计算方法-刘师少版课后习题答案.doc

1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数
解 近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有
.
即n=3，故x=3.14有3位有效数字. x=3.14准确到小数点后第2位.
又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有

即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.
而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有

即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.
这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字
1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：
2.0004 －0.00200 9000 9000.00
解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1
绝对误差限：
m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字
=2，相对误差限
（2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m=-2

m-n=-5, m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字
=2，相对误差限=0.0025
(3) ∵ 9000=0.9000×104, m=4，

m-n=0, m=4则n=4,故x=9000有4位有效数字
＝0.000056
(4) ∵9000.00=0.900000×104, m=4，

m-n=-2, m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字
相对误差限为＝0.000 00056
由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.
1.3 ln2=0.69314718…，精确到的近似值是多少？
解 精确到＝0.001，即绝对误差限是e＝0.0005,
故至少要保留小数点后三位才可以.ln2»0.693
2.1 用二分法求方程在[1, 2]的近似根，要求误差不超过至少要二分多少？
解：给定误差限e＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为
只要取k满足即可，亦即

只要取n＝10.
2.3 证明方程1 -x –sinx ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过
0.5×10-4的根要二分多少次？
证明 令f(x)＝1－x－sinx，
∵ f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0
∴ f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又
f ¢(x)=-1－cosx<0 (xÎ[0.1]),故fx) 在[0，1]单调减少，所以f(x) 在区间
[0，1]内有唯一实根.
给定误差限e＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为
只要取k满足即可，亦即

只要取n＝14.
2.4 方程在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：
（1），迭代公式 （2），迭代公式
（3），迭代公式 （4），迭代公式
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
解：（1）令，则，由于
，因而迭代收敛。
（2）令，则，由于

迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。
（3）令，则，由于

迭代发散。
（4）令，则，由于

迭代发散。
具体计算时选第二种迭代格式，
n=0,1,…
计算结果如下：

2.5 对于迭代函数，试讨论：
（1） 当C取何值时，产生的序列收敛于；
（2） C取何值时收敛速度最快？
解：（1），，由已知条件知，当
，即
时，迭代收敛。
（2）当时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。即
，所以时收敛最快。
2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：
(1) 不使用除法运算； (2) 不使用开方和除法运算.
解：（1）令，取，则

迭代格式为
注：若令，取，则
，显然迭代格式不法不符合题意。
（2） 令，取，则

迭代格式

2.10 设。
（1） 写出解的Newton迭代格式。
（2） 证明此迭代格式是线性收敛的。
解：因，故，由Newton迭代公式：

得

以下证明此格式是线性收敛的
因迭代函数而又则

故此迭代格式是线性收敛的。

第三章 解线性方程组的直接方法习题及解答
（考试时二元）3.2 用列主元素消去法解线性方程组

解：第一步列选主元10，将第一和第二行交换，再消去，得

第二步列选主元，将第二和第三行交换，再消去，得

回代求解得
3.3 用高斯-约当法求逆矩阵

列选主
解：
消元

列选主

消元

消元

则
3.4 用矩阵的直接三角分解解方程组

解 设系数矩阵A的杜利特尔分解为A=LU，即

将右端两矩阵相乘后比较两端，可得

再求解方程组LY=b, UX=Y, 即：

先由前一个方程组求得，代入后一个方程组，求得原方程的解为

3.7 证明对任意非奇异矩阵A、B有

证：

等式成立
3.8 证明对任意非奇异矩阵A有

证：因为
所以

3.9 设A、B∈为非奇异矩阵，证明
（1） Cond(A)≥1，Cond(A)= Cond(A-1)；
（2） Cond()=Cond(A)，；
（3） Cond(AB)≤Cond(A) Cond(B)。
证：(1)

(2)
(3)

3.10 设线性方程组为

（1） 试求系数矩阵A的条件数；
（2） 若右端向量有扰动，试估计解的相对误差。
解：（1）

（2）本题是讨论方程组的右端项有扰动δb时对解的相对误差的估计，
由解向量的精度的估计式：

第四章 解线性方程组的迭代法习题及解答
4.1 用Jacobi迭代格式解方程组

要求
解 Jacobi迭代格式为

取初始迭代向量，迭代结果为：

……

由于
所以满足要求的解为

4.2 用高斯—塞德尔迭代法求解线性方程组

要求
解：建立高斯—塞德尔迭代格式：

取初始迭代向量，迭代结果为：

故方程组的近似解为
4.4 线性方程组的系数矩阵为
A＝
试求能使雅可比迭代法收敛的的取值范围。
解 当时，雅可比迭代矩阵
B＝

得，故，由，得，即时，，雅可比迭代法收敛。
4.6 设线性方程组

试求能使高斯－赛德尔迭代收敛的的取值范围。
解 高斯－赛德尔迭代矩阵

它的特征多项式为

其特征值为
当时，，高斯－赛德尔迭代收敛。

第五章 插值与曲线拟合习题与解答
5.1 已知函数y=f(x)的观测数据为
xk
－2
0
4
5
yk
5
1
－3
1
试构造不超过三次的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，并验证插值多项式的惟一性，再计算f(－1)的近似值.。
解 （1）建立拉格朗日插值多项式：构造基函数

所求三次多项式为
P3(x)=
＝＋+＋
＝
（2）建立牛顿插值多项式：建立差商表为

x
f(x)
一阶差商
二阶差商
三阶差商
-2
5

0
1
-2

4
-3
-1
1/6

5
1
4
1
5/42
牛顿插值多项式为

(3) 惟一性验证：将拉格朗日插值多项式与牛顿插值多项式比较它们是完全一样的，这一结论和插值多项式的惟一性一致。
（4）计算f(－1)»
5.6 设，试利用拉格朗日余项定理给出以 -1，0，1，2为节点的三次插值
多项式P(x)。
解 根据拉格朗日余项定理

5.10 若，求和。
解 ，=0

5.13 求满足以下条件的Hermite插值多项式

0
1

0
1

1
2
解 令所求插值多项式为

依所给插值条件有

由此解出

故有

第六章数值积分与微分习题与解答
6.1 用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算积分，并估计各种方法的误差（保留5位小数）
解 记a=0, b=1, , 则

则梯形公式

其误差为

辛卜生公式

其误差为

柯特斯公式

其误差为

6.2 试确定求积公式的代数精度.
[依定义，对xk (k=0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k数值]
解 当f(x)取1,x,x2,…计算求积公式何时精确成立.
(1) 取f(x)=1, 有
左边＝, 右边＝
(2) 取f(x)=x, 有
左边＝, 右边＝
(3) 取f(x)=x2, 有
左边=, 右边=
(4) 取f(x)=x3, 有
左边=, 右边=
(5) 取f(x)=x4, 有
左边=, 右边=
当k£3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度

6.3 用代数精度定义直接验证辛卜生公式

具有3次代数精度。
解：设f(x)=1, 公式左边 ，公式右边
f(x)=x, 公式左边 ，公式右边
f(x)=x2, 左边 ，右边
f(x)=x3, 左边 ，右边
f(x)=x4, 左边
所以辛卜生公式具有3次代数精度
6.4 设有近似公式
试确定求积系数A ,B ,C使这个公式具有最高的代数精度
解：分别取 = 1, x, 使求积公式准确成立，即得如下方程组。

解之得，
所以得到求积公式为：
此求积公式对于都准确成立，对于就不准确了，所以此求积公式具有 3 次代数精度。

6.5 如果用复化梯形公式计算定积分 ，要将积分区间[0, 1]多少等份才能使误差不超过
0.5×10－4 ？若用复合辛卜生公式呢？
解：取，则，
又区间长度ba=1, 对复化梯形公式有余项

即，n≥40.8，取n=41，即将区间[0,1] 41等份时，用复化梯形公式计算误差不超过0.5×10－4。
用复合辛卜生公式计算时要求

即，n≥1.6233，取n=2，即将区间[0,1] 2等份时，用n=2的复化梯形公式计算可使误差不超过0.5×10－4。

6.6. 试确定求积公式的待定参数，使求积公式
的代数尽可能的高。
解：设求积公式对准确成立，则得方程组

解之得
所求的求积公式为：

将分别代入上式得：
当时 左端=右端，即

当时 左端≠右端，即

所以求积公式具有3次代数精度。
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6.7 若，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明这个结果的几何意义。
证明：由梯形公式的误差

若，则，所以，即当时用梯形公式计算积分所得的结果比准确值大。
其几何意义如下图所示：当时，曲线是下凹的，梯形abCD的面积大于曲边梯形面积。

6.8 推导下列三种矩形求积公式：

解：（1）将在x=a处Taylor展开得

两边在[a,b]上积分，得：

∴
（2）将在x=b处Taylor展开得

两边在[a,b]上积分，得：

∴
(3) 将在处Taylor展开得

两边在[a,b]上积分，得：

∴

第七章 常微分方程数值解习题及解答

7.1 用欧拉法解初值问题，取步长h=0.2.计算过程保留6位小数.
解：h=0.2, f(x)=－y－xy2.首先建立欧拉迭代格式

当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有
y(0.2)»y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8
当k＝1，x2=0.4时，已知x1=0.2, y1=0.8，有
y(0.4)»y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4
当k=2，x3=0.6时，已知x2=0.4,y2=0.6144，有
y(0.6)»y3=02×0.6144×(4－0.4×0.6144)＝0.461321

7.2 推导初值问题

后退（隐式）欧拉公式

并估计其截断误差。
解：将方程的两端从到求积分

用右矩形公式计算积分项

设则得后退（隐式）欧拉公式

将在处泰勒展开

∴
等式两端与后退（隐式）欧拉公式两端分别相减，得其截断误差为

∴ 其截断误差为
7.5 对初值问题

证明：用梯形公式求得的近似解为并证明当步长h®0时，yn®e－x
证明 解初值问题的梯形公式为

整理成显式

反复迭代，得到

若x>0, 为求y(x)的近似值，用梯形公式以步长h经过n步计算得到x，故x=nh，有

7.6 用欧拉法解初值问题

证明其截断误差

这里，是欧拉方法的近似解，而为原初值问题的精确解。
证：由已知条件知，，由欧拉法得

………

因，于是

故其截断误差为