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三级实验讲义 赵伟 郑虹 傅里叶光学实验
傅里叶光学实验
傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。1906年波特（Porter）用实验验证了阿贝的理论。1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息论的结果被大量应用于光学系统分析中。两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理：
我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为： ( 1 )
F(u,v)叫作f(x,y)的傅立叶变换函数或频谱函数。它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)：
（2）
在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。逆傅里叶变换公式（2）说明一个空间函数f(x,y)可以表示成无穷多个基元函数exp[i2p(ux+vy)]的线性迭加，是相应于空间频率u,v的权重，F(u,v)称为f(x,y)的空间频谱。
为了下面的说明更方便，介绍几个常用的非初等函数和它们的性质：

（1）矩形函数： (3)
它以x0为中心，宽度为a（a>0），高度为1，两维矩形函数可以表示为两个一维矩形函数的乘积：
（2）sinc函数： (4)
（3）圆域函数： (5)
(4)d函数：d函数用来表示物理上的点光源，它是一个广义函数。它的定义式为：
(6)
或 (7)
其中f(x,y)叫做检验函数，要求为连续、可微函数。
d函数的性质：
a. 筛选性质：设函数f(x,y)在（x0,y0）连续，则有
(8)
b. 坐标缩放性质设a、b为实常数，则有
(9)
c. 可分离变数性：
(10)
d. 与普通函数乘积的性质：设函数f(x,y)在（x0,y0）连续，则有
(11)
(5)梳状函数：
一维梳状函数定义为： 其中n为整数。 (12)
两维梳状函数定义： (13)
在光学成像的过程中如果将一个平面图形放在一个理想的透镜（傅立叶变换透镜）的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到它的准确的傅立叶变换，即得到它的频谱函数。反之如果将一个平面图形的频谱放在一个理想的透镜的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到此平面图形（不过图形的坐标要反转）。从电子学的通讯理论我们知道，如果对信号的频谱进行处理（如滤波处理）再将信号还原就可以改变信号的性质，如去除信号的噪声等等。因此等效地可以在透镜的后焦平面上放置各种形状和大小的光阑改变图形的频谱，再对此图形用第二个透镜成像就可以对图形进行处理，得到经过处理的图形。这个过程叫作光学信息处理，在透镜的后焦平面上放置的光阑叫做空间滤波器。
函数
变换式
exp[-p(x2+y2)]
rect(x)rect(y)
d(x,y)
exp[jp(x+y)]
Comb(x)comb(y)
Circ(r)

exp[-p(u2+v2)]
Sinc(u)sinc(v)
1
d(u-1/2,v-1/2)
Comb(u)comb(v)
J1(2pr)/r 注：J1()为一阶贝塞尔函数
. 表1常用的几种函数的傅里叶变换式
最典型的空间滤波系统—两个透镜（光学信息处理系统或傅立叶光学变换系统）叫作4f系统，如图1所示，
图1 4f系统光路图
像平面
透镜2
频谱面
透镜1
物平面

图1
激光经过扩束准直形成平行光照明物平面(其坐标为x1,y1)，透过物平面的光的复振幅为物函数f(x1,y1),这一光波透镜1到达后焦平面（频谱面）就得到物函数的频谱，其坐标为(u,v)，再经透镜2 在透镜2的象平面上可以得到与物相等大小完全相似但坐标完全反转的象，设其坐标为(x2,y2)。此时我们将坐标完全反转后可以认为得到原物的完全相同的象。
关于物平面和频谱面的尺寸大小的问题是实验中很重要的。为了便于问题的讨论，假定物平面和频谱面的坐标单位相同，物函数f(x1,y1)的坐标x1、y1和频谱函数F(u,v)的坐标u、v的关系为, 其中l为光的波长，f为透镜的焦距。以矩孔为例，如果矩孔的长为a，宽为b，则频谱面得到的衍射图形即矩孔的频谱为[注1]
(14)

[注1 ]矩孔的数学表达式为，根据前面的傅里叶变换的缩放性质和表1可以推得式(14)
由此可以计算出频谱面上中央主极大（图2 右图中央的方斑）的宽度为，高度为。可以知道频谱面尺寸的大小与物平面图形尺寸成反比，与透镜焦距f成正比，所以为了得到较大尺寸的频谱图用于完成实验的透镜的焦距要求较长。图2右图所画的不是物函数的频谱，而是其功率谱。因为任何光的探测器都只能对光强有反映，所以我们观察到的只是频谱的强度分布即模的平方—功率谱。对方孔来说其频谱与功率谱的尺寸相同。

图2 矩形透光孔和它的频谱图

空间滤波器由于其特性和功能不同可以进行不同的分类，按其功能可以分为：

1．低通滤波：在频谱面上放如图3(1）所示的光阑，只允许位于频谱面中心及附近的低频分量通过，可以滤掉高频噪音。
2．高通滤波：在频谱面上放如图3(2)所示的光阑，它阻挡低频分量而让高频分量通过，可以实现图像的衬度反转或边缘增强。
3． 带通滤波：在频谱面上放如图3(3)所示的光阑，它只允许特定区域的频谱通过，可以去除随机噪音。
4．方向滤波：在频谱面上放如图3(4)或（5）所示的光阑，它阻挡或允许特定方向上的频谱分量通过，可以突出图像的方向特征。
图3 各种形式的空间滤波器
图3
以上滤波光阑因透光部分是完全透光，不透光部分是将光全部挡掉，所以称作“二元振幅滤波器”。还有各种其他形式的滤波器，如：“振幅滤波器”、“相位滤波器”和“复数滤波器”等。
5．相幅滤波器：是将位相转变为振幅的滤波器,它的重要应用就是把”位相物体”显现出来，所谓位相物体是指那些只有空间的位相结构而透明度却一样的透明物体。如生物切片、油膜、热塑等，它们只改变入射光的位相而不影响其振幅。所以人眼不能直接看到透明体中的位相分布也就是它们的形状和结构，利用相幅转换技术就能使人眼看到透明体的形状和结构，从而扩展了人眼的视觉功能。
为了实验的便利常常利用一个透镜完成空间滤波实验（阿贝成像装置）：
物面
透镜
频谱面
象面
图4 一个透镜的傅里叶变换系统
如图4所示，这个装置最早是由阿贝（Abbe）于1893年提出的。1906年波特（Porter）用实验验证了阿贝的理论，科学地说明了成像质量与系统传递的空间频谱之间的关系。
在这种情况下，由于物面与透镜的前焦平面不重合，根据傅立叶光学的理论可以知道在透镜的后焦平面上得到的不是物函数的严格的傅立叶变换（频谱），不过只有一个位相因子的差别，对于一般情况的滤波处理可以不考虑。这个光路的优点是光路简单，是显微镜物镜成像的情况—可以得到很大的象以便于观察，这正是阿贝当时要改进显微镜的分辨本领时所用的光路。
实验内容：
测小透镜的焦距f1 （付里叶透镜f2=45.0CM）.
光路：直角三棱镜→望远镜（倒置）（出射应是平行光）→小透镜→屏
思考：如何测焦距？
1. 夫琅和费衍射：
光路：直角三棱镜→光栅→屏（此光路满足远场近似）
（1）利用夫琅和费衍射测一维光栅常数；
光栅方程：dsinθ=kλ 其中,k=0,±1, ±2, ±3,…
请自己选择待测量的量和求光栅常数的方法。
记录一维光栅的衍射图样、可看到哪些级？记录 0级、±1级、±2级光斑的位置；
（2）记录二维光栅的衍射图样.

图5 实验光路图
3.观察并记录下述傅立叶频谱面上不同滤波条件的图样或特征；
光路：直角三棱镜→光栅→小透镜→滤波范本（位于空间频谱面上）→屏
思考：空间频谱面在距小透镜多远处？图样应是何样？
（1）一维光栅：（滤波范本自制，一定要注意戴眼镜保护；可用一张纸，一根针扎孔来制作，也可用其他方法）.
a.滤波范本只让 0级通过;
b.滤波范本只让0、±1级通过;
c.滤波范本只让0、±2级通过;
（2）二维光栅：
a.滤波范本只让含0级的水平方向一排点阵通过；
b.滤波范本只让含0级的竖直方向一排点阵通过；
c.滤波范本只让含0级的与水平方向成45O一排点阵通过；
d.滤波范本只让含0级的与水平方向成135O一排点阵通过.

图7 二维光栅的空间滤波
4.“光”字屏滤波：
物面上是规则的光栅和一个汉字组成迭加，在实验中我们要得到如下结果：
a．在象面上仅看到一个汉字“光” ；应如何操作？写出相应过程.
b．如何操作可看到像面上是“光”字中仅有横条纹，或“光”字中仅有竖条纹.

思考题:
1、在实验内容（1）中如果挡掉零级光斑，让所有高级衍射光斑透过，在象平面得到的像是什么样的？分析以下情况a.光栅透光缝a<光栅周期d/2，b. 光栅透光缝a>光栅周期d/2，c. 光栅透光缝a=光栅周期d/2。
2、请说明若要自己组装一个准直光扩束镜，请给出利用两个光学元件的组装方法。

参考文献
[1]J.W.顾德门着，詹达三等译，《傅里叶光学导论》，科学出版社，1979年，北京。
[2]苏显渝、李继陶编着，《信息光学》，科学出版社，2000年，北京。
[3]宋菲君编着，《近代光学信息处理》，北京大学出版社，2001年，北京。