奥林匹克问题及详细答案.doc

1个面包和6个鸡蛋价值1.80元，同样价格下，2个面包和4个鸡蛋价值2.40元。问1个面包多少钱。
永明在去农安时速45千米的客车上发现第一块里程碑上的数是AB;过了1小时见第二块里程碑上的数是BA;又过了1小时，见第三块里程碑上的数是A0B。
美国小学数学奥林匹克，第一次(1980年11月)题2：时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推。从1点至12点这12小时共敲了( )下。
第二次(1980年12月)2题：如果全体自然数如下表排列，数到1000应在哪个字母的下面。( )
　　A B C D E F G
　　1 2 3 4 5 6 7
　　8 9 10 11 12 13 14
　　15 16 17………………
　　…………………………
一个三位数，其十位数字是0，且能被一个一位数整除；如果被另一个一位数除则余3。请填上所有适合的情况。

例2

例3 下式可整除，请在□中填进适当的数。

赵例4 第五册数学思考题：

　　首尾观察：

美国小学数学奥林匹克，第四次(1981年 2月)题 5：在右边的除法算式中，方格表示擦掉的数字，A和B表示商的数字。求A和B的值。 A B A B

例4 下式中每个△号，都只表示某个素数(即2、3、5、7)，请你确定这个算式。

例3 国小学数学奥林匹克，1981～1982年试题：

　　下边乘法算式中，每个字母代表不同的数字，A不是零。A、B、C、D各代表什么数。

例2 空，并确定被乘数小数点的位置。

　例1 式中的字母各代表什么数。

奥数难题：竖式填空之巧填加法例题3
　　二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初试题：有一个四位数，在它的某位数字前面加一个小数点，再与这个四位数相加，得数2000.81。求这个四位数。
奥数难题：竖式填空之巧填加法例题2
　　例2 把下列算式中的符号△、□改写成数字，每种符号代表同一个数。

奥数难题：竖式填空之巧填加法例题：

请找出下列数列的规律，把数字填满，并写出16之后的下一个数字是多少？
　　(1)1，-，7，-，-，16
　　(2)1，-，-， 7，-，16
　　(3) 1，-，-，-，7，16
　　还有哪些规则，可以在1与16之间填入4个数字？

 考考你：你能想出在？处填上什么数字后可以完成这个环形图吗？

同学们，应该在最后一个椭圆里填什么数字？

找找看，哪个图形适合填在空白的部分？

　　有一块木板,突出的一角是一个小正方形,每边长1厘米,同他相连的一个中正方形,其面积是16平方厘米,这个中正方形又同面积为64平方厘米的大正方形相连.大,中,小三者合计,面积正好是81平方厘米. 现在打算把这块木板做成一个9乘9的正方形遮窗板.请问应该怎样锯木板才能拼出正方形.当然,块数锯得越少越好.

　如果下面这个建筑四面都很完整,那么它总共用了多少块砖呢?

　　即使你无法看到这个不规则立方体图形的全貌,你也依然能剖面中哪一个是不可能出现的呢?够在心中精确地勾画出它的外观.如果从不同方向进行观察,下面这四个剖面中哪一个是不可能出现的呢?

   怎么样才能只移走两根火柴,使现在的图形保留四个正方形.

将数字1－9放进数字路线中，使得各等式成立。想想都应该填写什么数。

　猜一猜，在？的地方填入哪一个字母可以完成这道谜题？

“？”所在的位置应该填入选项中的哪一个长方形？

　猜猜看，问号处应该填入哪个图形？

　想一想，问号处应该填上什么数字？

　你能算出最后一个六边形中缺少什么数字吗？

　下面的图形可以折叠出a、b、c、d、e、f六个选项中的哪一个？

　空缺处的逻辑数值是多少？

秘书小姐在下班前为一大堆邮件贴上邮票。她有许多邮票，但是面额只有两种，她不知道是否能正确组合这些邮票而得到应付的邮资。不过经验告诉她，虽然以这些邮票无法组合出39元的邮资，但是却可以组合出其他较高额的邮资。假设邮票的面额都是整数，请问面额可能是多少？
　　安妮的圣诞礼物是一盒积木。每块积木都是边长5cm的立方体，所有的积木装满一个也是立方体的盒子。就像其他小孩一样，安妮对堆积木很感兴趣。 她把积木倒出来，先搭起一个大的立方体，然后在它的上面再搭了一个较小的立方体，接着又搭了一个更小的立方体。安妮站起来，发现这个塔还是没她高，这令她 有点失望，不过，她因为能把所有的积木都用掉而感到很得意。

　　这个塔有多高？
   一群历史学家在经过多年的资料收集与研究之后，有意重修一座早已倾颓的古庙。他们知道其中一 个大厅较长的那面墙贴的是橡木壁板，面对房门的墙面挂着来自法国的织锦，地板上则铺着名贵的波斯地毯。他们知道这些装演的设计细节与颜色，也知道橡木壁 板、织锦和地毯的面积分别是648m2、388m2和1296m2可是他们查遍资料，就是找不到这个大厅的尺寸。你能帮帮他们吗？
　　彼得到木材行买合成板，打算做一个长方体的木箱收藏毛毯。如果要切一块完整的合成 板，价钱很贵，但如果买已经裁切下来的剩余材料就很便宜。彼得在剩余材料堆中用心寻找，终于找到3块合成板正好符合他的要求。其中一块正好做箱底与一个长 侧面；另一块裁成两块正好做一个长侧面和一个短侧面；第三块可以做盖子和剩下的一个短侧面。木材行的老板丈量这3块合成板的面积(以便计算价钱)，分别 是：

　　6048cm2，4563cm2，4995cm2

　　合成板的厚度不计，请问这个木箱的尺寸是多少？
　　你是否能找出一组数字，当乘上9时，所得的乘积与原来的数字正好顺序相反。

　　等你找到这组数字所具有的共同形式之后，再试试看你是否能找到乘以4之后会顺序相反的数字。
　　(1)平方数25有种特性，把它的每位数都加 1之后成为36，还是一个平方数。只有一个四位数的平方数具有相同的特性，请问它是多少？
　　(2)一个二位数ab，它的平方与ba的平方的差也是一个平方数。请问这个数字是多少？
　　(3)两个平方数的和与另两个平方数和的乘积，一定是两个平方数的和。例如：
(12＋22)×(22＋32)＝65＝42＋72
　　请问这个叙述是否正确？
　　请将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字排列成某种次序，使得：
　　前两位数可被2整除
　　前三位数可被3整除
　　前四位数可被4整除
　　以此类推，直到9为止。
　　排成 123 654 987看来好像有希望，因为
　　12可被 2整除
　　123可被3整除
　　1236可被4整除
　　12 365可被5整除
　　123 654可被6整除
　　但可惜，1236 549无法被7整除。再试一次吧！
　　为了庆祝红宝石婚纪念日，威廉和露西与全家人一起举行聚会。威廉回想起这段漫长的婚姻生活，追忆当年在学校因与“年轻的露西”同桌而坠入情网。环顾周围的家人，威廉又想到不知等到金婚纪念时，所有的家人是否还能聚在一起。就在这样的思绪起伏中他突然发现他的年龄的平方与露西年龄平方的差，正好等于他们子女数目的平方。

　　请问当年威廉和露西结婚时，两人各是几岁？他们共有几个子女？

　　在西方，结婚40周年纪念日被称为红宝石婚纪念日。另外，在英国，法定结婚年龄为16岁。
　　有一坐中古世纪的修道院围绕着正方形的中庭，中庭里有一口井，僧侣们都是从这口井中汲取饮用水。这口井的位置与3个相邻顶点的距离分别是30m、40m、50m。请问这个中庭有多大？由2个面包和4个鸡蛋价值2.40元，可知，1个面包和2个鸡蛋价值 2.40÷2=1.20(元)。
　　又由1个面包和6个鸡蛋价值1.80元，知4个鸡蛋价值1.80-1.20=0.60(元)。
　　所以1个面包价值(2.40-0.60)÷2=0.90(元)。
思路一 BA与AB的差，只能是两位数或一位数。车匀速前进，B必大于A。A0B与BA的差必等于BA与AB的差，不会是三位数。
　　A只能是1，若是2以上的数，则A0B与BA的差肯定是三位数了。

　　由下表知：

　　思路二：由速度一定知BA-AB=A0B-BA。写成十进数，化简
　　(10B+A)-(10A + B)=(100A + B)-(10B+A)
　　10B+A-10A-B=100A+B-10B-A
　　9B-9A=99A-9B
　　B=6A
　　B是一位数，且只能是一位数。故A=1B=6。A和B的数字确定了，其它随之出现。
由“首尾之和”知

　　A B C D E F G
　1、2、3、4、5、6既是列的序数，又是对应列以下各数除以7的余数;而7既是列的序数，本列除以7余数为0。
　　1000÷7=142余6
　　所以1000与6位于同一列，即在字母F的下面。
根据所有条件，全面分析，有序思考：

　　式(1)中，由除数与商的首位数之积是一个数字，知被除数的百位数字为1；

　　式(2)中，由余数是3，且除数与商的末位数的积是一位数和“余数必小于除数”，知除数只能为4、5、6，被除数的前两位数为10，除数只能为5，被除数的末位数字为8，这个数为108；

　　因为108能被2、3、4、6、9整除，但除数为2不符合式(1)的书写形式。答案为：

　　由第一乘积和第一余数，知除数是35;商的十位数字可能是6或4。
　　商是62不合题意，则除数是35，商为42。
对比联想，逆向思考——转除为乘。

　　显然，A位只能为7。

　　B=5，是一定的。C只能是2，到此整个算式解开。
赵观察式(1)，知商的百位上是6;再观察式(2)，知商的个位上是2。则被除数为4816。
由B×5□=432，知B=8;进而知A×54=□6□，A=3。
　由素数数码构成的三位数与一位素数相乘，积仅是由素数码构成的四位数，只有四种：

　　325×7＝2275 555×5＝2775

　　755×5＝3775 775×3＝2325

　　进一步，不难得到

　　由C×C＝C，知C只可能是1、5、6。如果C＝1，乘积为原被乘数，与条件矛盾，C只可能是5或6，A只能是1。C＝6无解。

　　C＝5时，B＝2或7。

　　如果B＝2，则D＝6；

　　如果B＝7，则D＝8。即

　　在右边算式中，每一个方格表示一个擦掉的数字，求最后的乘积。

　　由第一部分积个位上是2，十位上是8，知被乘数个位数字是6，十位数字是2；

　　根据第二部分积前两位数字是1、2，确定乘数的十位数字是3。

　由积的末尾是“30”，知第一部分积为230；

　　积的最高位是“1”，第二部分积的最高上也为1；

　　被乘数和第二部分积都是三位数，根据第二部分积的最高位上是1，可确定被乘数和乘数的最高位上也都为1；

　　被乘数最低位上是“5”，而积的末尾是0，乘数的最低位上可能是2、4、6、8中的一个。由被乘数最高位上是1，第一部分积的最高位上是“2”，知乘数的最低位上为2；

　　乘数是三位数，而只有两个部分积，知乘数的中间一位上为0；

　　由被乘数最低位上是“5”，乘数的最低位上是2，第一部分积的末尾是30，知被乘数中间一位上为1；

　　由被乘数和乘数，求出第二部分积115，终积117.30；

　　最后，由乘数是一位小数，积有两位小数，知被乘数为一位小数。即右式

　　M不能大于3，如果是4、则4×4＝16。也不能小于3，如果是2，则2×2＝4，都不符合积的要求。M＝3。

　　3×N＝21，N＝7；P＝0。即

奥数难题：竖式填空之巧填加法例题3
　　由题意知，所求的四位数是整数，且个位、十位上的数字必定分别是1与8。

　　变换为下列算式：

　　易推得方框中的数字为1、9，从而再根据加小数点后的数与原四位数字组成相同，确定这个数为1981。

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最大两位数的和＜200，和的最高位只能是1，B＝1； A＋B≥10，方可形成进位。

　　A＝9，C＝0。
 分析与解答：
　　理论上会有无限多种可能，这个题目的目的是要强调有许多方式可以完成一个数列。
　　(1)1，4，7，10，13，16，19。每次加3。
　　(2)1，2，4，7，11，16，22。每次加的数比上次多1。
　　(3)1，6，3，10，7，16，13。前后项的差有两种：加上5、7、9、…，与减去3。
　　1与16的差是15，因此有一种产生数列的方法是找到某种形式的5个差，其差的总和为15。例如，16，1，6，1的总和是15，故可产生如下的数列：
1，2，8，9，15，16
　　再如，7，-3，7，-3，7的总和也是15，因此可以产生下面的数列：
1，8，5，12，9，16。
　分析与解答：

　　这个题目与“可能达到的分数”有异曲同工之处。

　　令 mn-m-n＝39

　　则 (m-1)(n-1)＝40

　　所以 (m-1)(n-1)＝1×40或2×20或4×10或5×8故可能的m、n组合为：

　　(m，n)＝(2，41)或(3，21)或(5，11)

　　或(6，9)

　　其中(3，21)和(6，9)很显然是不正确的，因为可以组合出39。

　　然而，无论是以面额2元及41元，或是5元及11元的邮票，在无法组合出的邮资中，金额最高的都是39元。因此这两组答案都是正确的。
分析与解答：

　　安妮把堆成一个大立方体的积木，重新堆成3个立方体，唯一可能的情况是，3个立方体的每边分别为5块积木、4块积木和3块积木，装积木的盒子则是每边为6块积木。这是因为

　　33＋43＋53＝63

　　没有其他合理的数字能符合这个条件。

　　因此塔高应该是12块积木的高度，也就是60cm。
分析与解答：

　　答案为 54m×24m×12m。
　　假设这个大厅的长、宽、高分别是a、b和c，那么
ac＝648 bc＝288 ab=1296
　分析与解答：

　　木箱的尺寸可以用试误法求得，也可以通过下列系统的分析求出。

　　假设木箱尺寸如图所示为a、b、c，并假设3块合成板的面积分别是X、Y和Z，
　　分析与解答：
　　如果 abc…k×9＝k…cba，那么很容易就可以看出 a＝1，k＝9，因为任何其他的a都会产生进位，使乘积比原来的数字多一位。
　　但是19×9≠91，因为个位数9乘上9时会有进8的情形。
　　考虑1b9×9，显然由于会进位，所以结果不会等于9b1。
　　再考虑
1bc9×9＝9cb1
　　可以发现当b＝0，c＝8时，能够符合题目的条件。
1 089×9＝9801
　　这是四位数中唯一的答案。
　　接着的3组答案是：
10 989 五位数
109 989 六位数
1 099 989 七位数
　　此时数字的形式已呼之欲出。八位数的答案则有两种：
10 999 989和10 891089
　　九位数的答案有：
T109 999 989和108 901089
　　十位数有3种答案：
1 099 999 989 1 089 001 089 1 098 910989
　　这些数字都是从已知的答案而来，任何位数的数字都可以依照以上的规则找出答案。
　　乘以4之后会顺序相反的数字，与上述这些数字的关系非常密切。事实上，就是上列数字的两倍。
1 089×2＝2 178 而 2 178×4＝8712
10 989×2＝21 978 而 21 978×4＝87919
　　以此类推。
    分析与解答：
　　(1)2 025＝452 3 136＝562
　　2 025＋1 111＝3 136，而且45＋11=56
　　(2)652-562＝332
　　(3)这个平方数的关系可用下式表示：
(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac+bd)2＋(ad-bc)2
　　或是
(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac-bd)2＋(ad＋bc)2
　　如果你了解复数的观念，那么就可以知道这些等式是由下面的式子推算出来的：
(a＋ib)(c+id)＝(ac-bd)＋(ad＋bc)i
(a-ib)(c+id)＝(ac＋bd)＋(ad-bc)i

    分析与解答：   
　　这个题目能使你增进对数字“可除性”(divisibility)的了解。例 如，5一定是在中间位置，因为利用1、2、…9所构成的数字的前五位数，没有其他方式可以被5除尽。因为所有数字的总和是45，所以无论这些数字如何排 列，都可被9除尽。因为前六位数要被6整除，所以前面6位数字的和必须可被3除尽，而且第六位数必须是偶数。同时，还必须使偶数作间隔排列，如此才能被 2、4、6、8所整除。
　　上述的分析很有帮助，不过要找到能被7整除的数，还是需要试误演算。
　　唯一的答案是：381 654 729。
　　但是在这里要提醒你，不要太依赖计算器。因为如果你的计算器只能显示8位数，那么963 258 147看起来就会像是一个答案，因为计算器上会显示出96 325 814可被8整除；但这是不可能的，因为814不能被8整除。
分析与解答：

　　这个问题的数学基础是毕氏三元数组。由于是红宝石婚，所以威廉和露西的年纪应该在56岁以上。而且他们曾在学校同桌，两人的年纪差应该不会超过1岁。因此，综合已知的资料，可以说题目是要找出两个相差1的数字其平方差是另一个数字的平方。
　　现在试试 612-602=112
　　852-842＝132
　　两组答案看来都有可能。不过，第二组答案应该剔除，因为根据这组答案，威廉和露西40多岁结婚之后生了13个小孩。因此，威廉和“年轻的露西”结婚时，两人应为21岁和20岁，他们生育了11个子女。
分析与解答：

　　中庭的边长大约是56.54m。

　　这个题目其实很简单，利用勾股定理、代数运算，再加上一个计算器，就能轻易地得出答案。由图可知：

　　x2＋(a-y)2＝900 (1)

　　(a-x)2＋y2＝2 50 (2)

　　x2＋y2＝1 600 (3)

　　(1)-(3)得

　　a2-2ay＋700＝0 (4)

　　(2)-(3)得

　　a2-2ax-900＝0 (5)

　　把由第(4)式和第(5)式所得的x、y代入第(3)式：

　　a4-3 400a2+650 000=0

　　再把这个式子当作a2的二次方程求解。