明可以由,,,线性表示.
五、(15分) 求齐次线性方程组的一个基础解系.
六、(25分) 已知,,,是四维向量空间的一个基, , , , .
(1)证明,,,是的一个基;
(2)求由基,,,到基,,,的过渡矩阵;
(3)求在基,,,和基,,,下坐标相同的向量.
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