非线性方程组求解及matlab实现名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,非线性方程(组)求解,非线性方程（组）数值求解基本原理,多项式求根函数roots,非线性方程求解函数fzero,非线性方程组求解函数fsolve,第1页,复习与练习,按以下要求编写一个函数计算 值，其中x0时，y=;x4时，则没有通解公式可用，对于超越方程既不知有几个根，也没有一样求解方式。实际上，对于n3代数方程以及超越方程都采取数值方法求近似根。,第5页,非线性方程数值求解原理,第6页,逐步扫描法,逐步扫描法效率较低，惯用于求根初始近似值,第7页,逐步扫描法计算示例,-方程x,2,-2=0正数解,计算方程 正数解,第8页,二分法,若函数f(x)在区间a,b内单调连续，且f(a)f(b)eps,x=(a+b)/2;,if,sign(f(x)=sign(f(b),b=x;,else,a=x;,end,k=k+1;,end,二分法图形解释,二分法MATLAB程序,二分法是一个可靠算法，但计算速度较慢,第9页,二分法计算示例,-方程x,2,-2=0正数解,计算方程 正数解,第10页,求方程根准确解,非线性方程(组)求解普通采取迭代法进行。,迭代法,是一个主要逐次迫近方法。这种方法用某个固定公式重复校正根近似值，使之逐步准确化，最终得到满足精度要求结果。,常见迭代算法有,不动点迭代,牛顿法,弦截法,抛物线法,威格斯坦法（Wegstein）,第11页,不动点迭代法,我们能够经过各种方法将方程式,转化为,比如方程,能够转化为以下不一样形式,(1),(2),(3),第12页,不动点迭代法,从给定初值,x,0，按上式能够得到一个数列：,x,0,x,1,x,2,x,k,假如这个数列有极限，则迭代格式是收敛。这时数列,x,k极限 就是方程根,上述求非线性代数方程式数值解方法称为直接迭代法（或称为不动点迭代法）。这个方法即使简单，但根本问题在于当k-时，xk是否收敛于x*，也就是必须找出收敛充分条件,第13页,例题,：,正确收敛迭代格式,第14页,例题,：,发散迭代格式,第15页,例题,：,错误收敛迭代格式,第16页,不动点,定义,：函数g(x)一个不动点（fixed point）是指一个实数,P,，满足,P,=,g,(,P,),从图形角度分析，函数y=g(x)不动点是y=g(x)和y=x交点,第17页,不动点定理,设有(i)g,g,Ca,b,(ii),K,是一个正常数，(iii)p,0,(a,b)，(iv)对全部x a,b，有g(x)a,b,假如对于全部x a,b,有|g(x)|K1，则迭代p,n,=g(p,n-1,)将不会收敛到,P,点。在这种情况下，,P,称为排斥（repelling）不动点，而且迭代显示出局部发散性,第18页,不动点迭代图形解释,单调收敛,振荡收敛,第19页,不动点迭代图形解释,单调发散,振荡发散,第20页,牛顿法,牛顿法也称为牛顿-拉普森法或者切线法。因为这个方法计算结果颇佳，而计算过程也比较简单，所以被普遍采取。,牛顿法关键内容是经过泰勒级数将非线性方程式转化为线性方程式，然后用迭代法求解。,第21页,牛顿法原理,设方程式 近似根为,则 对 泰勒级数展开式为,第22页,牛顿法几何意义,Y,O,X,切线方程,第23页,例:牛顿法计算,x2-25=0解,f(x)=x,2,-25，则f(x)=2x,可结构迭代公式以下：,取x,0,=2代入上式，得x,1,=7.25，继续递推，,依次得5.35、5.0114、5.000001、5.0000000001,第24页,牛顿法注意事项,在有根区间a,b上，连续且不变号，则只要选取初始近似根x,0,满足 ，切线法必定收敛。,在单根附近，牛顿公式恒收敛，而且收敛速度很快。不过需要注意假如初始值不在根附近，牛顿公式不一定收敛,在实际使用中，牛顿法最好与逐步扫描法结合起来，先经过逐步扫描法求出根近似值，然后用牛顿公式求其准确值，以发挥牛顿法收敛速度快优点,牛顿迭代法收敛速度快，但它要求计算函数导数值,第25页,弦截法,牛顿迭代法收敛速度快，但它要求计算函数导数值。在科学与工程计算中，常会碰到函数导数不易计算或者算式复杂而不便计算情况,弦截法基本思想与牛顿法相同，即将非线性函数线性化后求解。二者差异在于弦截法实现函数线性化伎俩采取是两点间弦线（用差商代替导数），而不是某点切线,弦截法示意图,第26页,弦截法注意事项,与牛顿法只需给出一个初值不一样，弦截法需要给出两个迭代初值。假如与逐步扫描法结合起来，则最终搜索区间两个端点值常可作为初值,弦截法虽比牛顿法收敛速度稍慢，但在每次迭代中只需计算一次函数值，又无须求函数导数，且对初值要求不甚苛刻，是工程计算中惯用有效计算方法之,一,弦截法虽比牛顿法收敛速度稍慢，但计算量小,第27页,逆二次插值,(IQI),若已知三个点a,b,c，及其函数值f(a),f(b),f(c)，能够将这三点插值为关于y二次函数。此抛物型一定与x轴有交点，在交点处y=0，对应点x=P(0)为下一步迭代解。,IQI法在迭代终点时收敛速度很快，但整个过程中速度不稳定,第28页,松弛迭代法,有些非线性方程用前面不动点迭代法求解时，迭代过程是发散。这时能够引入松弛因子，利用松弛迭代法。经过选择适当松弛因子，就能够使迭代过程收敛,迭代法是计算数学一个主要方法，用途很广，求解线性方程组和矩阵特征值时也要用到这种方法,第29页,松弛法注意事项,由上式可知，当松弛因子,=1,时，松弛迭代法变为不动点迭代法；当松弛因子,1,时，松弛法使迭代步长加大，可加速迭代，但有可能使原理收敛迭代变为发散；当,0,1,时，松弛法使迭代步长减小，这适合于迭代发散或振荡收敛情况，可使振荡收敛过程加速；当,0,时，将使迭代反方向进行，可使一些迭代发散过程收敛,松弛迭代法是否有效关键原因是松弛因子值能否正确选定。假如值选取适当，能使迭代过程加速，或者使原来不收敛过程变成收敛；但假如值选取不适当，则效果相反，有时甚至会使原来收敛过程变得不收敛。,松弛因子数值往往要依据经验选定,，但选取较小松弛因子，普通能够确保迭代过程收敛,第30页,威格斯坦法,威格斯坦法在化工流程模拟中得到了广泛应用,威格斯坦法是一个迭代加速方法,第31页,Wegstein法注意事项,应注意，假如x1和x2两点选择不妥，则连线斜率等于1，与直线y=x无交点，从而迭代无法进行，这就是Wegstein法应该防止陷井。引入一个量C,第32页,Wegstein法注意事项,令,q,1-,C,当,q,0时，Wegstein法退化为简单不动点迭代,当0,q,0时，迭代能稳定收敛，但收敛较慢,当,q,0能够加速收敛，但易造成不稳定,为了加速收敛又防止不稳定，常取-5,q,c=1-1 0-1;,r=roots(c),r=,1.4656,-0.2328+0.7926i,-0.2328-0.7926i,polyval(c,r(1),ans=,-2.5535e-015,第38页,非线性方程求解函数,fzero,fzero,对于普通单个超越方程，能够采取fzero函数求解,fzero函数结合使用二分法、割线法和可逆二次内插法,从两个函数值异号点a,b开始,利用a,b取得割线点c,重复以下步骤直至 abs(b-a),*,abs(b)或 f(b)=0,重新排列a,b,c使得,f(a)和f(b)异号,abs(f(b)0，程序收敛于解；Cha2demo1,则得到结果,function,y=myfun(x),y=x3-2*sin(x);,1.编写函数,2.将上述文件保留为myfunm文件,3.在命令窗口中键入,x=fzero(fun,1)，则得结果,第43页,利用函数求解,1.编写文件,x=fzero(fun,1),function,y=fun(x),y=x3-2*sin(x);,2.,将上述文件保留为,excer1,m,文件,3.,在命令窗口键入,excer1,为求解此方程，有些人编写以下程序，请问能得到正确结果吗？,第44页,例题8,求 零点，,以t为自变量，取值范围为-10t10，a,b为参数，本例取值分别为0.1，0.5,第45页,function Cha2demo2,a=0.1;b=0.5;t=-10:0.01:10;,Y=sin(t).2.*exp(-a*t)-b*abs(t);,clf,plot(t,Y,r);hold on;plot(t,zeros(size(t),k);,xlabel(t);ylabel(y(t),hold off,zoom on,n=input(How many zero points are there?);,tt,yy=,ginput,(n);zoom off,for i=1:n,t0(i),y(i),exitflag=fzero(t)sin(t)2*exp(-a*t)-b*abs(t),tt(i);,end,disp(The zero points are:),fprintf(%.4ft,t0),fprintf(n),第46页,例题9,：,在945.36kPa（9.33atm）、300.2K时，容器中充以2mol氮气，试求容器体积。已知此状态下氮气P-V-T关系符合范德华方程，其范德华常数为a4.17atmL/mol,2,，b0.0371L/mol。,数学模型：范德华方程变形可得,这是关于V三次方程，能够由roots或fzero求解,第47页,P=9.33;%atm,T=300.2;%K,n=2;%mol,a=4.17;,b=0.0371;,R=0.08206;,Eq=P,-(P*n*b+n*R*T),a*n2,-a*n3*b;,roots(Eq),Script文件,函数文件,function Cha2demo3,P=9.33;%atm,T=300.2;%K,n=2;%mol,a=4.17;,b=0.0371;,R=0.08206;,V0=n*R*T/P%,5.2807,V,fval=fzero(PVTeq,V0,P,T,n,a,b,R),%-,function f=PVTeq(V,P,T,n,a,b,R),f=(P+a*n2/V2)*(V-n*b)-n*R*T;,函数文件,第48页,函数,fsolve,与fzero函数只能求解单个方程根不一样，fsolve函数可求解非线性方程组解。其算法采取是,最小二乘法,。,调用格式：,x,fval,exitflag,output,jacobian=fsolve(fun,x0,options,p1,p2,.),输入输出变量意义同fzero函数,输出变量中jacobian为函数fun在x处Jacobian矩阵,定义待求解方程时，fun函数表示F(X)=0形式！,第49页,例题10：,在命令窗口输入：,x0=1 1 1;,x=fsolve(fun,x0),function y=fun(x),y(1)=sin(x(1)+x(2)2+log(x(3)-7;,y(2)=3*x(1)+2x(2)-x(3)3+1;,y(3)=x(1)+x(2)+x(3)-5;,x=0.5991 2.3959 2.0050,第50页,fsolve函数应用,在铜管内在1 atm下将异丙醇加热到400。已知铜是生产丙酮和丙醛催化剂，或许还有一些异丙醇异构化为正丙醇。这三种产物生成可用以下三个独立反应表示：,i,C3H7OH(IP)=,n,C3H7OH(NP),K,1=0.064,i,C3H7OH(IP)=(CH3)CO(AC)+H2,K,2=0.076,i,C3H7OH(IP)=CHHO(PR)+H2,K,3=0.00012,后续加工步骤需要正丙醇，即使可含丙酮，但丙醛含量不能超出0.05(mol)%。在上述反应条件下，是否存在违反这种要求可能性？,数学模型：各反应化学平衡方程以下,第51页,function Cha2demo7,x0=0.05 0.2 0.01;,x=fsolve(EquiC3,x0);,CAC=x(3)/sum(x),if CAC0.05,disp(The AC concentration could not be over 0.05%),else,disp(The AC concentration could be over 0.05%),end,function f=EquiC3(x),f1=x(1)-0.064*(1-x(1)-x(2)-x(3);,f2=x(2)*(x(2)+x(3)-0.076*(1-x(1)-x(2)-x(3)*(1+x(2)+x(3);,f3=x(3)*(x(2)+x(3)-0.00012*(1-x(1)-x(2)-x(3)*(1+x(2)+x(3);,f=f1 f2 f3;,fsolve函数应用,第52页,练习,求解：,初始值(-5,-5),1.,2.,第53页,复习,不动点迭代及其收敛性,roots、fzero、fsolve,表示待求解方程函数编写方法与要求,函数调用方法,初值选取标准,第54页,