8-6--欧式空间的正交变换和对称变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,惠州学院数学系,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,惠州学院数学系,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,惠州学院数学系,欧式空间的正交变换与对称变换,定义,一个,n,阶实矩阵,U,叫做一个正交矩阵，,如果,定理,n,维欧氏空间一个标准正交基到另,一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵,.,例,设,是欧氏空间,V,的标准正交,基，且,证明,：当,T,是正交矩阵时,是标准正交基,.,正交变换的定义,定义,1,欧氏空间,V,的一个线性变换,叫做一个,正交变换，如果对于任意,都有,例,1,在,里,把每一向量旋转一个角,的,的一个正交变换,.,线性变换是,例,2,令,H,是空间,里过原点的一个平面,.,对于,每一向量,，令,对于,H,的镜面反射,与它对应,.,是,的一个正交变换,.,例,3,欧氏空间,V,的一个线性变换是正交变换的充要条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切,都有,.,正交变换的等价条件,定理,8.3.1,欧氏空间,V,的一个线性变换,是正交变换的充分且必要条件是：对于,V,中任意向量 ，,.,证明,条件的充分性是明显的,.,因为（,1,）中 取,=,，就得到 ，从而,.,反过来，设,是一个正交变换，那么对于,V,，我们有,然而,由于,比较上面两个等式就得到：,定理,设,V,是一个,n,维欧氏空间，,是,V,的一个线性变换，如果,是正交变换，那么,把,V,的任意一个标准正交基仍旧变成,V,的一个标准正交基；反过来，如果,把,V,的某一标准正交基仍旧变成,V,的一个标准正交基，那么,是,V,的一个正交变换,.,定理,n,维欧氏空间,V,的一个正交变换,关于,V,的任意标准正交基的矩阵是一个正交矩阵；反过来，如果,V,的一个线性变换关于某一标准正交基的矩阵是正交矩阵，那么,是一个正交变换,.,例5,在欧氏空间 中,规定线性变换,为,:,证明,:,是正交变换,.,例,6,将 的每一向量旋转一个角,的正交变换（参看例,1,）关于 的任意标准正交基的矩阵是,又令,是例,2,中的正交变换,.,在平面,H,内取两个正交的单位向量 ，再取一个垂直于,H,的单位向量,那么 是 的一个标准正交基,.,关于这个基的矩阵是,以上两个矩阵都是正交矩阵,.,的正交变换的类型,设,是 的一个正交变换，,关于 的一个规范正交基 的矩阵是,那么,U,是一个正交矩阵,.,于是,（,2,）,由第一个等式，存在一个角,，使,a,=cos,，,c,=sin,由于,cos,=,cos(),，,sin,=,sin,（,）,因此可以令,a,=,cos,，,c=sin,这里,=,或,.,同理，由（,4,）的第二个等式，存在一个角,使,b,=,cos,，,d,=,sin,将,a,b,c,d,代入（,4,）的第三个等式得,Cos,cos,+sin,sin,=0,或,cos(,+,)=0,最后等式表明，,是,/2,的一个奇数倍,.,由此得,所以,或,在前一情形中，,是将 的每一向量旋转角,的旋转；,这样，的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射,.,如果是后一情形，我们可以取这条直线上一个单位向量 和垂直于这条直线的一个单位向量 作为 的一个规范正交基,.,坐标的向量,.,这时,是直线的,反射,.,在后一情形，,将 中以（,x,y,）为坐标的变量变成以,(,x,cos,+,y,sin,x,sin,y,cos,),为,而,关于基 的矩阵有形状,现在设,是 的一个正交变换,.,的特征多项式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根,r,.,令 是,的属于本征值,r,的一个本征向量，并且 是一个单位向量,.,再添加单位向量 使 是的一个规范正交基，那么,关于这个基的矩阵有形状,由于,U,是正交矩阵，我们有,于是,由,U,的正交性推出，矩阵,是一个二阶正交矩阵,.,由上面的讨论，存在一个解,使,在前一情形：,在后一情形，根据对,的正交变换的讨论，我们可以取,的一个规范正交基 使,关于这个基的矩阵是,如果在,T,中左上角的元素是,1,，那么重新排列基向量，,关于 的矩阵是,如果左上角的元素是,1,，那么,关于基 的矩阵是,这样，的任意正交变换,关于某一正交基 的矩阵是下列的三种类型之一：,在第一种情形,是绕通过 的直线 的一个旋转；在第二种情形,是对于平面 的反射；第三种情形,是前两种变换的合成,.,思考题,设 是欧氏空间,V,的一个标准正交基,试求正交变换,使,适合,练习,设,V,是一个欧氏空间,是一个非零向量,对于,规定,V,的一个变换,证明,:,是,V,的一个正交变换,且,是单位变换,.,对称变换的定义,定义,1,设,是欧氏空间,V,的一个线性变换，如果对于,V,中的任意向量 ，等式成立，那么就称,是一个对称变换,.,例,1,以下 的线性变换中,指出哪些是对称变换,?,对称变换和对称矩阵之间的关系,定理,设,是,n,维欧氏空间,V,的一个对称变换，如果,关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那么,是一个对称变换,.,证,设,关于,V,的一个规范正交基 的矩阵 是对称的，令 是,V,的任意向量。那么,同样的计算可得,因为,所以,即,是一个对称变换。,对称变换的性质,定理,实对称矩阵的特征根都是实数,.,证,设 是一个,n,阶实对称矩阵,.,令,是,A,在复数域内一个特征根。于是存在不全为零的复数 使得,（,2,）,令,的共轭复数。,用矩阵,左乘（,2,）的两边得,即,:,（3,）,等式（,3,）两端取轭复数，注意 是实数。得,（,4,）,又因为 且等式（,3,）与等式（,4,）左端相等，因此,而 不全为零，所以 是一个正实数，所以 ，,是实数。,定理,n,维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根的特征向量彼此正交,.,证,设,是,n,维欧氏空间的一个对称变换，,，,是,的本征值，且,。令,和,分别是属于,和,的本征向量：,（,）,=,，,（,）,=,我们有,=,=,=,因为,所以必须,=0.,定理,设,是,n,维欧氏空间,V,的一个对称变换，那么存在,V,的一个标准正交基，使得,关于这个基的矩阵是对角形式,.,定理,设,A,是一,个,n,阶实对称矩阵，那么存在一个,n,阶正交矩阵,U,，使得 是对角形,.,为了求出,U,我们可以用以下方法,.,首先由于,U,是正交矩阵,所以因此 与,A,相似,.,于是可以利用,7.6,所给的步骤求出一个可逆矩阵,T,使得 是对角形式,这样求出的矩阵,T,一般来说还不是正交矩阵,然而注意到,T,的列向量都是,A,的特征向量,A,的属于不同特征根的特征向量彼此正交,因此只要再对,T,中属于,A,的同一特征根的列向量施行正交化手续,就得到 的一个规范正交组,以这样的规范正交组作列,就得到一个满足要求的正交矩阵,U.,例,2,设,找出求一个正交矩阵,U,使 是对角形矩阵。,第一步，先求,A,的全部特征根,.,我们有,所以,A,的特征根是,2,，,2,，,8.,第二步，先对于特征根,2,，求出齐次线性方程组,的一个基础解系,再 把正交化，得,对于特征根,8,求出属于它的一个单位特征向量,第三步，以 为列，作一个矩阵,那么,U,是正交矩阵，并且,例,3,设,是,n,维欧氏氏空间,V,的一个线性变换,证明,:,为对称变换的充分必要条件是,有,n,个两两正交的特征向量,.,