华东理工大学概率论答案-17,18.doc

华东理工大学
概率论与数理统计
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________
学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________

第十七次作业
一．计算题：

1. 一复杂系统，由多个相互独立作用的部件组成，在运行期间，每个部件损坏的概率都是，为了使整个系统可靠地工作，必须至少有88%的部件起作用。
（1）已知系统中共有900个部件，求整个系统的可靠性（即整个系统能可靠地工作的概率）。
（2）为了使整个系统的可靠性达到，整个系统至少需要由多少个部件组成？
解: 设是起作用的部件数 ，～，当比较大时，近似有～。
（1），，,，。
整个系统要能可靠地工作，至少要有 个部件起作用，
所以，这时系统能可靠地工作的概率等于
≈ ≈ .
（2）设至少需要个部件，，。
这时系统能可靠地工作的概率等于
≈=
≈
（ 因为本题中很大，的值远远超过了，所以可以认为 ≈ ） 。
要 ，查表可得，即≈ ，
即如果整个系统可靠性要达到，它至少需要由个部件组成。

2. 保险公司接受多种项目的保险，其中有一项是老年人寿保险，若一年中有100000人参加这项保险，每人每年需付保险费20元，在此类保险者里，每个人死亡的概率是，死亡后家属立即向保险公司领得8000元。若不计保险公司支出的管理费，试求：
（1）保险公司在此项保险中亏本的概率；
（2）保险公司在此项保险中获益80000元以上的概率。
解： 设是死亡的人数，～，， ，。近似有 ～，，。
保险公司的净获益为 。
（1）当 ，即 时，保险公司在此项保险中亏本，其概率为
≈≈≈ .
（2）若要 ，必须有 ，这时，概率为
≈≈≈ 。

3. 抽样检查产品质量时，如果发现次品不少于10个，则认为这批产品不能接受，应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到。
解: 设要检查个产品，是其中的次品数，～， ，。近似有 ～，， 。
当时这批产品不被接受，所以，产品不被接受的概率为
≈
≈
（ 因为本题中很大，的值远远超过了，所以可以认为 ≈ ） 。
现在要，查表可得，即有
。
这是一个关于的一元二次不等式方程，解这个方程，得到 或 ，但不可能小于负值，所以只有，平方后得到
，
大于的最小整数是，即只要检查个产品即可达到要求。

4. 分别用切比雪夫不等式和德莫哇佛-拉普拉斯极限定理确定：当掷一枚硬币时，需要掷多少次，才能保证出现正面的概率在～之间的概率不少于90%。
解 设要掷次硬币，是掷出的正面数，～， ，，， 。
（1）用切比雪夫不等式估计。

。
现在要 ，即要有 。用切比雪夫不等式估计，需要掷次。
（2）用德莫哇佛-拉普拉斯定理估计。
因为～，近似有～，， 。
≈
。
现在要 ，即要有，查表可得 ，即有 。大于的最小整数是，用德莫哇佛-拉普拉斯定理估计，只要掷次就可以了。

5. 设为独立同分布随机变量序列，,为大于零的常数，试证服从大数定理。
解: 是独立同分布随机变量序列，，数学期望有限，满足辛钦大数定理的条件，服从辛钦大数定理。

6. 设为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为：
，
试证是否服从大数定律。
证: 由于为独立同分布随机变量序列,而
收敛,
满足辛钦大数定律的条件,故大数定律成立.

7. 随机变量序列各以的概率取值和，当为何值时，大数定理可应用于独立随机变量序列 ，的算术平均值。
解: ，，
。
当时，
，
因为 ，所以 ；
当时，
，
这时，显然不可能有 。
所以，当且仅当时，满足马尔可夫大数定理的条件，可应用马尔可夫大数定理。

第十八次作业
一．填空题：
1．设121， 128， 130， 109， 115， 122， 110， 120
为总体的一组样本观察值，则
样本均值=__119.375 __； 样本方差=__58.839___；
样本标准差=_7.671___； 样本二阶原点矩=_ 14301.88_。
2．设总体，为样本，则
~； ~；
~。

二． 选择题：
1. 设为总体的一个样本, 若样本观测值分别为
(-2, -1, 0, 0, 1, 2), 则下述选项错误的是 ( D )。
A. 样本均值为0 ； B. 样本中位数为0；
C 修正样本方差为2； D. 样本极差为2。

2． 已知总体，其中已知而未知，是总体的一个样本。则下列的( C ) 不是统计量。
A ； B. ；
C. ； D. 。
3．设随机变量, 是的样本, 为样本均值, 已知
, 则有( A )。
A. ; B. ; C. ; D. .
4．设总体，为样本，又设，且分布，则C=( C )。
A.1； B.； C. ； D.。

三．计算题：
1．设总体，是样本，求：（1）；
（2）；（3）；（4）。
解：（1）由知：
；
（2）由定理知： , 而, ，故,
=；
（3）
；
（4）
。

2．设总体，总体，且相互独立，从总体中抽取容量为10的样本，从总体中抽取容量为8的样本，且, 分别为，的样本均值，，分别为，的样本方差。求下列概率：
(1) ；(2) ；
(3)，
解: (1)

；
(2)对于从总体中抽取容量为8的样本, 样本均值的分布为,
并且与互相独立, 则,所以
；
(3) 根据定理5.4.3,可知, 所以
.
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