高中数学经典解题技巧及方法：三角变换及解三角形[1].doc

高中数学经典解题技巧：三角变换与解三角形一、三角变换及求值解题技巧： 1在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形（1）；（2）角的变换； （3）。2利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。例1：已知向量,且()求tanA的值； ()求函数R)的值域 解析：（）由题意得mn=sinA-2cosA=0,因为cosA0,所以tanA=2. （）由（）知tanA=2得 因为xR,所以.当时，f(x)有最大值， 当sinx=-1时，f(x)有最小值-3 所以所求函数f(x)的值域是 二、正、余弦定理的应用解题技巧：1在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。2在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。例2：（2010辽宁高考理科17）在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角（II）由（I）知角C60-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值【规范解答】（）由已知，根据正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，A=120 （）由（）得： 故当B30时，sinB+sinC取得最大值1。【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C60 三、三角函数的实际应用例3：（2010江苏高考7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1) 该小组已测得一组、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。【思路点拨】（1）分别利用表示AB、AD、BD，然后利用ADAB=DB求解；（2）利用基本不等式求解.【规范解答】（1），同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大。因为，则，由的单调性可知：当时，-最大。故所求的是m。例4（2010福建高考文科2）计算的结果等于（ ）A. B. C. D.【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。【思路点拨】 直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。【规范解答】选B，。 【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。如倍角公式：，的逆用公式为“降幂公式”，即为，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。例5（2010 海南宁夏高考理科T16）在中，D为边BC上一点，BD=DC,=120，AD=2，若的面积为，则= .【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解.【规范解答】设，则，由的面积为可知，可得，由余弦定理可知，所以，所以由，及可求得【答案】60【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.例6（2010天津高考理科7）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A= ( )（A） （B） （C） （D）【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。【规范解答】选A，根据正弦定理及得：，。【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。例7（2010天津高考理科7）已知函数（）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（）若，求的值。【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。 【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角，【规范解答】（1）由，得所以函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1（）由（1）可知 又因为，所以由，得从而所以