三十六 叠合图形的面积.doc

三十六 叠合图形的面积
　　为了说明什么是重叠问题，请听下面一段师生对话．
　　老师：你家有几口人？

　　图36-1
　　学生：我家有两对父子俩．

　　学生：不，我家有三口人．
　　同学们，你知道这是怎么回事吗？如果你一时想不起来，那么图36-1给出了问题的谜底．
　　原来，老师的错误在于他重叠地计算了“爸爸”一次．
　　老师所犯的错误决不是偶然的．事实上，重叠问题经常给人们造成思维上的误区和“陷阱”，使你犯错误或漏解．看来，处理重叠问题在学习和研究中是必不可少的．非常有必要来探讨它．
　　重叠问题非常广泛，下仅讨论重叠的平面图形的面积．
问题36．1每边长为10厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽度是1厘米的方框．把5个这样的方框放在桌面上成为如图36-2所示的图案．问桌面上被这些方框盖住部分的面积是多少？

　　图36-2
解法1每个正方形的面积为102平方厘米，挖去的正方形的面积是（10-1-1）2平方厘米，故每个方框的面积为102-82=36（平方厘米）．图中虽有5个这样的方框，但有8个面积为1的小正方形是重叠的，故覆盖桌面的面积为
　　36×5-8=172（平方厘米）．
解法2每个方框的面积可这样

　　图36-3
　　求：它有四条边（如图36-3），每条边长为9厘米，宽为1厘米，故每个方框面积为（9×1）×4=36（平方厘米）．
　　再仿上可求桌面被覆盖的面积为172平方厘米．
问题36．2如图36-4，将长方形ABCD的宽增加5厘米，长减少3厘米，正好得到一个正方形，且正方形的面积比长方形多45平方厘米．求正方形的面积S．
分析显然长方形ABCD与正方形有重叠部分，它是长方形ABEF．因此正方形的面积比长方形多45平方厘米，可归结为长方形HAFG的面积比长方形FECD的面积多45平方厘米．

　　图36-4
　　为了求得正方形的边长，我们补一个长方形GFDK（因为补了后得到长方形GECK，此长方形不但与长方形HAFG等长，且这个长就是正方形的边长）．易算出长方形GFDK的面积是3×5=15（平方厘米），易见长方形HAFG的面积比长方形GECK的面积多45-15=30（平方厘米）．但它们的长都是一样的，且均为正方形的边长，而它们的宽相差5-3=2（厘米），故长方形HAFG的面积比长方形GECK的面积多的那30平方厘米就相当于一个长方形面积，此长方形的长与正方形的边长相等，而宽为2．所以正方形的边长为30÷2=15（厘米）．故
　　S=15×15=225（平方厘米）．
问题36．3如图36-5，正方形边长为4厘米，以边长为半径，相对的两个顶点为圆心在正方形内画弧，构成图中阴影部分的“叶形”．求叶形的面积．
分析我们只会求正方形、长方形、圆、扇形、三角形、梯形的面积，图中的“叶形”面积我们不会求，怎么办呢？一个很自然的思路是：设法把所求面积转化成上述已会求面积的图形去求．

　　图36-5
　　下文中出现的S①、S②、S③、S正分别表示区域①、②、③和正方形的面积．

　　S①=16-12.56=3.44（平方厘米）．再由对称性知：S③=S①=3.44平方厘米．
　　由图可知
　　S②=S正-S①-S③
　　=16-2×3.44=9.12（平方厘米）．
　　注意：本题中正方形面积是一个定数，区域①是一个不规则图形．“解法1”是用“互补思想”求得的S①，同时又用到“对称原理”才使问题得到解决．

　　2×12.56=25.12平方厘米）．
　　由图可知，此面积之和正好比正方形的面积多了一个S②．
　　故S②=25.12-S正=25.12-16=9.12（平方厘米）．
解法3如图36－6，取一条对角线把“叶形”面积分成两个相等的部

　　图36-6
　　12.56-8=4.56（平方厘米）．
　　故所求面积为
　　2×4.56=9.12（平方厘米）．
　　由本问题求解可见，求叠合图形的面积的方法有时不唯一，要注意择优选法．
问题 36．4图36－7中，正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积S．
解法1连如图36－8所示的虚线，S就是△ABC的面积减去两个全等
积，即

解法2先求出图36－9（1）中阴影部分的面积．显然正方形面积减掉一个整圆面积再除以2就是它的面积：
　　（4-π×12）÷2=0.86÷2=0.43（平方厘米）．
　　再把原图分割成图36－9（2）的形状，区域③是面积为1的正方形，而区域①、②合起来正好与图（1）中阴影部分的面积相等，即
　　S=1＋0.43=1.43（平方厘米）．

解法3先求叶形的面积．如图36－10，以每边为直径作半圆即得4个全等的叶形．它们的面积之和为正方形面积减去图36－9（1）中阴影部分面积的4倍，即4个叶形的面积和为4-4×0.43=2.28（平方厘米）．
　　故一个叶形面积为：
　　2.28÷4=0.57（平方厘米）．
　　由图36－7可见阴影部分的面积
　　S=4-2×半圆面积＋叶形面积
　　=4-π+0.57=1.43（平方厘米）．
问题36．5 图36－11里，中间4个阴影图形面积的和与四周的四个阴影图形面积之和哪个大？
解设小圆半径为r，则
　　大圆半径为2r．4个小圆的面积之和为4×（πr2），而大圆的面积π（2r）2也等于4πr2，即它们相等．由此易知4圆重叠的部分与空出的部分面积相等．

　　图36-11
　　即题中所述的两个面积之和相等．
问题 36．6桌面上放置了3个面积为100平方厘米，且两两重叠的圆（如图36－12）．这些圆盖住桌面的总面积为144平方厘米，图中叠了三层的面积是42平方厘米．求图中阴影部分的面积之和．

　　图36-12
分析中间的区域重叠了三层，而阴影部分重叠了两层．首先三圆盖住桌面积144平方厘米，已经将中间部分和阴影部分的面积各计算了一次，再只需要计算一次阴影部分面积和两次中间部分面积就正好等于三圆总面积3×100平方厘米．由此得到下面的解法．
解阴影部分面积为
　　3×100－144－2×42＝72（平方厘米）．
问题36．7国际奥委会的会旗上的图案是由代表五大洲的五个环组成的，每个环内外直径分别为8和10，如图36－13．图中两两相交的小曲边四边形（黑色部分）的面积相等．已知5个环覆盖的总面积是122.5，求每个小曲边四边形的面积（π取3.14）．

　　图36-13
解因为环内、外半径分别为4、5，故每个环的面积为π×52-π×42=9π=28.26．而 5个环的总面积为 5×28.26=141.3，但覆盖的面积只有122.5，则重叠的总面积为：
　　141.3-122.5=18.8．
　　重叠的小曲边四边形共有8个，故每个这样的四边形面积为：18.8÷8=2.35．
问题 36．8求图36－14中阴影部分的面积S和周长C．

　　图36-14
分析在图36－14中，我们会求面积的图形只有长方形和扇形．要把图中阴影部分通过“分”、“补”或“加”、“减”，组合转化成长方形和扇形不但困难，简直就是束手无策，我们另起一个思路：

和．这个和不但把长方形内两块非阴影部分（这个不在S中）的面积算进去了，而且把长方形内阴影面积也重复地算了一次，即一共正好多算了一个长方形的面积．

问题36．9将图36-15（1）中的三角形纸片沿虚线折叠得到的粗实线图形（图（2））的面积与原三角形面积之比为2∶3．已知图（2）中三个阴影三角形的面积之和为1，那么重叠部分的面积是多少？

分析把折过去的小三角形重新翻回来如图36－16，则折叠后的图形面积与原三角形除掉梯形ABCD后的面积正好相等．因为折叠后的图形面积是
形ABCD的面积与梯形CDFE的面积相等，所以这两个梯形的面积都与三个小三角形面积之和相等，故重叠部分的面积仍然为1．
问题36．10大宝和小贝是一对孪生兄妹，今天满8岁．妈妈特意给他们订做了一个面积为S的正方形生日蛋糕．爸爸要大宝把蛋糕均分成四份，使家里一人吃一块．大宝首先切一块给爸爸，但不小心把蛋糕切成了如图36－17的形状（O是正方形的中心）．妹妹小贝连忙责备大宝，大宝也很难为情．但爸爸、妈妈说大宝没有切错．同学们你知道这是怎么回事吗？

可．为此，延长 BO和 AO（如图36－17中的虚线），即得4个完全相同的四边形．故问题得证．

　　图36-17

实验．
　　剪两个面积为S的正方形，先固定其中一个而把另一个的某一顶点用针钉到固定的正方形中心点上，然后转动后一个正方形，并观察这两个正方形重叠部分面积的变化情况．不难发现，旋转过程中有两个特殊位置的叠合面

就来证实这一猜想．
　　如图36－19，设四边形OB＇CA＇是上述正方形转到任一位置的重叠部分．显然要直接计算它的面积是困难的，只有来找它与特殊位置（比如图36－18（1））的关系．为此，在图36－19中作出特殊位置的小正方形ONCM．
　　因为直角△OMA＇与直角△ONB＇完全一样，故可把△OMA＇割下来补到△ONB＇的位置上，即得到四

练 习 36
　 　1．图36－20阴影部分的面积是8平方厘米，它占大、小三角形的面

　　2．图36－21中，D、E分别是长方形两边的中点．求阴影部分的面积占长方形面积的几分之几？
　　3．图36－22中正方形的边长是2米，以它的顶点为心，半径为1米画4个圆．问这个正方形和4个圆共覆盖多少平方米？
　　4．图36－23是两个相同的正六边形叠放在一起．其中一个的某顶点在另一个的中心点上．求阴影部分占正六边形面积的几分之几？