高考理科第一轮复习练习(7.7空间直角坐标系).doc

课时提升作业(四十八)
一、选择题
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在　(　　)
(A)y轴上　　　　　 (B)xOy平面上
(C)xOz平面上 (D)yOz平面上
2.已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影,则|OB|等于　(　　)
(A)(9,0,16) (B)25
(C)5 (D)13
3.以棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为　(　　)
(A)(0,,) (B)(,0,)
(C)(,,0) (D)(,,)
4.点M(x,y,z)在坐标平面xOy内的射影为M1,M1在坐标平面yOz内的射影为M2,M2在坐标平面xOz内的射影为M3,则M3的坐标为　(　　)
(A)(-x,-y,-z)
(B)(x,y,z)
(C)(0,0,0)
(D)(,,)
5.已知向量a=(1,-1,1),b=(-1,2,1),且ka-b与a-3b互相垂直,则k的值是
(　　)
(A)1　　　 (B)　 　　(C)　　 　(D)-
6.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=(3,λ,)平行,则λ=　(　　)
(A) (B)
(C)- (D)-
7.正方体不在同一表面上的两个顶点为A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的体积为　(　　)
(A)8　　　(B)27　　　(C)64　　　(D)128
8.有以下命题:①如果向量a,b与任何向量不能构成空间的一个基底,那么a,b的关系是不共线;②O,A,B,C为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面;③已知a,b,c是空间的一个基底,则a+b,a-b,c也是空间的一个基底.其中正确的命题是　(　　)　
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③
9.(2013·济宁模拟)设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为　(　　)
(A)(,,) (B)(,,)
(C)(,,) (D)(,,)　
二、填空题
10.(能力挑战题)正方体ABCD -A′B′C′D′的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN的长度最大时,·的取值范围是　　　　.
11.给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为,则该点的坐标为　　　　.
12.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三个向量共面,则实数λ=　　　.

13.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||的值是　　　.
14.如图,直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点, 则异面直线C1D与A1C的夹角的余弦值为　　　　.
三、解答题
15.如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC
的中点,点A的坐标是(,,0),点D在平面yOz上,且
∠BDC=90°,∠DCB=30°.
(1)求向量的坐标.
(2)设向量和的夹角为θ,求cosθ的值.　

答案解析
1.【解析】选C.由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上
2.【解析】选C.由题意得点B的坐标为(3,0,-4),
故|OB|==5.
3.【解析】选B.由题意知所求点即为AB1的中点,由于A(0,0,0),B1(1,0,1),所以AB1的中点坐标为(,0,).
4.【解析】选C.依题意得,M1的坐标为(x,y,0),M2的坐标为(0,y,0),M3的坐标为(0,0,0).
【变式备选】在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M′,则点M′关于原点对称的点的坐标为　(　　)
(A)(-2,0,-3) (B)(-3,0,-2)
(C)(2,0,3) (D)(-2,0,3)
【解析】选C.由题意得点M′的坐标为(-2,0,-3),故点M′关于原点对称的点的坐标为(2,0,3).
【方法技巧】空间直角坐标系中求对称点坐标的技巧
(1)关于哪个轴对称,对应轴上的坐标不变,另两个坐标变为原来的相反数.
(2)关于坐标平面对称,另一轴上的坐标变为原来的相反数,其余不变.
(3)关于原点对称,三个坐标都变为原来的相反数.
(4)空间求对称点的坐标的方法,可类比平面直角坐标系中对应的问题进行记忆.
5.【解析】选D.∵ka-b=(k+1,-k-2,k-1),a-3b=(4,-7,-2),(ka-b)⊥(a-3b),
∴4(k+1)-7(-k-2)-2(k-1)=0,
∴k=-.

6.【解析】选C.由a∥b得,==,解得λ=-.
7.【解析】选C.设正方体的棱长为a,根据条件则有　
a=,解得a=4,
所以体积为43=64.
8.【解析】选C.对于①,“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系一定是共线”,所以①错误.②③正确.
9.【解析】选A.=+
=+×(+)
=+[(-)+(-)]
=(++),
由OG=3GG1知,==(++),
∴(x,y,z)=(,,).
10.【解析】因为MN是它的内切球的一条弦,所以当弦MN经过球心时,弦MN的长度最大,此时MN=2,以A′为原点建立空间直角坐标系如图.
根据直径的任意性,不妨设M,N分别是上下底面的中心,则两点的空间坐标为M(1,1,2),N(1,1,0),设P点坐标为P(x,y,z),则=(1-x,1-y,2-z),=(1-x,1-y,-z),所以·=(1-x)2+(1-y)2-z(2-z),即·=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-1.因为点P为正方体表面上的动点,所以根据x,y,z的对称性可知,·的取值范围与点P在哪个面上无关,不妨设点P在底面A′B′C′D′内,此时有0≤x≤2,0≤y≤2,z=0,所以此时·=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-1=(x-1)2+(y-1)2,所以当x=y=1时,·=0,此时·最小,但当P位于正方形的四个顶点时,·最大,此时有·=(x-1)2+(y-1)2=2,所以·的最大值为2,所以0≤·≤2,即·的取值范围是[0,2].
答案:[0,2]
11.【解析】设点P的坐标是(x,0,0),
由题意得,|P0P|=,
即=,
∴(x-4)2=25.
解得x=9或x=-1.
∴点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).
答案:(9,0,0)或(-1,0,0)
【变式备选】在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为　　　　　.
【解析】设点C的坐标为(0,0,z),
由条件得|AC|=|BC|,
即=,
解得z=.
答案:(0,0,)
12.【解析】由题意设c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),
∴∴
答案:
13.【解析】设P(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1),
=(-1-x,3-y,4-z),
由=2知x=-,y=,z=3,
故P(-,,3).
由两点间距离公式可得||=.
答案:
14.【解析】以A为原点建立空间直角坐标系,如图,A1(0,0,2),C(0,1,0),
D(1,0,1),C1(0,1,2).

则=(1,-1,-1),=(0,1,-2),||=,
||=,·=1,
cos<,>==,
故异面直线C1D与A1C的夹角的余弦值为.
答案:
15.【解析】(1)如图所示,过D作DE⊥BC,垂足为E,
在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,
∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=.
∴DE=CD·sin30°=,　
OE=OB-BD·cos60°=1-=.
∴D点坐标为(0,-,),
即向量的坐标为(0,-,).
(2)依题意知,=(,,0),=(0,-1,0),
=(0,1,0).
所以=-=(-,-1,),
=-=(0,2,0).
则cosθ====-.