角平分线-(2).doc

角平分线
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
证明:如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵DB⊥AB，DC⊥AC
∴∠ABD=∠ACD=90°
又 AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴CD=BD
故原命题得证。
该命题的点在这个角的角平分线上。
证明:如图，DB⊥AB，DC⊥AC，且DB=DC
∵DB⊥AB，
∴∠DBA=90
同理∴∠DCA=90
在RT△DBA和RT△DCA中，
{DB=DC(已知)
AD=AD(公共边)
∴RT△DBA≌RT△DCA(HL)
∴∠BAD=∠CAD(全等三角形对应角相等)
折叠定理2
三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
证明:如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线
过点D作DE⊥AB，DF⊥AC
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC定理2证明图
∴DE=DF(定理1)
∵2S△ABD=AB×DE,2S△ACD=AC×DF
∴S△ABD:S△ACD=AB:AC
过点A作AG⊥BC，,垂足为G
∵2S△ABD=BD×AG,2S△ACD=CD×AG
∴S△ABD:S△ACD=BD:CD
∴AB:AC=BD:CD