随机变量的分布函数一分布函数的概念市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1 随机变量分布函数,一、分布函数概念,定义,:,设,X,是,随机变量，对任意实数,x，,事件,X,x,概率,PX,x,称为随机变量,X,分布函数,。,记为,F(x)，,即,F(x)P X,x.,易知，对任意实数,a,b(ab),P a,X,b,PX bPX a F(b)F(a).,第1页,二、分布函数性质,1、,单调不减性：,若,x,1,x,2,则,F(x,1,),F(x,2,);,2、,归一,性：,对任意实数,x，0,F(x),1，,且,3、,左,连续性：,对任意实数,x，,第2页,普通地，对离散型随机变量,XPX=x,k,p,k,k1,2,其分布函数为,例1,：,设随机变量,X,具分布律,如右表,解：,X,0,1,2,P,0.1,0.6,0.3,试求出,X,分布函数,。,四、离散型随机变量分布函数,第3页,例1,：,向,a,b,区间随机抛一质点，以,X,表示质点坐标,.假定,质点落在,a,b,区间内任一子区间内概率与区间长成正比,，求,X,分布函数,解：,第4页,3.2,连续型随机变量,1.,定义,:,对于随机变量,X，,若存在非负函数,p,(x)，(-,x+,)，,使对任意实数,x，,都有,则称,X,为连续型随机变量，,p,(x),为,X,概率密度函数，简称概率密度或密度函数.,常记为,X p(x),(-,x+,),一、概率密度,第5页,2.,密度函数性质,(1),非负性:,p(x),0，,(-,x,),；,(2),归一性:,性质,(1)、(2),是密度函数充要性质；,例1：设随机变量,X,概率密度为,求常数,a.,答:,第6页,（3）,第7页,(,4,)若,x,是,p,(,x,),连续点，则,例2：设随机变量,X,分布函数为,求,p(x),第8页,（5）,对任意实数,b,，,若,Xp(x),，,(-,x,)，,则,PX=,b,0。,于是,第9页,例3.已知随机变量,X,概率密度为,1)求,X,分布函数,F(x),2),求,PX,(0.5,1.5),第10页,二、几个惯用连续型分布,1.,均匀分布,若,Xp(x),则称,X,在(,a,b),内服从,均匀分布。记作,XU,(,a,b),对任意实数,c,d(acd0,指数分布。,其分布函数为,第14页,例6.,电子元件寿命,X(,年）,服从参数为3指数分布.,(1)求该电子元件寿命超出2年概率。,(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年概率为多少？,解:,第15页,例7:某公路桥天天第一辆汽车过桥时刻为,T，,设0，,t,时段内过桥汽车数,X,t,服从参数为,t,普哇松分布，求,T,概率密度。,第16页,其中,为实数，,0，则称,X,服从参数为,正态分布,记为,N(,2,)，,可表为,XN(,2,),.,（1）若随机变量,3.正态分布,第17页,1)单峰对称,密度曲线关于直线,x=,对称,；,p()maxp(x).,（1）正态分布有两个特征,：,第18页,2),大小直接影响概率分布,越大，曲线越平坦，,越小，曲线越陡峻，。,正态分布也称为高斯(,Gauss),分布,第19页,4.,标准正态分布,(1),参数,0，1正态分布称为,标准正态分布，记作,XN(0,1)。,第20页,分布函数表示为,其,密度函数,表示为,第21页,(2),普通概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅,(,x),值。(,P504,附表3)如，若,ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32),=0.9925-0.9066,(3),(,x)1(x)；,第22页,（4）若,X ，,则 ,N（0，1）。,推论：若,X ，,则,第23页,例1.设随机变量,XN(-1,2,2,),求,P-2.45X2.45=?,例2.设,X,N(,2,),求,P,-3,X3,值.,第24页,例3.,一个电子元件使用寿命（小时）服从正态分布(100,15,2,),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏是否是相互独立.求：使用最初90小时内无一元件损坏概率.,第25页,1、定义：,设(,X,Y),是二维随机变量，(,x,y),R,2,则称,F(x,y)=PX,x,Y,y,为(,X,Y),分布函数,，,或,X,与,Y,联合分布函数。,一、,联合分布函数,几何意义：,分布函数,F(),表示随机点(,X,Y),落在区域,中概率。如图阴影部分：,3.3二维随机变量及其分布,第26页,对于(,x,1,y,1,),(x,2,y,2,),R,2,(x,1,x,2，,y,1,y,2,),则,Px,1,X,x,2，,y,1,y y,2,F(x,2,y,2,)F(x,1,y,2,)F(x,2,y,1,)F(x,1,y,1,),.,(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),(,x,2,y,1,),(,x,1,y,2,),第27页,2、,分布函数,F(x,y),含有以下性质,：,且,(1),归一性,对任意,(,x,y),R,2,0,F(x,y),1,第28页,(2),单调不减,对任意,y,R,当,x,1,x,2,时，,F(x,1,y),F(x,2,y)；,对任意,x,R,当,y,1,y,2,时，,F(x,y,1,),F(x,y,2,)。,(3)左连续,对任意,x,R,y,0,R,第29页,(4),矩形不等式,对于任意(,x,1,y,1,),(x,2,y,2,),R,2,(x,1,x,2，,y,1,y,2,),F(x,2,y,2,)F(x,1,y,2,)F(x,2,y,1,)F(x,1,y,1,),0.,反之，任一满足上述四个性质二元函数,F(x,y),都能够作为某个二维随机变量(,X,Y),分布函数。,第30页,例1.已知二维随机变量(,X,Y),分布函数为,1)求常数,A，B，C。2),求,P0,X2,0,Y3,第31页,F,Y,(y)F(+,y)PY,y,称为二维随机变量,(,X,Y),关于,Y,边际分布函数.,F,X,(x)F(x,+,)PX,Y,第36页,求：(1)常数,A；(2)F(1,1)；,(3)(X,Y),落在三角形区域,D：x,0,y,0,2X+3y,6,内概率。,例4.设,第37页,为,(,X,Y),关于,Y,边际密度函数。,设(,X,Y)P(x,y),(x,y),R,2,则称,(,p121),为,(,X,Y),关于,X,边,际,密度函数；,同理，称,3、边际密度函数,说明：,第38页,（1）求常数,c;(2),求关于,X,边缘概率密度,例3.设(,X,Y),概率密度为,第39页,(1)二维均匀分布,若二维随机变量(,X,Y),密度函数为,则称,(,X,Y),在区域,D,上(内)服从均匀分布。,易见，若（,X，Y）,在区域,D,上(内)服从均匀分布，对,D,内任意区域,G，,有,4.两个惯用二维连续型分布,第40页,其中，,1,、,2,为实数，,1,0、,2,0、|,|1，则称(,X,Y),服从参数为,1,2,1,2,二维正态分布，可记为,(2)二维正态分布,若二维随机变量(,X,Y),密度函数为,第41页,结论：,N(,1,2,1,2,2,2,),边际密度函数,P,X,(x),是,N(,1,1,2,),密度函数，而,P,Y,(Y),是,N(,2,2,2,),密度函数。,故二维正态分布边际分布也是正态分布。,第42页,定义1：,称随机变量,X,与,Y,独立,，假如对任意实数,ab,cd，,有,paX,b,cY,d=paX,bpcY,d,即事件,aX,b,与事件,cY,d,独立，则称随机变量,X,与,Y,独立。,定义2：,称随机变量,X,与,Y,独立,，假如,F(x,y)=F,X,(x)F,Y,(y),其中,F(x,y),是（,X，Y）,联合分布函数，,F,X,(x)、F,Y,(y),分别是,X、Y,分布函数。,三,、随机变量相互独立性,第43页,定理(,p127):,设(,X,Y),是二维连续型随机变量，,X,与,Y,独立充分必要条件是，,P(x,y)=P,X,(x)P,Y,(y),定理（复习）:,设(,X,Y),是二维离散型随机变量，其分布律为,P,ij,=PX=x,i,Y=y,j,i,j=1,2,.，,则,X,与,Y,独立充分必要条件是对任意,i,j，P,ij,=P,i,P,j,。,第44页,独立性例子,例：书中（,P122）,例3.7两个随机变量是否独立？,例：,设(,X,Y),N(,1,2,1,2,2,2,)，,则,X,与,Y,独立充要条件为,=0。,第45页,3.4 随机变量函数分布,1、普通方法(,p56),若,X,p(x),-,x+,Y=g(X),为随机变量,X,函数，则可先求,Y,分布函数,F,Y,(y),PYyP g(X)y,然后再求,Y,密度函数,此法也叫“,分布函数法,”,一、一维连续型随机变量函数密度函数,第46页,例1.设,X,U(-1,1),求,Y=X,2,分布函数与概率密度。,当,y,0,时,当01,时,第47页,例2:设,X,概率密度为,p,X,(x),y=g(x),关于,x,处处可导且是,x,严格单减函数，求,Y=g(X),概率密度。,第48页,2、公式法：,若,Xp,X,(x),y=g(x),是单调可导函数，则,其中,h(y),为,yg(x),反函数,.,第49页,例3.已知,X,N,(,2,),求,解：,概率密度,关于,x,严单,反函数为,故,第50页,例4：设,X,U(0,1),求,Y=ax+b,概率密度(,a0)。,第51页,1、普通方法：分布函数法,若(,X,Y)p(x,y),(x,y),R,2,Z=g,(X,Y),则可先求,Z,分布函数:,然后再求出,Z,密度函数:,二、二维随机变量函数密度函数,第52页,(1)和分布,已知(,X,Y)p(x,y),(x,y),R,2,求,ZXY,密度。,2、几个惯用形式函数密度函数,对,z,求导，即得,z,密度函数,第53页,若(,X,Y)p(x,y),(x,y),R,2,则,ZXY,密度为：,若,X,与,Y,相互独立，则,ZXY,密度函数为,第54页,例3.13(,P133):,设随机变量,X,与,Y,独立且均服从标准正态分布，求证：,Z=X+Y,服从,N(0,2),分布。,解：,第55页,普通地，设随机变量,X,1,X,2,，.,X,n,独立且,X,i,服从正态分布,N(,i,i,2,),i=1,.,n,则,第56页,例2：卡车装运水泥,设每袋水泥重量,X(kg),服从,N(50,2.5,2,),分布,该卡车额定载重量为,kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载概率不超出0.05.,第57页,已知(,X,Y)p(x,y),(x,y),R,2,求,Z,密度,。,(2)商分布,第58页,尤其，当,X，Y,相互独立时，上式可化为,其中,p,X,(x),p,Y,(y),分别为,X,和,Y,密度函数。,第59页,三、统计学上几个惯用分布,第60页,1、-分布,若,X,密度函数为,则称,X,服从自由度为,n,-分布.,(2)可加性:若,X (n),Y (m),X,Y,独立，则,X+Y (n+m)。,第61页,2、,t,分布,若 ,N(0,1),(n),与 独立，则,密度函数为,(常称其为自由度为,n,t,分布，记为,t(n),),证实：,第62页,3、,F,分布,若 (,m,)，(n)，,与 独立，则,密度函数为,称其为第一自由度为,m，,第二自由度为,n,F,分布,记为,F(m,n),第63页,一.数学期望定义,数学期望描述随机变量取值平均特征,1.定义,若,Xp(x),-,x0),第69页,3.随机变量函数期望,定理3.2 若,Xp(x),-,x,则,Y=g(X),期望,定理3.3 若(,X,Y)p(x,y),-,x,-,y0,DY0，,则,称为,X,与,Y,相关系数,.,注：1)若记,称为,X,标准化，易知,EX,*,=0，DX,*,=1.,且,2,.相关系数,2)当,XY,=0,时，称,X,与,Y,不相关,。,第84页,1)|,XY,|,1；,2)|,XY,|=,1,存在,常数,a,b,使,PY=aX+b=1,；,3)X,与,Y,不相关,XY,=0,COV(X,Y)=0,证实：设,(2)相关系数性质,引理：,若(,X,Y),是一个二维随机变量,又,则有,因为对一切,t,有 ,所以 ,从而二次方程 或者没有实根,或者只有一个重根,由此知它判别式非正,即有,第85页,注：,（1）只是随机变量间线性关系强弱一个 度量；,（2）当 ，,X,与,Y,之间存在线性关系（以概率1）；,当 较大时，说明,X,与,Y,线性关系程度很好；,当 较小时，说明,X,与,Y,线性关系程度较差；,当 时，,X,与,Y,不相关。,第86页,以上例5结果说明了什么？,解:1),2),例5：,问题:,“,X,与,Y,独立”和“,X,与,Y,不相关”有何关系,？,第87页,可见，若（,X，Y）,服从二维正态分布，则,X,与,Y,独立充分必要条件是,X,与,Y,不相关,。,例6(,p185,3,.,36,):,设(,X,Y),在,D=(X,Y)：x,2,+y,2,1,上服从均匀分布，求证：,X,与,Y,不相关，但不是相互独立.,第88页,1.,K,阶原点矩,A,k,=E(X,k,),k=1,2,而,E(|X|,k,),称为,X,K,阶绝对原点矩；,2.,K,阶中心矩,B,k,=EX-E(X),k,k=1,2,而,E|X-E(X)|,k,称为,X,K,阶绝对中心矩；,3.,K+l,阶,混合,原点矩,E(X,k,Y,l,),k,l=0,1,2,；,4.K+l,阶,混合,中心矩,EX,E(X),k,Y,E(Y),l,k,l=0,1,2,；,四.矩,第89页,例,1,设(,X,Y),服从,N(1,0,3,2,4,2,-0.5),分布，,Z=X/3+Y/2,1),求,Z,概率密度,2)求,X,与,Z,相关系数,3)问,X,与,Z,是否相互独立？为何？,解：,第90页,定义.,给定,y，,设对任意固定正数 0，极限,存在，则称此极限为在,Y=y,条件下,X,条件分布函数.,记作,可证当 时,3.6 条件分布与条件期望,一、条件分布,第91页,若,p(u,v),及,p,X,(,v,),是连续函数，又,p,X,(,v,)0，则有,第92页,若记 为在,Y=y,条件下,X,条件概率密度，当 时，,类似定义，当 时,第93页,例1.,已知(,X,Y),概率密度为,(1)求条件概率密度,(2)求条件概率,x,y,1,解:,第94页,例2：若（,X，Y）,在圆域 上服从均匀分布，求条件概率密度,解：,第95页,例3：设,X,在区间（0，1）上随机地取值，当观察到,X=x（0 x1),时，数,Y,在区间（,x，1）,上随机地取值，求,Y,密度函数。,第96页,二、条件期望,1、定义：,假如,X,在,Y=y,发生条件下条件密度函数为 ，若,则称,为,X,在,Y=y,发生条件下条件数学期望，简称条件期望,第97页,三、条件数学期望性质,（,p165）,2、,若,a,b,是两个常数，又,存在，则,存在，且,以上两条性质是在固定“,Y=y,i,”,条件下考查条件期望性质。,1、,第98页,