2014届江苏省南京师大附中高三模拟考试(5月)数学试题及答案.doc

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南京师大附中2014届高三模拟考试
数 学 2014.05
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：锥体的体积公式为V＝Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高．

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜4，x∈N}，则A∩B＝ ▲ ．
2．若复数 (i是虚数单位)为纯虚数，则实数a＝ ▲ ．
3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得
的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图
形推断，该时段时速超过50km/h的汽车辆数为 ▲ ．
4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是 ▲ ．
5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，
从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是 ▲ ．
6．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，
则α⊥β”是“m⊥β”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、
“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）
7．函数的单调增区间是 ▲ ．
8．设实数x，y，b满足，若z＝2x＋y的最小值为3，
则实数b的值为 ▲ ．
(第4题图)
9．设a，b均为正实数，则的最小值是 ▲ ．

10．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式f(1)＜f(lg(2x))的x的取值范围是 ▲ ．
11．在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝6，若D点在斜边BC上，CD＝2DB，则·
的值为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上的点，以M为圆心的
圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点．若△PQM是钝角三角
形，则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．
13．对于定义域内的任意实数x，函数f(x)＝的值恒为正数，则实数a的取值范围是 ▲ ．
14．记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式a＋≥ma对任意等差数列{an}及任意正整数n
都成立，则实数m的最大值为 ▲ ．

二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．
（1）求角的值；
（2）若角，边上的中线=，求的面积．

16．（本小题满分14分）
在四棱锥P－ABCD中，∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD
(第16题图)图
的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）求证：CE∥平面PAB．

17．（本小题满分14分）
某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值．
(第17题图)图

18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)．过点D(1，0)的直线交椭圆于M，N两点，直线A1M与NA2的交点为G．高 考 资 源 网
（1）求实数a，b的值；
（2）当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P1，P2使得△P1MN和△P2MN
(第18题图)
的面积为S，求S的取值范围；
（3）求证：点G在一条定直线上．

19．（本小题满分16分）
已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1＋a2＋a3＝9，b1b2b3＝27.
（1）若a4＝b3，b4－b3＝m.
①当m＝18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；
②若数列{bn}是唯一的，求m的值；
（2）若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最
大值.

20．（本小题满分16分）
设a是实数，函数f(x)＝ax2＋(a＋1)x－2lnx．
（1）当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当a＝2时，过原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切点的横坐标；
（3）设定义在D上的函数y＝g(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为l：y＝h(x)，当x≠x0 时，
若＜0在D内恒成立，则称点P为函数y＝g(x)的“巧点”．当a＝－时，
试问函数y＝f(x)是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说
明理由．

数 学（附加题） 2014.05

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A．（几何证明选讲选做题）
如图，设、是圆的两条弦，直线是线段
的垂直平分线．已知，求线段的长度．

(第21—A题图)

B．（矩阵与变换选做题）
设矩阵A，矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值
的一个特征向量为，求ad－bc的值．

C．（坐标系与参数方程选做题）
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点A，
B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ＝1上，求线段AB的最小值．

D．（不等式选做题）
设a，b，c均为正数， abc＝1．求证：＋＋≥＋＋.

22．【必做题】
在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为，，，4，现从这个盒
子中有放回地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．
（1）求P(ξ＝1)；
（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

23．【必做题】
有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，
使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．
（1）若m＝100，直接写出选法种数；
（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为an．当n≥2时，求数
列{an}的通项公式．

南京师大附中2014届高三模拟考试
数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．
1．{1}； 2．2； 3．77； 4．5； 5．； 6．必要不充分；
7．[－,0]； 8．； 9．4； 10．(0，)∪(5，+∞)； 11．24；
12．（0，）； 13．－7＜a≤0或a＝2； 14．．
二、解答题：
15．解析:（1）因为，由正弦定理
得， ………………2分
即=sin(A+C) ． ………………4分
因为B＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)，
所以．
因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，
所以，因为，所以． ………………7分
（2）由（1）知，所以，． ………………8分
设，则，又
在△AMC中，由余弦定理
得

即 解得x＝2. ………………12分
故 ………………14分
16．解析: （1）因为PA⊥平面ABCD，CDÌ平面ABCD，所以PA⊥CD， …………………2分
又∠ACD＝90°，则，而PA∩AC＝A，
所以CD⊥平面PAC，因为CDÌ平面ACD， ………………4分
所以，平面PAC⊥平面PCD．　 ………………7分
（2） 证法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．
因为EM 平面PAB，PA平面PAB，
所以EM∥平面PAB． 　 ………………9分
在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，
又∠BAC＝∠CAD，所以∠BAC＝∠ACM，
则MC∥AB．
因为MC 平面PAB，AB平面PAB，
所以MC∥平面PAB．
………………12分
而EM∩MC＝M，所以平面EMC∥平面PAB．
由于EC平面EMC，从而EC∥平面PAB． ………………14分
证法二：延长DC，AB交于点N，连PN．
因为∠NAC＝∠DAC，AC⊥CD，
所以C为ND的中点．
而E为PD中点，所以EC∥PN．
因为EC 平面PAB，PN 平面PAB，
所以EC∥平面PAB．
………………14分

17．解析:正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．
设正三棱锥侧面的高为h，高为h ．
由题意得：x＋h＝10，解得h＝10－x．　
………………2分
则h＝＝
＝ ，x∈(0,10) ． ………………5分
所以，正三棱锥体积V＝Sh＝×x2×
＝． ………………8分
设y＝V2＝(100－x)＝－，
求导得y′＝－ ，令y′＝0，得x＝8， ………………10分
当x∈(0，8)时，y′＞0，y随着x的增加而增大，
当x∈(8，10)时，y′＜0，y随着x的增加而减小，
所以，当x＝8 cm时，y取得极大值也是最大值． ………………12分
此时y＝15360，所以Vmax＝32 cm3．
答：当底面边长为8cm时，正三棱锥的最大体积为32cm3． ………………14分
18．解析: （1）由题设可知a＝2． ………………1分
因为e＝，即＝，所以c＝．
又因为b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以b＝1． ………………2分
（2）由题设可知，椭圆的方程为＋y2＝1，直线MN的方程为y＝x－1．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组，消去y可得5x2－8x＝0，
解得x1＝0，x2＝．
将x1＝0，x2＝，代入直线MN的方程，解得y1＝－1，y2＝．
所以MN＝＝． ………………4分
设与直线MN平行的直线m方程为y＝x＋λ．
联立方程组，消去y可得5x2＋8λx＋4λ2－4＝0，
若直线m与椭圆只有一个交点，则满足△＝64λ2－20(4λ2－4)＝0，解得λ＝±． ……………6分
当直线m为y＝x－时，直线l与m之间的距离为d1＝＝；
当直线m为y＝x＋时，直线l与m之间的距离为d2＝＝； ………………8分
设点C到MN的距离为d，要使△CMN的面积为S的点C恰有两个，
则需满足d1＜d＜d2，即＜d＜．
因为S＝d·MN＝d，所以＜S＜． ………………10分
（3）方法一 设直线A1M的方程为y＝k1(x＋2)，直线A2N的方程为y＝k2(x－2)．
联立方程组，消去y得(1＋4k12)x2＋16k12x＋16k12－4＝0，
解得点M的坐标为(，)．
同理，可解得点N的坐标为(，)． ………………12分
由M，D，N三点共线，有＝，化简得(k2－3k1)(4k1k2＋1)＝0．
由题设可知k1与k2同号，所以k2＝3k1． ………………14分
联立方程组，解得交点G的坐标为(，)．
将k2＝3k1代入点G的横坐标，得xG＝＝＝4．
所以，点G恒在定直线x＝4上． ………………16分
方法二 显然，直线MN的斜率为0时不合题意．
设直线MN的方程为x＝my＋1．
令m＝0，解得M(1，)，N(1，－)或M(1，－)，N(1，)．
当M(1，)，N(1，－)时，直线A1M的方程为y＝x＋，直线A2N的方程为y＝x－．
联立方程组，解得交点G的坐标为(4，)；
当M(1，－)，N(1，)时，由对称性可知交点G的坐标为(4，－)．
若点G恒在一条定直线上，则此定直线必为x＝4． ………………12分
下面证明对于任意的实数m，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x＝4上．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，G(4，y0)．

由点A1，M，G三点共线，有＝，即y0＝．
再由点A2，N，G三点共线，有＝，即y0＝．
所以，＝．①
将x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入①式，化简得2my1y2－3(y1＋y2)＝0． ② ………………14分
联立方程组，消去x得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
从而有y1＋y2＝，y1y2＝．
将其代入②式，有2m·－3·＝0成立．
所以，当m为任意实数时，直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x＝4上． ………………16分

19．解析：（1）①由数列{an}是等差数列及a1＋a2＋a3＝9，得a2＝3，
由数列{bn}是等比数列及b1b2b3＝27，得b2＝3． ………………2分
设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
若m＝18，
则有解得或
所以，{an}和{bn}的通项公式为或 ………………4分
② 由题设b4－b3＝m，得3q2－3q＝m，即3q2－3q－m＝0（*）．
因为数列{bn}是唯一的，所以
若q=0，则m=0，检验知，当m=0时，q=1或0（舍去），满足题意；
若q≠0，则(－3)2＋12 m＝0，解得m＝－，代入（*）式，解得q＝，
又b2＝3，所以{bn}是唯一的等比数列，符合题意．
所以，m=0或－ ． ………………8分
（2）依题意，36＝(a1＋b1) (a3＋b3)，
设{bn}公比为q，则有36＝(3－d＋)(3＋d＋3q)， （**）
记m＝3－d＋，n＝3＋d＋3q，则mn=36．
将（**）中的q消去，整理得： d2＋(m－n)d＋3(m＋n)－36＝0 ………………10分
d的大根为 ＝
而m，n∈N*，所以 (m，n)的可能取值为：
(1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1) ．
所以，当m＝1，n＝36时，d的最大值为 ． ………………16分
20．解析：（1）当a＝1时，f ′(x)＝(x＞0)， ………………1分
由f ′(x)＞0得：x＞ ；由f ′(x)＜0得：0＜x＜． ………………2分
　　所以，f(x)的单调增区间为(，＋∞)，单调减区间为(0,) ． ………………3分
（2）当a＝2时，设切点为M (m，n) ．
f ′(x)＝4x＋3－( x＞0)，
所以，切线的斜率k＝4m＋3－．
又直线OM的斜率为 ， ………………5分
所以，4m＋3－＝，即m2＋lnm－1＝0，
又函数y＝m2＋lnm－1在(0,＋∞)上递增，且m＝1是一根，所以是唯一根，
所以，切点横坐标为1． ………………7分
（3）a＝－时，由函数y＝f(x)在其图象上一点P(x0,y0)处的切线方程为：
y＝(－x0＋－)(x－x0)－x02＋x0－2ln x0． ………………8分
令h(x)＝(－x0＋－)(x－x0)－x02＋x0－2ln x0，
设F(x)＝f(x)－h(x)，则F(x0)＝0．
且F ′(x)＝f ′(x)－h ′(x)＝－x＋－－(－x0＋－)
＝－(x－x0)－(－)＝－(x－x0) (x－) ………………10分
当0＜x0＜2时，＞x0，F(x)在(x0,)上单调递增，从而有F(x)＞F(x0)＝0，所以，＞0；
当x0＞2时，＜x0，F(x)在(,x0)上单调递增，从而有F(x)＜F(x0)＝0，所以，＞0．
因此，y＝f(x)在(0，2)和(2，＋∞)上不存在“巧点”． ………………13分
当x0＝2时， F ′(x)＝－≤0，所以函数F(x)在(0,＋∞)上单调递减．
所以，x＞2时，F(x)＜F(2)＝0，＜0；0＜x＜2时，F(x)＞F(2)＝0，＜0．
因此，点(2，f(2))为“巧点”，其横坐标为2． ………………16分

南京师大附中2014届高三模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准 2014.05
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
解析：连接BC，相交于点．
因为AB是线段CD的垂直平分线，
所以AB是圆的直径，∠ACB＝90°．　　　　　　　　
………………2分
设，则，由射影定理得
CE＝AE·EB，又，
即有，解得（舍）或 　　　 　 ………………8分
所以，AC＝AE·AB＝5×6＝30，．　 　　 ………………10分
B．选修4—2：矩阵与变换
解析：由特征值、特征向量定义可知，A，
即，得 　　 ………………5分
同理可得 解得．
因此ad－bc＝2－6＝－4． ………………10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解析：将曲线C1的参数θ消去可得(x－3)2＋(y－4)2＝1．
将曲线C2化为直角坐标方程为x2＋y2＝1．　　　　　　　　　　　　 　 ………………5分
曲线C1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是以(0，0)为圆心，1为半径的圆，
可求得两圆圆心距为＝5，
所以，AB的最小值为5－1－1＝3． 　　　　　　　　　　　 　　　　　 ………………10分
D．选修4—5：不等式选讲
证明：由a，b，c为正数，根据平均值不等式，得＋≥，＋≥，＋≥．
将此三式相加，得2(＋＋)≥＋＋，即＋＋≥＋＋．
………………5分
由abc＝1，则有＝1．
所以，＋＋≥＋＋＝＋＋．　　　　　　　　 　 ………………10分
22．解析：（1）； ………………3分
（2）的所有取值为0, 1，2，3． ………………4分
，，,．
则随机变量的分布列为

3

的数学期望． ………………10分
23．解析：（1）m＝100，共有选法种数为12． ………………3分
（2）若至少选一张写有100的卡片时，则除去1张写有100的卡片，其余数字之和为100n－1)，
有an－1种选法；
若不选含有100的卡片，则有10n＋1种选法．
所以，an＝10n＋1＋an－1 ， ………………8分
从而，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋···＋(a2 －a1)＋a1
＝10n＋1＋10(n－1)＋1＋···＋10×2＋1＋a1
＝10＋n－1＋a1
　　　　　　 ＝5n2＋6n＋1
所以，{an}的通项公式是an＝5n2＋6n＋1． ………………10分