自 由 网 平 差.doc

自 由 网 平 差
班级： 测绘0911 学号： 姓名： 日期：
一、 实验分析
（1）实验的目的
1.熟悉广义逆的概念和计算
当观测值之间不存在着函数相关，是满秩的，以间接平差为例，在求解
NX=BTPl的时候，N=BTPB，其秩R(N)=R(BTPB)=R(B)=t，N为非奇异的，存在凯利逆，
所以法方程存在唯一的解，称为经典自由网平差，而当网中不设起始数据或不存在必要
的起始数据，而且又设网点坐标为待平差参数，误差方程系数阵列亏，这样的平差称为
秩亏自由网平差，而这里就引入了广义逆的概念，广义逆是对任何矩阵定义的一种逆矩
阵，设A为n*m阵，秩R(A)=γ<=min（m，n），满足方程AGA=A，的G定义为A的广义
逆，G为m*n阵，记为A-不唯一，称为A-型广义逆。（仅当A为m=n阶非奇异方阵时，
A-1=A-,唯一）
2.了解秩亏自由网平差的原理和方法
秩亏自由网平差的原理:
误差方程式为V=BX-l，权阵P为D=σ02Q=σ02P-1
平差原则：
VTPV=min，XTX=min
法方程及其解为 NX=BTPl X=NM-BTPl=N(NN)-BTPl
因N+也满足最小范数逆的两个条件，故N+∈Nm-,其解也可以用N+表达，即有
X=N+BTPl=N(NN)-N(NN)-NBTPl,
单位权方差估值仍为 σ02=VTPV/f=VTPV/(n-R(B))
X的协因数阵为 QXX=Nm-BTPQPB(Nm-)T=N(NN)-N(NN)-N=N+ 或者QXX=N+ BTPQPBN+=N+NN+=N+
法方程系数阵N的伪逆N+就是参数估值X的协因数阵。由误差方程式，顾及
QXV=Q-BQXXBT=Q-BN+BT
秩亏自由网平差的方法:
第一步：求得误差方程：V=BX-l
第二步：组成法方程:NX=BTPl
第三步：计算N(NN)-和Nm-=N(NN)-
第四步：计算X=Nm-BTl
第五步：平差结果的计算
第六步：X的协因数计算QXX=N+
3. 掌握如何使用自由网拟稳平差解决变形监测数据处理
在监测自由网中，假定有一部分对于另一部分点是相对稳定的。以网中所有点的高程或坐标作为未知数，可将其分为稳定的和不稳定的坐标未知数两类。设它们的近似值分别为X20和X10，则可列出误差方程为V=BX-l=（B1 B2）-l，求出X1和X2即是对应的参数求解的过程，最后求出协因数阵即可。
4.完成对书中例子的验算（例4-4、4-5、4-6）
5. 完成自由网拟稳平差程序设计，并用书中例4-9数据进行验证
（2） 实验要求
独立完成书中相关示例的验证
能够在EXCEL中完成参数的推导和假设假设验证
每个小组需一起合作完成自由网拟稳平差程序设计
书写实验报告
（3） 实验过程的剖析
在4-4实验中:求解A+，先根据A阵求解N=ATA;求出NN,(NN)-,再求N+=N(NN)-N(NN)-N；
最后即可以得出A+=N+AT;依次按照公式就可以得到广义逆的解
在4-5实验中，第一步：求得误差方程：V=BX-l 第二步：组成法方程:NX=BTPl
第三步：计算N(NN)-和Nm-=N(NN)- 第四步：计算X=Nm-BTl第五步：平差结果的计算
第六步：X的协因数计算QXX=N+
在4-6实验中，与4-5实验类似，在求解误差方程的过程中，将B矩阵进行切分，从而
得到B1和B2，X1和X2；计算N矩阵，计算M=N22-N21N11-1N12;计算αT=B2T-N21N11-1B1T
计算MM,(MM)-以及Mm-=M(MM)-,α=Mm-αT,β=N11-1(B1T-N12α)，计算X2，X1和X0+X,
X2=αl，X1=βl，X即可以求解出，从而可以求解得到V，最后即可以求解出QXX
在4-9实验中，先根据已知的数据得到V的表达式，再进行秩亏自由网平差，
δX = N(NN)-BTPΔhΔh，再求解QδXδX=N(NN)-N(NN)-N，而 σ0^2=VTPV/(n-R(B))
二、 实验的步骤
实验一

实验二

实验三

实验四

三、 实验的结论分析
在这几个实验中，秩亏自由网平差与拟稳平差计算出的V都是一样的，与最小范数求解一致，因为都是在VTPV=min的情况下求解的，包括在经典测量中，V得出的结论都是一样的，而X的计算结果是不同的，因为在计算秩亏方程中采用的X的范围不一样，自然得出的解也是不同的。
四、 实验心得体会

五、 源程序（带注释）