垂径定理练习题汇总.doc

一选择题（共7小题）1（2014凉山州）已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，AB=8cm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（）AcmBcmCcm或cmDcm或cm2（2014舟山）如图，O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A2B4C6D83（2014毕节地区）如图，已知O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A6B5C4D34（2014三明）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，则下列结论正确的是（）AOE=BEB=CBOC是等边三角形D四边形ODBC是菱形5（2014南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A40cmB60cmC80cmD100cm6（2014安顺）如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN=30，点B为劣弧AN的中点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）AB1C2D27（2014沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（）A（5，4）B（4，5）C（5，3）D（3，5）二解答题（共7小题）8（2014佛山）如图，O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围9（2014盘锦三模）如图，CD为O的直径，CDAB，垂足为点F，AOBC，垂足为E，（1）求AB的长；（2）求O的半径10（2009长宁区二模）如图，点C在O的弦AB上，COAO，延长CO交O于D弦DEAB，交AO于F（1）求证：OC=OF；（2）求证：AB=DE11（2009浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度12（2008长宁区二模）如图，在ABC中，AB=AC，O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知A=ABO，连接OE、OF、OB（1）求证：四边形AEOF为菱形；（2）若BO平分ABC，求证：BE=BC13（2007佛山）如图，O是ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求O的半径14（2007青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OCAB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径参考答案与试题解析一选择题（共7小题）1（2014凉山州）已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，AB=8cm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（）AcmBcmCcm或cmDcm或cm考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有专题：分类讨论分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论解答：解：连接AC，AO，O的直径CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM=3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC=4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在RtAMC中，AC=2cm故选：C点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键2（2014舟山）如图，O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A2B4C6D8考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有专题：计算题分析：根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长解答：解：CE=2，DE=8，OB=5，OE=3，ABCD，在OBE中，得BE=4，AB=2BE=8故选：D点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握3（2014毕节地区）如图，已知O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A6B5C4D3考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有分析：过O作OCAB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可解答：解：过O作OCAB于C，OC过O，AC=BC=AB=12，在RtAOC中，由勾股定理得：OC=5故选：B点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长4（2014三明）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，则下列结论正确的是（）AOE=BEB=CBOC是等边三角形D四边形ODBC是菱形考点：垂径定理菁优网版权所有分析：根据垂径定理判断即可解答：解：ABCD，AB过O，DE=CE，=，根据已知不能推出DE=BE，BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形故选：B点评：本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力5（2014南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A40cmB60cmC80cmD100cm考点：垂径定理的应用；勾股定理菁优网版权所有分析：连接OA，过点O作OEAB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长解答：解：连接OA，过点O作OEAB，交AB于点M，直径为200cm，AB=160cm，OA=OE=100cm，AM=80cm，OM=60cm，ME=OEOM=10060=40cm故选：A点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键6（2014安顺）如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN=30，点B为劣弧AN的中点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）AB1C2D2考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理菁优网版权所有分析：作点B关于MN的对称点B，连接OA、OB、OB、AB，根据轴对称确定最短路线问题可得AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出AON=60，然后求出BON=30，再根据对称性可得BON=BON=30，然后求出AOB=90，从而判断出AOB是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB=OA，即为PA+PB的最小值解答：解：作点B关于MN的对称点B，连接OA、OB、OB、AB，则AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB，AMN=30，AON=2AMN=230=60，点B为劣弧AN的中点，BON=AON=60=30，由对称性，BON=BON=30，AOB=AON+BON=60+30=90，AOB是等腰直角三角形，AB=OA=1=，即PA+PB的最小值=故选：A点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到AOB是等腰直角三角形是解题的关键7（2014沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（）A（5，4）B（4，5）C（5，3）D（3，5）考点：坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理菁优网版权所有专题：压轴题分析：因为点A在第一象限，A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，所以OB=2，OC=8，BC=6，连接AD，则ADOD，过点A作AEOC于E，则ODAE是矩形，由垂径定理可知BE=EC=3，所以OE=AD=5，再连接AB，则AB=AD=5，利用勾股定理可求出AE=4，从而就求出了A的坐标解答：解：连接AD，AB，AC，再过点A作AEOC于E，则ODAE是矩形，点A在第一象限，A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，OB=2，OC=8，BC=6，A与y轴相切于点D，ADOD，由垂径定理可知：BE=EC=3，OE=AD=5，AB=AD=5，利用勾股定理知AE=4，A（5，4）故选A点评：本题需综合利用垂径定理、勾股定理来解决问题二解答题（共7小题）8（2014佛山）如图，O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有专题：几何图形问题分析：过点O作OEAB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论解答：解：过点O作OEAB于点E，连接OB，AB=8cm，AE=BE=AB=8=4cm，O的直径为10cm，OB=10=5cm，OE=3cm，垂线段最短，半径最长，3cmOP5cm点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键9（2014盘锦三模）如图，CD为O的直径，CDAB，垂足为点F，AOBC，垂足为E，（1）求AB的长；（2）求O的半径考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：（1）先根据CD为O的直径，CDAB得出=，故可得出C=AOD，由对顶角相等得出AOD=COE，故可得出C=COE，再根据AOBC可知AEC=90，故C=30，再由直角三角形的性质可得出BF的长，进而得出结论；（2）在RtOCE中根据C=30即可得出OC的长解答：解：（1）CD为O的直径，CDAB，=，AF=BF，C=AOD，AOD=COE，C=COE，AOBC，AEC=90，C=30，BC=2，BF=BC=，AB=2BF=2；（2）AOBC，BC=2，CE=BE=BC=，C=30，OC=2，即O的半径是2点评：本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键10（2009长宁区二模）如图，点C在O的弦AB上，COAO，延长CO交O于D弦DEAB，交AO于F（1）求证：OC=OF；（2）求证：AB=DE考点：垂径定理；全等三角形的判定菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）、由同角的余角相等可得，DFO=OCA，由AAS证得ACODFO，故有OF=OC；（2）、证得DOE=AOB，再由SAS得到OABODEAB=DE解答：证明：（1）D+DCA=D+DFO=90，DFO=OAC又OD=OA，DOF=AOC=90，ACODFOOF=OC（2）连接OB、OE，OE=OD，OA=OB，D=E，A=BDOE=1802D，AOB=1802A由1知，ACODFO，有A=DDOE=AOB又OE=OD=OA=OB，OABODEAB=DE点评：本题利用了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等边对等角求解11（2009浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度考点：垂径定理的应用菁优网版权所有分析：作半径OCAB，连接OA，则CD即为弓形高根据垂径定理的AD=AB，然后根据已知条件求出CD的长；当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P，由此可得OP=0.3，然后根据MN与AB在圆心同侧或异侧时两种情况解答解答：解：（1）作半径OCAB，垂足为点D，连接OA，则CD即为弓形高OCAB，AO=0.5，AB=0.6，AD=AB=0.6=0.3，OD=0.4，CD=OCOD=0.50.4=0.1米，即此时的水深为0.1米（2）当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P同理可得OP=0.3，当MN与AB在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；当MN与AB在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7米点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力12（2008长宁区二模）如图，在ABC中，AB=AC，O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知A=ABO，连接OE、OF、OB（1）求证：四边形AEOF为菱形；（2）若BO平分ABC，求证：BE=BC考点：菱形的判定；平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆的认识；垂径定理菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQAB于Q，连接OC，根据等腰三角形的性质证出BAC=ABO=ACO，推出BAC=OEB=OFC，得出AEOF，AFOE，再OE=OF，即可推出答案；（2）根据角平分线定理求出OQ=OM，根据勾股定理求出BQ=BM，根据垂径定理即可推出结论解答：证明：（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQAB于Q，ORAC于R，连接OC，OB=OC，OBC=OCB，AB=AC，ABC=ACB，ABO=ACO，BAC=ABO，BAC=ABO=ACO，OE=OB，OC=OF，ABO=OEB，ACO=OFC，BAC=OEB=OFC，AEOF，AFOE，四边形AEOF是平行四边形，OE=OF，平行四边形AEOF为菱形（2）圆O过B、C，O在BC的垂直平分线上，AB=AC，AMBC，BO平分ABC，OQAB，OQ=OM，由勾股定理得：BM=BQ，由垂径定理得：BE=BC点评：本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的判定，菱形的判定，垂径定理，圆的认识，角平分线的性质，平行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键13（2007佛山）如图，O是ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求O的半径考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理菁优网版权所有专题：压轴题分析：可通过构建直角三角形进行求解连接OA，OC，那么OABC在直角三角形ACD中，有AC，CD的值，AD就能求出了；在直角三角形ODC中，用半径表示出OD，OC，然后根据勾股定理就能求出半径了解答：解：连接OA交BC于点D，连接OC，OB，AB=AC=13，=，AOB=AOC，OB=OC，AOBC，CD=BC=12在RtACD中，AC=13，CD=12所以AD=设O的半径为r则在RtOCD中，OD=r5，CD=12，OC=r所以（r5）2+122=r2解得r=16.9答：O的半径为16.9点评：本题主要考查了垂径定理和勾股定理的综合运用14（2007青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OCAB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径考点：垂径定理的应用菁优网版权所有分析：根据题意，可以推出AD=BD=30，若设半径为r，则OD=r10，OB=r，结合勾股定理可推出半径r的值解答：解：OCAB，AD=DB，在RtAOD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r得：r2=（r10）2+302，解得：r=50，这段弯路的半径为50m点评：本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度