1、学案设计
第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
学习目标
1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率;
2.掌握过两点的直线斜率的计算公式;
3.能用公式和概念解决问题.
合作学习
一、设计问题、创设情境
问题1:在平面直角坐标系中,点这一几何图形可以用数表示吗?
坐标的含义是什么呢?
问题2:请你在坐标系中表示出点P(2,0)和点Q(3,1).过点P、Q可以作几条直线,为什么?过一点P可以作几条直线呢?
问题3:现在给出点M(4,2)和点N(3,3),请大家画出过点P,M的直线,和过点P,N
2、的直线.
请大家观察,直线PQ、直线PM以及直线PN有什么联系?有什么区别?并请大家探究这种区别可以用什么量来描述?
二、学生探索、尝试解决
问题4:倾斜程度是相对于哪个对象的?请大家继续探究倾斜程度可以用什么量来刻画?请大家继续探究如何定义“角”或者“变化率”?
问题5:过点P与x轴形成45°角的直线有几条?进一步问:如何区分这两条直线呢?选择哪个角来描述直线的倾斜程度,就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢?
课堂练习1:在下列各图中分别标出各直线的倾斜角.
问题6:由以上对倾斜角的定义,你能确定倾斜角α的取值范围吗?
问题7:
3、对于直线相对于x轴的倾斜程度,除去用倾斜角这一几何图形描述之外,我们知道还能用纵坐标相对于横坐标变化的快慢来描述,他们之间有什么关系呢,我们应该将它们怎样联系起来呢?
课堂练习2:分别求出α=45°,α=135°,α=90°时,对应的直线的斜率;当α在[0°,180°)内变化时,斜率k如何变化?
四、用规律、解决问题
问题8:在平面直角坐标系中,已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)且x1≠ x2,能否用P1,P2的坐标来表示直线斜率k?
思考:1.各种一般情形得出的结论一致吗?与P1,P2这两点坐标的顺序有关系吗?
2.当直线垂直于x轴或y
4、轴时,上述结论适用吗?
3.斜率公式使用时应注意什么问题?
五、变练演练、深化提高
【例题】 已知A(3,2),B(-4,1).
(1)求直线AB的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角;
(2)若点C(x,3)在直线AB上,求实数x的值.
变式训练:已知点A(1,2),B(3,5),C(x,6).
(1)若直线AC的倾斜角α=45°,求实数x的值;
(2)若A、B、C三点共线,求实数x的值.
六、信息交流,教学相长
问题9:为什么要学习直线的斜率?这体现了什么思想?
参考答案
一、问题1:可以,用坐标表示; 横、纵坐标的绝对值,分别表示这一
5、点到y轴、x轴的距离,即坐标轴为参照对象.
问题2:一条;两点确定一条直线;无数条.
问题3: 都过点P;直线PQ与直线PN是过同一点的两条直线.这两条直线的区别可以从倾斜程度不同或者“变化率”不同两个方面来解释.
二、问题4: x轴;可以同“角”或者“变化率”来刻画;
三、问题5: 两条;需要从方向上来定义;
课堂练习:
问题6:倾斜角的范围是α∈[0°,180°).
问题7: 构造关于倾斜角的直角三角形.
课堂练习2:答案:因为tan 45°=1,tan 135°=-tan 45°=-1,α=90°时,斜率不存在.
四、问题8:解:设直线P1 P2的倾斜角为α
6、α≠90°),当直线P1 P2方向向上时,过点P1作x轴的平行线,过点P2作y轴的平行线,两线交于点Q,则点Q的坐标为(x2,y1)
(1)当α为锐角时,α=∠QP1P2,x1x2,y17、生分组推导).
同理,当直线P2P1方向向上时,无论α为锐角或钝角,都有tan α=y2-y1x2-x1,即k=y2-y1x2-x1
思考:1.一致,无关.
2.垂直于x轴时,分母为零,结论不适用;垂直于y轴时,适用.
3.直线注意公式适用的前提是斜率存在.
五、变练演编、深化提高
【例题】 解:(1)直线AB的斜率k=1-2-4-3=17,
因为k>0,所以其倾斜角是锐角;
(2)因为点C(x,3)在直线AB上,
所以3-2x-3=17,解得x=10.
变式训练:
解:(1)因为tan α=6-5x-3=1,故x=4;
(2)因为A,B,C三点共线,所以kAB=kAC,即5-23-1=6-2x-1,解得x=113.
六、信息交流,教学相长
问题9:为了用代数方法研究直线问题;体现了数形结合思想.
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