屈服假塑性流体轴向同心环空中速度及温度分布研究.doc

屈服假塑性流体轴向同心环空中速度及温度分布研究
李兆敏 张平
(石油大学（华东）石油工程学院 山东东营 257061)
摘要: 赫谢尔－巴尔克莱（Herschel-Bulkley）流变模式是一个三参数模式，因其精度较高，近几年国内多采用其描述钻井液的流变性。本文将非牛顿流体动量方程、能量方程与H-B流体的本构方程相结合，推导出了流体在轴向同心环空中的速度及温度分布公式。数值研究结果表明，由于H-B屈服应力的作用，轴向同心环空内存在柱塞流动，柱塞的大小与H-B屈服应力成正比，与单位管长压力降成反比。在其它相同条件下，柱塞速度随环空尺寸的增大而增大。随着流变指数的增大，流核速度变小。柱塞内温度呈对数曲线变化，柱塞外侧温度与内侧温度不相同，从柱塞边界到管壁，温度逐渐减小。越靠近管壁，温度降低幅度越大。

主题词 H-B流体 环空管流 柱塞流 速度分布 温度分布

中图分类号：TE249 文献标识码：A

1.前言
在石油工业中，经常会遇到非牛顿流体，例如，我国多数油田生产的“三高”原油、在石油开采中用到的钻井泥浆及“三次采油”中大量使用的聚合物水溶液等液体，均为非牛顿流体。非牛顿流体的流动往往与传热联系在一起［1］，因此研究非牛顿流体在圆管、环空中的流动及传热规律，具有重要意义。
赫谢尔－巴尔克莱流变模式在国内俗称带屈服值的幂律模式，是一个三参数模式。因其综合了宾汉和幂律两个流变模式的特点，能较好地反映钻井液的流变性［2］。而已进行的研究表明，对非牛顿流体流动特性研究的比较多，由于能量方程和动量方程相耦合而引起的数学求解的复杂性，文献调研发现研究者对其传热规律的研究相对较少。樊洪海、刘希圣研究了赫谢尔－巴尔克莱液体在直井中的稳态波动压力计算模式［3］；蔡均猛得出了圆管中赫－巴流体的速度及温度分布［4］。
本文将其本构方程和非牛顿流体动量方程、能量方程相结合，推导并分析其在轴向同心环空流动情况下的速度和温度分布。研究结果不仅丰富了流体力学和传热学的理论，同时对有关石油工程、化学工程中非牛顿流体的流动及工程应用具有一定的指导意义。

2.计算模型的建立
2.1物理模型
考虑垂直放置轴向同心环空中的H-B流体在压力梯度作用下的流动过程，如图1。设环空外管内径为Ｒ2，管壁温度为Ｔｗ2；内管外径为Ｒ1，管壁温度为Ｔｗ1，r1，r2分别为柱塞的内外半径，流体自下而上，沿轴向流动，为便于讨论，作如下假设。基金项目：山东省自然科学研究基金资助项目（Y98A11014）“非牛顿流体流动和传热的耦合理论及应用”
作者简介：李兆敏，男，1965年生，1995年获石油大学（北京）油气井工程专业博士学位，现为石油大学（华东）石油工程学院教授，博士生导师。

（1） 流动为充分发展的稳定层流流动；
（2） 流体常物性；
（3）

图１　H-B流体在圆管环空中的流动
无滑移。
z
Tw1
Tw2

r1
r2

r
Ｒ1
Ｒ2
0

2.2数学模型
（1）动量方程
文献[1]给出了柱坐标系下的非牛顿流体动量方程。根据假设条件，可将动量方程简化为
（其中 ） （1）
式（1）不仅适合非牛顿流体，对于不可压缩的牛顿流体也适用；不仅适用于圆管流动，也适用于同心环空流动。
（2）能量方程
文献［1］给出了柱坐标系下的非牛顿流体能量方程。根据假设条件，可将能量方程简化为

（2）
式中 －热传导系数。
（3）H-B流体的本构方程
H-B流体受力后不能立即变形，只有当外力足以克服H-B流体屈服应力后，才能发生剪切变形。其本构方程为：
（3）
式（3）中，为屈服应力，为稠度系数，为流性指数。
在轴向同心环空流动中：
（4）其中为环空柱塞的内外径（未知）。
这一流变模式，实际上包含了常见的几种流变模式的情况［5］：
当n=1时，，液体为牛顿液体，
，液体为塑性液体；
当时，，液体为假塑性液体，
，液体为膨胀性液体。
（4）边界条件
根据壁面无滑移及管壁保持恒温的假设，可得到边界条件：

（5）

3.模型的求解
3.1速度分布的求解
流体在同心环空中的速度分布方程可在两个特定区域内解出。
在区域（环空内侧速梯区）：
将（4）式中，代入H-B流体本构方程，得：
（6）
将（6式代入动量方程，得：

（7）
根据边界条件，，，确定 （8）
由流核表面的力平衡关系式可得
（9）
将（8）和（9）式代入（7）式，得：
（10）
式中，以下皆同。
积分（10）式，并将边界条件代入，整理后得同心环空内侧速梯区的速度分布：
（11）
同理可得同心环空外侧速梯区()的速度分布
将（4）式中，代入H-B流体本构方程，得：
(12)
将（12）式与动量方程结合，得：
（13）
积分（13）式，并将边界条件代入，整理后得同心环空外侧速梯区的速度分布：
（14）
在区域(柱塞区)
当或时，有，即为流核速度，故由式（11）、（14）式，可得的表达式为
（15）
或
（16）
联立（9）、（15）、（16）三式可求出与的值，显然此方程组为非线性方程组，几乎没办法给出解析解，本文利用数值方法求解了H-B流体在轴向同心环空中速度分布［6］。
3.2温度分布的求解
由动量方程（1）得：
（17）
根据和，由（6）和（12）式，得
， （18）
将（18）式，代入（17）式，确定C，得
（19）
在区域(柱塞区)，，所以能量方程变为：
（20）
柱塞段温度分布：
（21）
在区域（环空内侧速梯区）：
将（10）和（19）式代入能量方程（2），得：

其中，以下皆同。
对上式进行积分，得：

整理得：

对上式进行积分，得：

整理得：
（22）
同理可得，环空外侧（）温度分布：
（23）
柱塞内边界温度：
（24）
柱塞外边界温度：

（25）
联立（24）、（25）式，可以解出C2，C3。
环空管路温度分布：
(26)
3.3平均流速
根据环形空间中截面平均流速的概念，根据（11）、（14）、（15）式可得断面平均流速的表达式。
（27）
流量Q
Q (28)

4.分析和讨论
当管内环空H-B流体流动时，存在柱塞流动。分析式（9），柱塞的大小（）与H-B流体的屈服应力成正比，与成反比。显然越大，与对应的柱塞宽度就越大。另外，越大，管内流量越大，在相同的H-B流体屈服应力下，柱塞宽度就越小。

4.1考察屈服应力对速度剖面的影响
套管内径，钻杆外径，单位管长压力降，取分别为0.342Pa，0.489Pa，0.684Pa，通过数值计算得到速度剖面图2。

图2 屈服应力对速度剖面的影响
从图2中可以看出，随着屈服应力的逐渐增大（从0.342Pa到0.684Pa），等速核的宽度也逐渐增大。
从式(9)也可以分析出，在压力梯度保持不变的情况下，柱塞宽度与屈服应力服从线性关系。

4.2考察单位管长压力降对速度剖面的影响
套管内径，钻杆外径，取，单位管长压力降分别为，74Pa/m，106Pa/m，通过数值计算得到速度剖面图3。

图3 压力梯度对速度剖面的影响

从图3可以看出，当屈服应力时，不同单位管长压力降下的H-B流体环空流动均存在等速核。随着的逐渐增大（由5074106Pa/m）,等速核的宽度逐渐减小，这一数值计算的结果和理论分析是完全一致的。

4.3考察环空大小对柱塞速度的影响
由图4，可以看出在单位管长压力降和屈服应力保持不变的情况下，柱塞速度随着环空尺寸的增大而增大。由水力学基本原理也可以证实，在其它条件相同的情况下，环空尺寸增大，流动阻力减小，流动速度增大。

图4 环空尺寸对柱塞速度的影响

4.4考察流变指数对速度剖面的影响
套管内径，钻杆外径，取屈服应力，单位管长压力降，改变流变指数，得到流变指数对速度剖面的影响。从图中我们看出，随着n值的增大，流核宽度变宽，并且流速减小。

图5 流变指数对速度剖面的影响
4.5考察环空管路内温度分布
假设内管外壁和外管内壁温度恒定，且外管内壁温度等于内管外壁温度，作H-B流体环空管路的温度分布图。

图6 环空管路温度分布

从图6可以看出由于剪切作用，存在摩擦功损失，故引起温度变化。在轴向圆管流动中的柱塞中，柱塞内外侧边界温度相同，且剪切应力小于屈服应力，其剪切速率为零，不存在摩擦功的损失，故温度不变。但是在环空管路中，尽管其剪切速率为零，但是由于柱塞边界温度不同,其温度是变化的，曲线为一对数曲线。在该计算实例中，柱塞外侧温度高于内侧温度，是由于柱塞外侧速梯区的剪切速率高于内侧速梯区的剪切速率，摩擦功损失增大，导致柱塞外侧温度高于内侧温度[8,9]。
从图6，还可看出，从柱塞边界到管壁，温度逐渐减小，而越靠近管壁，温度变化越剧烈。这是因为越靠近管壁，剪切应力越大，摩擦功损失越大。

5.结论

（1）当管内环空H-B流体流动时，存在柱塞流动。柱塞的大小与H-B屈服应力成正比，与成反比。显然越大，与对应的柱塞宽度就越大。另外，越大，管内流量越大，对应相同的H-B屈服应力，柱塞宽度就越小。柱塞宽度与环空尺寸大小无关。
（2）柱塞速度随着环空尺寸的增大而增大。
(3) 柱塞速度随着流变指数的增大而减小。
（4）柱塞内温度呈对数曲线变化，柱塞外边界温度一般不等于内边界温度，而且从柱塞边界到管壁温度逐渐减小，越靠近管壁，温度降低幅度越大。

参考文献

［1］ 李兆敏，蔡国琰.非牛顿流体力学［M］.山东东营：石油大学出版社，1998：94～98.
［2］ 周福建，刘雨晴等.水包油钻井液高温高压流变性研究［J］.石油学报，1999，（3）：77～81
［3］ 樊洪海，刘希圣.赫谢尔－巴尔克莱液体直井稳态波动压力计算模式［J］.石油钻探技术，1994（1）：51～54
［4］ 蔡均猛. 圆管中H-B流体的速度及温度分布.(待发表)
［5］ 李天太，孙正义，李琪.实用钻井水力学计算与应用［M］.北京：石油工业出版社，2002：26～27
［6］ 李庆扬，王能超，易大义.数值分析［M］.北京：清华大学出版社，施普林格出版社，2001：129～131.
［7］ 陈家琅，刘永建，岳湘安.钻井液流动原理[M].北京：石油工业出版社，1997：62～75.
［8］ 李兆敏，王渊，张琪.宾汉流体在环空中流动时的速度分布规律［J］.石油学报，2002，（2）：87～91
［9］ 李兆敏，张平，黄善波等. Casson流体轴向同心环空中速度及温度分布研究.(待发表)

Study of the Velocity and Temperature Profiles for the Annulus Pipe Flow of H-B Fluid
Li zhaomin Zhang ping
(College of Petroleum Engineering ,University of Petroleum (East China),Shandong Province,257061)

Abstract: Herschel-Bulkley equation which include three parameters was often implied in drilling to describe the rheology of drilling fluid, for its more high precision. Combining the constitutive equation of Herschel-Bulkley fluid with the momentum equation and the energy equations of non-Newtonian fluid, the velocity and the temperature profiles for the annulus pipe flow of HerschelBulkley fluid are obtained. The study results show that there is plunger-cylinder flow in the annulus pipe for the action of Herschel-Bulkley yield stress . The size of the plunger-cylinder is in direct proportion to and inverse proportion to . The velocity of the plunger-cylinder increases with the size of the annular space increases, and decreases with the rheology exponent increases. The temperatur in the plunger-cylinder is in logarithmic line in which the temperature of outside is not identical with inside. And from the boundary of the plunger-cylinder to the pipe wall the temperature graduallly decrease. Furthermore, the nearer to the pipe wall, the faster the temperature decreases.

Key words: Herschel-Bulkley Fluid annulus pipe flow slug flow
velocity profile temperature profile
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