微分方程复习要点省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,1,一阶微分方程,2,可降阶二阶微分方程,3,二阶线性微分方程解结构,4,二阶常系数线性微分方程,一、第七章关键点,第1页,1,一阶微分方程,1),可分离变量微分方程,解法,类型,2),一阶线性微分方程,类型,解法,第2页,3),齐次方程,此为变量可分离微分方程,类型,解法 令 ，则 原方程变为,第3页,4),伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法 令 ，则原方程变为,第4页,2,可降阶二阶微分方程,方法 作 次积分,新方程是一个一阶微分方程,1),类型,2),类型,方法 令 ，则原方程转变为,第5页,新方程是一个一阶微分方程,3),类型,方法 令 ，则原方程转变为,第6页,3,二阶线性微分方程解结构,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应齐次线性方程有,1),若 是方程线性无关解，则方程有通解,第7页,一个特解,2),若 是方程特解，则方程有通解,3),若 是方程 特解，,则 为方程,第8页,4,二阶常系数线性微分方程,1),二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,对应特征方程为,则：若方程有两个不一样实根 ，则方程通解为,第9页,若方程有两个相同实根 ，则方程通解为,若方程有一对共轭复根 ，则方程通,解为,第10页,2),二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,则方程有特解,其中 是一个与 同次多项式，而,若 不是特征方程根，,若 是特征方程单根，,若 是特征方程二重根,第11页,设方程,则方程有特解,其中 是 次多项式，而,按 是否为特征方程根而分别取,1,或,0,第12页,二、例 题 选 讲,解 此方程为一个可分离变量微分方程分离变量，,因,得,例,1,求解方程 ,第13页,两边积分，得,即得原方程通解,第14页,解 原方程变形后为齐次方程,例,2,求解方程 ，,作变换 ，则有,第15页,移项，得,两边积分，得,将 代入，有,第16页,即满足初始条件解为,由初始条件 ，得 ，即原方程解为,第17页解 原方程变形为,即,例,3,求微分方程 通解,此是关于函数 一阶线性非齐次线性微分方程，,由求解公式得,第18页,第19页,分离变量，得,两边积分，得,例,4,求解微分方程 ,解法,1,此方程为齐次方程，作代换 ，则有,第20页,故方程通解为,即,因为,第21页,解法,2,方程变形为,故方程通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令 ，则有,第22页,例,5,求解以下方程,即,方程解为,1.,；,2.,解,1.,此方程不含变量 ，故令变换 ，则方程为,第23页,即,所以，方程通解为,第24页,方程变形为,即有,2.,此方程中不含变量 ，作变换 ，则,第25页,解得,即,分离变量后，再两边积分得,从而得方程通解,由 ，得方程解为 由,第26页,例,6,求以下方程通解,解,1.,特征方程为,解得 ，由此得到方程通解,1.,；,2.,；,3.,第27页,则,2.,特征方程为 ，因而齐次方程通解为,因为 为单根，故可设方程特解为,第28页,代入方程后，比较系数得,所以,因而方程通解为,第29页,代入到原方程，得,3.,特征方程为 ，解得 ，所以齐次方,程通解为,注意到 不是特征方程根，故方程特解可,设为,第30页,1,一阶微分方程,2,可降阶二阶微分方程,3,二阶线性微分方程解结构,4,二阶常系数线性微分方程,一、第七章关键点,第31页,1,一阶微分方程,1),可分离变量微分方程,解法,类型,2),一阶线性微分方程,类型,解法,第32页,3),齐次方程,此为变量可分离微分方程,类型,解法 令 ，则 原方程变为,第33页,4),伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法 令 ，则原方程变为,第34页,2,可降阶二阶微分方程,方法 作 次积分,新方程是一个一阶微分方程,1),类型,2),类型,方法 令 ，则原方程转变为,第35页,新方程是一个一阶微分方程,3),类型,方法 令 ，则原方程转变为,第36页,3,二阶线性微分方程解结构,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应齐次线性方程有,1),若 是方程线性无关解，则方程有通解,第37页,一个特解,2),若 是方程特解则方程有通解,3),若 是方程 特解，,则 为方程,第38页,4,二阶常系数线性微分方程,1),二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,对应特征方程为,则：若方程有两个不一样实根 ，则方程通解为,第39页,若方程有两个相同实根 ，则方程通解为,若方程有一对共轭复根 ，则方程通,解为,第40页,2),二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,则方程有特解,其中 是一个与 同次多项式，而,若 不是特征方程根，,若 是特征方程单根，,若 是特征方程二重根,第41页,设方程,则方程有特解,其中 是 次多项式，而,按 是否为特征方程根而分别取,1,或,0,第42页,二、例 题 选 讲,解 此方程为一个可分离变量微分方程分离变量，,因,得,例,1,求解方程 ,第43页,两边积分，得,即得原方程通解,第44页,解 原方程变形后为齐次方程,例,2,求解方程 ，,作变换 ，则有,第45页,移项，得,两边积分，得,将 代入，有,第46页,即满足初始条件解为,由初始条件 ，得 ，即原方程解为,第47页,解 原方程变形为,即,例,3,求微分方程 通解,此是关于函数 一阶线性非齐次线性微分方程，,由求解公式得,第48页,第49页,分离变量，得,两边积分，得,例,4,求解微分方程 ,解法,1,此方程为齐次方程，作代换 ，则有,第50页,故方程通解为,即,因为,第51页,解法,2,方程变形为,故方程通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令 ，则有,第52页,例,5,求解以下方程,即,方程解为,1.,；,2.,解,1.,此方程不含变量 ，故令变换 ，则方程为,第53页,即,所以，方程通解为,第54页,方程变形为,即有,2.,此方程中不含变量 ，作变换 ，则,第55页,解得,即,分离变量后，再两边积分得,从而得方程通解,由 ，得方程解为 由,第56页,例,6,求以下方程通解,解,1.,特征方程为,解得 ，由此得到方程通解,1.,；,2.,；,3.,第57页,则,2.,特征方程为 ，因而齐次方程通解为,因为 为单根，故可设方程特解为,第58页,代入方程后，比较系数得,所以,因而方程通解为,第59页,代入到原方程，得,3.,特征方程为 ，解得 ，所以齐次方,程通解为,注意到 不是特征方程根，故方程特解可,设为,第60页,