复数的开方.doc

复数的开方教案1
　　教学目标
　　 1．掌握求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的法则．
　　 2．通过复数开方公式的推导和运用，培养推理能力和运算能力．
　　 3．通过对复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根几何意义的探求，培养和发展数形结合的意识和能力．
　　教学的重点与难点
　　重点：复数开方公式的推导与运用．

　　教学过程设计
　　 (一)从解方程引入复数开方
　　 师：由研究方程x2=－1的解引入虚数单位的概念，进而建立复数集．在复数集中方程x2=－a(a＞0)的解是什么？

　　 师：在复数集中x3=1的解有几个，是什么？
　　 生甲：可能有3个，一个是x=1，另外两个不知道．

　　师：你怎么知道的？

　　 师：对．类似这样的问题，如x3=1－i，x4=－1的解是什么？为解决这一类问题要研究求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根．
　　 (二)探求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根，并推导开方公式
　　 师：(提出课题)求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根．
　　 如何研究这一问题呢？首先，我们对复数的n次方根有几个值能有一个预测吗？
　　 生：我认为有n个．
　　 师：这只是预测，这要通过求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根来证实或否定．如何求复数的n次方根？要解决“如何求”，首先要弄清什么是复数n次方根？让学生回忆实数集中方根的概念．
　　 复数n次方根的意义：如果xn=z(n∈N+，z∈C)，那么x叫做z的n次方根．
　　 因为复数的n次方是复数，所以一个复数的n次方根也是复数．
　　 师：在建立复数n次方根概念的基础上，如何推导复数开n次方的公式呢？
　　 由上面分析可知，复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根仍是复数，设它为ρ(cos＋isin)，那么这两个复数有什么联系呢？
　　 生：r(cosθ＋isinθ)=[ρ(cos＋isin)]n(n∈N+)．
　　 师：求复数的n次方根的问题，就转化为在上面等式中求出ρ和．

①
　　这样就得到两个用三角形式表示的复数．两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么？
　　生：它们的模相等，辐角可以相差2π的整数倍．
　　师：由①式可得

　　由此可知，

　　 因此r(cosθ＋isinθ)的n次方根是

　　 由复数n次方根的意义和复数相等的条件，得到复数n次方根的表达式，下面的工作是什么？
　　生甲：用公式解题．
　　生乙：这个公式还没有推导完，它表示几个值？各是什么？还要对公式进一步认识．
　　师：对．首先要认识公式．对一个数学公式通常从以下几个方面认识：公式的推导；公式成立的条件；公式所反映的数量关系；公式的使用．
　　对公式的推导，不是停留在重复推导过程上，而是要求提炼推导的基本想法和所运用的基础知识．本公式是运用复数n次方根的概念和复数相等条件，建立方程求解方程推导的．
　　 公式成立的条件是：n∈N+，也就是说，我们研究的是复数开正整数次方．
　　对公式数量关系的认识：

②

个给定的自然数；式中的k∈Z它可以取任何整数，随着k的不同取值②式表示多少个不同的复数？为什么？
　　 (让学生讨论)
　　生甲：表示无数个不同的复数．
　　生乙：表示n个不同的复数．
　　师：哪个对，为什么？
　　生丙：表示n个不同的复数对，因为一个复数的n次方根有n个值．
　　 师：到目前为止，一个复数的n次方根有n个值这只是我们的推测，并没有证明．但我们可以肯定地说，它不会是无穷多个不同的值，而是有限个，你们说对吗？为什么？
　　生丁：对．由三角函数的周期性它不会是无穷多个不同的值．
　　师：这启发我们用三角函数的周期性研究复数n次方根的个数．为研究方便，把

③

　　 显然，k=n与k=0时，这两个角相差2π，由于正弦、余弦函数的周期都是2π，所在公式②中它们表示同一个复数．
　　 同理，k=n＋1，n＋2，…，n＋(n－1)与k=1，2，…，n－1所表示的复数对应相等．
　　 因此，当k取0，1，…，n－1各值时，就可以得到②式的n个值．由于正弦、余弦函数的周期都是2π，当k取n，n＋1以及其他各整数值时，又重复出现k取0，1，…，n－1时的结果，所以复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根是

　　 让学生叙述复数开n次方的法则，教师概括如下：
　　 复数的n(n∈N+)次方根是n个复数，它们的模都等于这个复数的模的n次算术根，它们的辐角分别等于这个复数的辐角与2π的0，1，…，n－1倍的和的几分之一．
　　 (三)运用复数开方公式，在运用中深化对复数n次方根的认识
　　 例1 求1－i的立方根．

　　 即1－i的立方根是下面三个复数：

　　 解题后让学生概括求复数n次方根的步骤，教师进行归纳总结：
　　 1．将复数z化为三角形式(辐角一般取主值)；
　　 2．代入开方公式；

　　 4．分别求出复数z的n个n次方根．
　　几点说明：
　　 1．将复数z化为三角形式时辐角取主值使答案规范．如例1中，将1－1的辐

次方根的辐角有规律性的认识，这正是我们要进一步研究的．
　　练习 在复数集C中解方程x4＋1=0．
　　请学生板演．
　　解：将方程变形为x4=－1=cosπ＋isinπ，

　　 教师讲评：解方程x4=－1就是求－1的4次方根．在实数集中无解，在复数集中它有4个虚数根．
　　 进一步深化对复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的认识．提出以下问题：
　　 师：问题1复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根有几个，它们的模等于什么？

　　 师：问题2复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的几个辐角有什么规律？
　　学生讨论，教师归纳总结．

　　 师：问题3复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的几何意义是什么？
　　学生讨论，教师概括总结．
　　复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的几何意义是：这n个n次方根对应于复平面

　　 例2 在复数集C中解方程x3=1，并证明它的三个根在复平面内是一个正三角形的三个顶点．
　　解：原方程就是
x3=cos0＋isin0，

　　 如图8－14，三个根x1，x2，x3在复平面内对应点分别为A，B，C．
　　 因为|x1|=|x2|=|x3|，则三点A，B，C在以原点为圆心的单位圆上．

　　 故|AB|=|BC|=|AC|，△ABC为正三角形．
　　解题后思考以下问题：
　　 (1)1的立方根在实数集中有几个值？在复数集中有几个值？各是什么？
　　 1的立方根在实数集中有1个值，是1．在复数集C中，1的立方根有3个值，有一个实数两个虚数，其中实数为1，两个虚数是一对有很多特征的共轭复数

　　 (2)方程x3=1除用复数开方公式求解，还有其他解法吗？(因式分解法，本节不展开)
　　 (四)小结
　　 由实数集扩充到复数集我们对一个数的n次方根的认识有了发展．在复数集C中，复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根有n个值．这n个值可由复数开方公式得到．它

　　 (五)作业
　　 1．高中代数下册P214～215练习第3，第4题．
　　 2．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是
[ ]

　　3．求证虚数的平方根仍是虚数．
　　 4．已知ε0，ε1，…，εn-1是非零复数z=r(cosθ＋isinθ)的n个不同的n次方根(n≥3)．
　　 (1)求证：ε0，ε1，…，εn-1组成等比数列；(2)求和Sn=ε0＋ε1＋ε2＋…εn-1．
　　作业答案或提示
　　 2．由复数开方运算的几何意义，画出－i的3个立方根在复平面内的对应点，得出选D．
　　 3．用反证法．假设虚数的平方根是实数，则它的平方也是实数，这与原数为虚数矛盾．

　　课堂教学设计说明
　　本节课设计的指导思想是：激发兴趣、注重过程、发展思维、指导学法．
　　 1．复数的有关知识比较抽象，离生产、生活实际较远．在复数教学中如何激发学生的学习兴趣，这是值得思考的问题．本节以解方程引入，通过对复数开方公式的推导得出公式，又回到在复数集中解方程x3=1，求出它的一个实根两个虚根，发展了在实数集中方程x3=1只有一根为1的认识．从学生熟悉的数学问题引入，提出问题，分析问题，解决问题，通过问题解决发展学生的认识，引起学生学习兴趣．
　　 2．注重对复数开方公式推导过程的教学．复数开方公式推导是本节课的重点也是难点．在教学中是分四个层次展开的：由解方程引入；由n次方根的意义切入；通过复数相等求解；由正弦、余弦函数的周期性确定复数的n次方根有n个值完成公式的推导．在推证过程中启发学生探求，发展思维，培养推理能力．
　　 3．指导学法，会学公式．在学习数学过程中学生遇到许多数学公式，如何认识数学公式，学好公式，会学公式是指导学生学法的一个重要方面．本节课通过对复数开方公式的分析，从公式推导、公式成立的条件、公式的数量关系、公式所反映的几何意义等方面去认识公式，从公式的运用中深化对公式的认识．这对学习其他数学公式也是有指导意义的．