1、书面说题答卷
A
B
C
D
F
P
E
题目:如图，在正方形ABCD中，点E是线段AD上的动点（点E不与点A、点D重合），同时，点F是线段DC上动点（点F不与点D、点C重合），且AE=DF，设BE和AF相交于点P，连接PC，请探究：
（1）线段AF，BE之间有怎样的数量和位置关系？并试什么理由；
（2）当点E运动到AD中点位置时，
①PA：PB的值是多少？
②PC和BC有怎样的数量关系？并证明你的结论.
解答（1）去证△ABE≌△DAF，从而得AF与BE具有相等与垂直的关系。
解答（2）当点E运动到AD中点位置时，
①利用三角形相似的知识，易证PA：
2、PB=1：2。
②PC=BC，过程如下：
法一：作CQBP，垂足为Q，通过，得BQ=AP，再通过BP：AP=2：1得BP：BQ=2：1，从而得出CQ垂直平分BP，得BC=PC。
法二：由中点，我们常常联想到常用的辅助线作法：倍长中线
延长AF交BC延长线于Q，去证明，从而得CQ=BC=，
A
B
C
D
F
P
E
这样通过第1小题证到的AFBE即，利用直角三角形的性质得BC=PC。
A
B
C
D
F
P
E
Q
法三：利用，证得点B、C、F、P四点共圆，得BPC=BFC，再利用前面的证题过程得到BFC=CBP，继而得BPC=CB
3、P，最终得BC=PC。
题目变式
变式一：如图，在正方形ABCD中，点E是线段AD上的动点（点E不与点A、点D重合），同时，点F是线段DC上动点（点F不与点D、点C重合），且AF⊥BE于点P，连接PC。
A
B
C
D
F
P
E
（1）求证：AE=DF；
（2）探究：当点E运动到AD中点位置时，
①PA：PB的值是多少？
②PC和BC有怎样的数量关系？并证明你的结论.
（或把AF=BE作为条件，求证AF⊥BE，AE=DF）
变式二：如图，在正方形ABCD中，点E是AD延长线上的动点（点E不与点A、
4、点D重合），同时，点F是DC延长线上动点（点F不与点D、点C重合），且AE=DF，设BE和AF相交于点P，连接PD，请探究：
（1）线段AF，BE之间有怎样的数量和位置关系？并试什么理由；
（2）当点AE=2AD时，
①PA：PB的值是多少？
②PD和AD有怎样的数量关系？并证明你的结论.
变式三：
如图，在等边△ABC中，点D是线段AB上的动点（点D不与点A、点B重合），同时，点E是线段AC上动点（点E不与点A、点C重合），连接BE、CD交于点F。
F
E
D
C
B
A
（1）求证：BE=CD；
（2）求证：AD·CF=AC·EF
当然本题也可以通过建立平面直角坐标系，通过勾股定理等知识求线段的长度
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