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第 43 卷 第 7 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.7 2023 年 7 月 Journal of Science of Teachers College and University Jul.2023 文章编号：1007-9831（2023）07-0014-04 一个幂函数不等式的推广 刘丹华（郑州商学院 通识教育中心，河南 郑州 451200）摘要：利用分类讨论和拉格朗日乘数法证明了高等数学课后习题中的一个三元幂函数不等式在指数一般化的情况下仍是成立的，补充了该不等式等号成立的条件在此基础上，利用数学归纳法将该不等式由三元函数推广到n元函数 关键词：不等式；Lagrange 乘数法；多元函数 中图分类号：O178 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.07.004 Extension of an inequality with power function LIU Danhua （General Education Center，Zhengzhou Business University，Zhengzhou 451200，China）AbstractAbstract：By using classification discussion and Lagrange multiplier method，it is proved that a three-variable power function inequality in after-school exercises of higher mathematics is still valid in the case of exponential generalizationThe conditions for the equality of the inequality are supplementedOn this basis，the inequality is extended from three-variable function to n-variable function by mathematical induction.Key wordsKey words：inequality；Lagrange multiplier method；many variables function 1 引言及预备知识 各种事物间存在着大量的不等关系，不等式在理论研究和生活实际中有着非常广泛的应用1-6文献7给出了不等式 6231086abcab c （1）式中：,abc为任意的正实数张祖峰8等利用平均值不等式、凸函数方法与拉格朗日乘数法给出了不等式（1）的种证明文献9将不等式（1）中,abc的范围由任意的正实数扩大至任意非负实数但文献7-9都没有给出不等式（1）中等号成立的条件 不等式（1）除了证明的多样性，自身还拥有一种数学美观察式（1）可以发现：不等式（1）右端出现的数字 6 与左端各幂函数的指数 1，2，3 满足6=123，即右端的数字 6 等于左端各指数之和；这个数字 6 不但是不等式右端幂函数的指数，还是该幂函数底数的分母由此引发猜想：将不等式（1）左端各幂函数的指数 1，2，3 一般化，能否得到类似的结论，即 m p qmpqabca b cQmpq （2）收稿日期：2022-10-17 作者简介：刘丹华（1992-），女，河南郏县人，助教，硕士，从事随机过程研究E-mail： 第 7 期 刘丹华：一个幂函数不等式的推广 15 式中：,abc为任意非负实数；,mpqQ为任意正实数与此同时，不等式（2）有 3 个参数,abc，是否能将参数的个数由 3 个推广至更多个 2 主要结果及证明 定理 1 若,abc为任意非负实数，,mpq为任意正实数，则 mp qmpqmpqabca b cm p qmpq （3）当且仅当abcmpq时，不等式中的等号成立 证明 因,abc均为任意非负实数，则,abc的取值可分为种情况：（1）,abc中至少有一个为 0；（2）,abc均大于 0 情形,abc中至少有一个为 0 不妨设0a，由0m，可得0ma，从而不等式（3）的左端恒为 0由于不等式（3）的右端恒大于等于 0，因此不等式（3）成立当且仅当0abc，即0abcmpq时，不等式的等号成立 情形,abc均大于 0 利用 Lagrange 乘数法证明设函数 ,lnlnlnf xyzmxpyqz，求,f xyz在约束条件333,0 xyzxyzM下的最值，式中：,xyzmpqM均大于 0 构造 Lagrange 函数 333,lnlnlnL xyzmxpyqzxyzM，求偏导数，并令偏导数为 0，可得222,30,30,30 xyzmLx yzxxpLxyzyyqLx yzzz，解得 333,333mpqxyz （4）由333,0 xyzxyzM可知，333mpqM，即13Mmpq，由此可得 333mMxmpqpMympqqMzmpq 由于 (,)(0,0,0)(,)(0,0,0)lim,limlnlnlnx y zx y zf x yzmxpyqz，且,f xyz在区域30,上连续，故,f xyz在点111333,mMpMqMmpqmpqmpq处取得最大值，且 111111333333,lnlnln mMpMqMmMpMqMfmpqmpqmpqmpqmpqmpqmpq3333 lnm p qmpqMm p qmpq 16 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 因此对于任意0,0,0 xyz，均有 133,lnlnlnlnlnm p qmpqmpqMf xyzmxpyqzx y zm p qmpq （5）由式（4）可知，当且仅当333xyzmpq成立时，式（5）中的等号成立 由对数函数的单调性及式（5）可知 13mp qmpqmpqMx y zm p qmpq （6）当且仅当333xyzmpq成立时，式（6）中的等号成立 式（6）两边同时取三次方，得 333mp qmpqmpqMxyzm p qmpq （7）当且仅当333xyzmpq成立时，式（7）中的等号成立 由333,0 x y zxyzM可知，333Mxyz取333,xa yb zc，则Ma b c 再由式（7）可知，m p qmp qmpqabca b cm p qmpq ，当且仅当abcmpq成立时，不等式中的等号成立 证毕 将定理 1 中不等式（）的左端看作一个整体，即是一个关于,abc的三元幂函数将其由三元函数推广至n元函数，可得到定理 定理 2 若,1,2,ixin为任意非负实数，,1,2,imin为任意正实数，n为正整数，且1n，则 11111niiiimnnnnmmiiiiiiiixmxm （8）即12121212121212nnnmmmmmmmmmnnnnxxxxxxm mmmmm当且仅当1212nnxxxmmm时，不等式中的等号成立 证明 采用数学归纳法证明当1n 时，不等式（8）变成111111111=mmmmxxmxm，不等式显然成立 假设当nk时，不等式成立，即12121212121212kkkmmmmmmmmmkkkkxxxxxxmmmmmm，当且仅当1212kkxxxmmm时，不等式中的等号成立 式中：,1,2,ixik为任意非负实数；,1,2,imik为任意正实数；k为正整数 证明+1nk时，不等式成立，即+11+1+1+1+11111kiiiimkkkkmmiiiiiiiixmxm （9）式中：,1,2,1ixik为任意非负实数；,1,2,1imik为任意正实数 因为1kx为非负数，则可依据其是否为 0 分为种情况：（1）10kx；（2）10kx 情形 10kx 第 7 期 刘丹华：一个幂函数不等式的推广 17 因为110,0kkxm，则111=0=0kkmmkx，从而不等式（9）左端必为 0不等式（9）右端恒大于等于0，当且仅当所有的=0,1,2,ixik时，右端等于 0因此不等式（9）成立 情形 2 10kx 显然10kxx当10kxx时，必有0,1,2,jmjxjk，从而不等式（9）左端恒等于 0，不等式（9）右端恒大于等于 0，当且仅当所有的=0,1,2,1ixik时，右端等于 0因此，不等式（9）成立 当10kxx时，由于nk时，不等式11111kiiiimkkkkmmiiiiiiiixmxm成立，故可得 11111111111kiiiikikmkkkkkmmmmmiikiiikiiiiixxxmxmx （10）由于 1111+1111111111=kkkiiiiikimmmkkkkkkmmmkiiikiiiiiiiiikxmxmxmxmm （11）故由1100kkmmxx，110,0kkxm及定理 1（0,0,0abc）可知 111111111111kkkikiiimmmmkkkkkiiikikiiiikxxmxxmmm （12）当且仅当1111=kiikkkiixxmm时，不等式（12）中的等号成立 联立式（10）（12）可得1111111111kiiiimkkkkmmiiiiiiiixmxm 由数学归纳法法可知，不等式（8）成立，并且当且仅当1212nnxxxmmm时，不等式中的等号成立 证毕 注 由拉格朗日乘数法适用于有限维函数及定理 1 的证明可知，定理 2 还可用拉格朗日乘数法证明 3 结语 应用分类讨论、Lagrange 乘数法及数学归纳法完善了一个三元幂函数不等式等号成立的条件，并将其推广到有限维文献1中定理 1 等的结论都是定理 2 中3n 时的特例，因而本文给出的定理要更加完备，适用范围更加广泛，这对于后续多元幂函数不等式的研究具有深刻的意义 参考文献：1 匡继昌常用不等式M4 版济南：山东科学技术出版社，2010 2 尚亚东，游淑军凸函数及其在不等式证明中的应用J广州大学学报（自然科学版），2005（1）：1-6 3 贾延高等数学教学中定积分不等式的证明方法J宁波教育学院学报，2018，20（2）：76-78，116 4 姚志健泰勒公式在证明不等式中的应用J兰州文理学院学报（自然科学版），2015，29（1）：86-89 5 景慧丽，杨宝珍，刘华，等一个不等式的证明方法探讨J重庆工商大学学报（自然科学版），2014，31（8）：24-26 6 徐利治评匡继昌著常用不等式第三版J数学研究与评论，2004（3）：569-570 7 陈纪修，於崇华，金路数学分析（下）M北京：高等教育出版社，2004 8 张祖峰，胡珍一个不等式的三种证法J宿州教育学院学报，2014，17（6）：223-225 9 同济大学数学系高等数学（下）M北京：人民邮电出版社，2016