35-第三章习题课(概率统计).ppt

按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,上页,下页,返回,上页,下页,返回,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,第三章 多维随机变量及其分布,习题课 三,习题课三归纳第三章的概念、理论与方法等内容，,在“例题分类解析”部分，讲解了：,二维随机变量及其分布的概念及性质；,二维离散型随机变量的分布律；,二维连续型随机变量的分布函数；,边缘分布律与条件分布,律,;,随机变量落入平面区域内的概率计算；,两个随机变量的独立性的判定；,两个随机变量函数的概率分布,.,三、学习与研究方法,.,习题课三内容简介：,本章重点：,1.,二维随机变量分布函数的概念和性质；,2.,边缘分布的概念；,3.,条件分布的概念；,4.,随机变量的独立性；,5.,简单随机变量函数的概率分布,.,本章难点：,1.,二维连续型随机变量的概率计算；,2.,连续型随机变量边缘概率密度的计算；,3.,随机变量的独立性的判定和应用问题；,4.,简单随机变量函数的概率分布的计算,.,一、主要内容归纳,1.,分布函数,F,(,x,y,),及其性质,表,3,-,1,二维随机变量,(,X,Y,),的分布函数,F,(,x,y,),及其性质,二维离散型随机变量,(,X,Y),的联合分布律为,性质,:,(1),0,;(2),分布函数,:,表,3,-,2,二维离散型随机变量及其性质,2.,二维离散型随机变量及其性质,表,3,-,3,二维连续型随机变量及其性质,设二维连续型随机变量,(,X,Y,),的概率密度为,f,(,x,y,).,性质,:,(1),f,(,x,y,)0;,(2),(3),(,x,y,),为,f,(,x,y,),的连续点,;,(4),分布函数,:,3.,二维连续型随机变量及其性质,离散型随机变量,二维随机变量,(,X,Y,),关于,X,的边缘分布律为,二维随机变量,(,X,Y,),关于,Y,的边缘分布律为,二维随机变量,(,X,Y,),关于,X,的边缘分布函数为,二维随机变量,(,X,Y,),关于,Y,的边缘分布函数为,表,3-4,边缘分布,4.,二维随机变量的边缘分布,二维随机变量,(,X,Y,),关于,X,的边缘概率密度为,二维随机变量,(,X,Y,),关于,Y,的边缘概率密度为,二维随机变量,(,X,Y,),关于,X,的边缘分布函数为,二维随机变量,(,X,Y,),关于,Y,的边缘分布函数为,连续型随机变量,5.,二维随机变量的条件分布,表,3,-,5,条件分布,离,散,随,机,变,量,二维随机变量,(,X,Y,),在条件 下,X,的条件,分布律为,二维随机变量,(,X,Y,),在条件 下,Y,的条件,分布律为,x,i,X,=,二维随机变量,(,X,Y,),在条件,Y,=,y,下,X,的条件概率,密度为,条件分布函数为,二维随机变量,(,X,Y,),在条件,X,=,x,下,Y,的条件概率,密度为,条件分布函数为,连,续,型,随,机,变,量,3-6,随机变量的独立性,随机变量,X,与,Y,相互独立的充分必要条件是,:,f,(,x,y,)=,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),在平面上几乎处处成立,其中,f,(,x,y,),f,X,(,x,),f,Y,(,y,),分别是,(,X,Y,),的概率密度和边缘密度,.,连续型随机变量,随机变量,X,与,Y,相互独立的充分必要条件是,:,对于,(,X,Y,),的所有可能取值,x,i,y,j,),均成立,.,离散型随机变量,若对任意的数,x,y,满足,F,(,x,y,)=,F,x,(,x,),F,Y,(,y,),则称随机变量,X,与,Y,相互独立,.,其中,F,(,x,y,),F,X,(,x,),F,Y,(,y,),分别是,(,X,Y,),的分布函数及边缘分布函数,.,定义,6.,随机变量的独立性,表,3,-,7,常见两个随机变量函数的分布,设,X,Y,为连续型随机变量,Z,=,X,+,Y,的分布函数为,Z,设,X,Y,为离散型随机变量,Z,=,X,+,Y,的分布律为,或,Z,=,X,+,Y,7.,简单随机变量函数的分布,N,的分布函数为,，,其中,X,Y,相互独立,.,N,=min,X,Y,M,的分布函数为,其中,X,Y,相互独立,.,M,=max,X,Y,Z,=,X,+,Y,的概率密度为,若,X,Y,相互独立,则有,8.,重要结论,表,3,-,8,重要结论,1.,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,而且都不依赖于参数,.,2.,一般地,单由关于,X,和,Y,的边缘分布不能唯一确定,X,和,Y,的联合分布,.,3.,对于二维正态随机变量,(,X,Y,),X,和,Y,相互独立的充要条件是参数,=0.,4.,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,.,9,.,重要二维分布及其性质,表,3,-,9,重要二维分布及其性质,二维随机变量,(,X,Y,),的概率密度为,其中,S,G,表示平面区域,G,的面积,.,均,匀,分,布,二维随机变量,(,X,Y,),的概率密度,其中,.,记作,二维正态分布的性质,:,1.,2.,正,态,分,布,二、例题分类解析,1.,二维随机变量及其分布的概念和性质,例,1,设二维随机变量,(,X,Y,),的分布函数为,求,:(1),常数,A,B,C,;(2)(,X,Y,),的概率密度,.,解,(1),由分布函数的性质有,令,x,=0,y,=0,由此解得,故有,(2)(,X,Y,),的概率密度为,注：,本题考查了分布函数的性质在确定其表达式中待定参数的应用,考查了分布函数和概率密度之间的运算关系,.求分布函数表达式中的待定常数是一个常见问题,.,此例的解法具有通用性,.,2.,二维离散型随机变量的分布律,设某班车起点站上客人数,X,服从,参数为 的泊松分布,每位乘客中途,下车的概率为,p,(0,p,1,且,y,1,时,有,(3),当,0,x,1,且,0,y,1,时,有,x,Y,y,=,在计算中应注意区域的划分和,f,(,x,y,),的,分,段表,达式,.,(1),当,x,0,或,y,1,时,有,(5),当,x,1,且,0,y,1,时,有,故,X,和,Y,的联合分布函数为,4.,边缘分布律和条件分布律,例,5,设随机变量,X,和,Y,相互独立,下表列出了二维随机变量,(,X,Y,),的分布律及其关于,X,和,Y,的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中空白处,.,1,x,2,x,1,y,3,y,2,y,1,Y X,解,所以有,首先,由于,在此基础上利用,X,和,Y,的独立性,有,于是,再次,利用,X,和,Y,的独立性,有,于是,最后,利用,X,和,Y,的独立性,有,因此得到下表,y,3,y,2,y,1,x,1,Y,X,1,x,2,例,6,设二维随机变量,(,X,Y,),在圆域,x,2,+,y,2,1,上服从均匀分布,.,求,:,(1),关于,X,和,Y,的边缘概率密度,;,(2),条件概率密度,.,分析,由于,(,X,Y,),服从均匀分布,所以,解,由题设知,(,X,Y),的联合概率密度为,(1),当,x,1,时,由于,f,(,x,y,)=0,所以,当,-,1,x,1,时,于是关于,X,的边缘概率密度为,利用对称性,可得关于,Y,的边缘概率密度为,(2),因为,注意到当,时,f,(,x,y,),才不为零,时,有,因此,当,类似地,可以求得在条件“,X=x,”,下,当,-,1,x,1,时,Y,的条件概率密度,.,即在条件“,Y,=,y,”,下,当,-,1,y,1,时,X,的条件概率,密度为,5.,随机变量落入平面区域内的概率,例,7,已知随机变量,X,和,Y,的联合概率密度为,求,P,X,Y,.,解,由概率密度求概率的计算公式,可得,练习,:,计算概率,P,2,X,+1,Y,P,X,+,Y,0,的指数分布,.,当三个元件都无故障时电路正常工作,否则整个电路不能正常工作,.,试求电路正常工作的时间,T,的概率分布,.,记,X,i,(,i,=1,2,3),表示第,i,个元件无故,障工作时间,则,T,=min,X,1,X,2,X,3,.,实际上可以看作三个元件串联时构成的电路系统,.,分析,记,X,i,(,i,=1,2,3),表示第,i,个元件无故障,工作的时间,则,X,1,X,2,X,3,相互独立同分布,其分布函数为,解,设,T,的分布函数为,G,(,t,).,由于,T,=min,X,1,X,2,X,3,当,t,0,时,t,当,t,0,时,G,(,t)=0;,所以,故,即,T,服从参数为,3,的指数分布,.,求随机变量,Z,=,X,+2,Y,的分布函数,.,例,14,设二维随机变量,(,X,Y,),的概率密度为,(1),当,z,0,时，,F,(,z,)=0;,因联合概率密度已知,只需,按分布函数的定义计算即可,.,分析,解,Z,的分布函数为,z,=,(2),当,z,0,时,故,例,15,设随机变量,X,Y,相互独立,其概率,密度分别为,求随机变量,的概率密度,.,由于随机变量,X,Y,相互独立,所以,(,X,Y,),的概率密度为,由于随机变量,X,Y,相互独立,所以,X,Y,的联合概率密度易得,.,这就变,成了求随机变量函数的分布问题,见例,14,题型,.,分析,解,Z,的分布函数为,下面来计算这个二重积分,.,(1),当,0,时,即,z,0,时,(,参见图,3-2(,a,),F,Z,(,z,)=0.,(2),当,0,1,即,0,z,2,时,(,参见图,3-2(b),(3),当,即,z,2,时,(,参见图,3,-,2(c),因此,图,3,-,2,例,15,积分区域,(a)(b)(c),所以,Z,的概率密度为,即,关于一维与多维问题,这是一个基础与提高的关系,是由简单到复杂的拓广与提升过程,.,通常,一维所研究的问题是简单的基础的问题,而类似的多维问题是对一维问题的扩充与加深,.,三、学习与研究方法,对于一维随机变量,我们研究了分布函数、分布律和概率密度问题,.,在二维随机变量理论中,我们除了研究,(,联合,),分布函数、,(,联合,),分布律、,(,联合,),概率密度外,又建立了边缘分布、边缘概率密度、条件分布和随机变量的独立性理论,.,一维与多维问题,四、作业布置,P129,：,1,、,3,、,6.,参考文献与联系方式,1,郑一,王玉敏,冯宝成,.,概率论与数理统计,.,大连理,工大学出版社，,2015,年,8,月,.,2,郑一,戚云松,王玉敏,.,概率论与数理统计学习指,导书,.,大连理工大学出版社，,2015,年,8,月,.,3,郑一,戚云松,陈倩华,陈健,.,概率论与数理统计教,案 作业与试卷,.,大连理工大学出版社，,2015,年,8,月,.,4,王玉敏,郑一,林强,.,概率论与数理统计教学实验,教材,.,中国科学技术出版社，,2007,年,7,月,.,联系方式,：,zhengone,