教案直线的倾斜角与斜率.doc

直线的倾斜角与斜率的教学设计

一、教学目标
1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。
2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。
4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
二、教学重点与难点
重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；
2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；
3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。
难点：用代数方法推导斜率的过程。
三、教学方法
计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程
（一）创设情境，揭示课题
问题1、（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗？
从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。
从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）
问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角）
由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式
（1）已知直线上两点
（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度
问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）
以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。
（学生可能答一条或两条，投影演示结果）如何区分清楚这两条直线呢？估计学生能想到还需要确定方向。
问题4、过点P与x轴形成45角的直线有几条？

选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？
（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分L1与L2）。
数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）
1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线与轴相交时，轴正向与直线向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角。
学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线。

学生容易忽略与轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？
如何规定？
规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0。
自然有倾斜角的范围是[0，180）
这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。
以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

（二）巩固旧知，同化新知
生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）
初中对坡度是如何定义的？

（即坡角的正切值）
坡度（比）=
升高量
前进量

当坡角增大时，坡度如何变化？
当坡角=90与0时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别是什么？
坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。
2、斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即
问题5、当为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角上）

如：倾斜角，则斜率

x
y
o

问题6、当在[0，180）内变化时，斜率k如何变化？

问题7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？
倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。
（三）尝试推导，深化认识
两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。
问题8、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1 x2，能否用P1 、P2的坐标来表示直线斜率k？
（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1 、P2及直线P1 P2，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。
解：设直线P1 P2倾斜角为（90）当直线P1 P2方向向上时，过点P1作轴的平行线，过点P2作轴的平行线，两线交于点Q则点Q为（x2，y1）
（1）当为锐角时，，，
在中，
（2）当为钝角时，（设=），，
=
在中，
（可让学生分组推导）
同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有，即
思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗？
2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？
3、斜率公式使用时应注意什么问题？
巩固练习：求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角。
（1）A（3,2）,B（-4,1）（）
（2）A（3,2）,B（4,1）（）
（3）A（3,2）,B（3,-1）（不存在）
（4）A（3,2）,B（-4,2）（）
（四）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）
1、明确了确定直线位置的几何要素。
2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）
3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论的数学思想
(五)板书设计
直线的倾斜角与斜率

（学生展示推导斜率公式的图形）

1、倾斜角的定义
范围[0，180）
2、直线的斜率
（）
为钝角时，

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