第七章-无穷级数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章,无穷级数,1,齐诺悖论阿基里斯与乌龟,公元前五世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(,Zeno,),用他的无穷、,连,续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：,如果让阿基里斯(,Achilles,，,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始，假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟仍然前于他10米，,如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是,荒谬,的，但奇怪的是，这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿呢？,2,第一节 无穷级数的概念,无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。,计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,3,1、级数的定义：,(常数项)无穷级数,通项,级数的,前,n,项部分和数列,4,2、级数的收敛与发散：,定义,(设极限为,S,),，,则称,该,无穷级数,收敛,，,且称,S,为该,级数,的,和,，并,记为,5,解,例1,讨论无穷级数,的收敛性.,所以级数收敛，且和为 1。,6,解,例2,所以级数发散.,所以,7,解,收敛,发散,例3,讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,8,发散,发散,综上所述，,9,齐诺悖论阿基里斯与乌龟,阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然发现在他前面一,千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：“胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，咱们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀，我明明知道能追上你，可是你说的好像也有道理耶。这到底是怎么回事呢？,10,A,B,假定阿基里斯现在,A,处，乌龟现在,B,处.为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点,B，,当他到达,B,点时，乌龟已前进到,B,1,点；当他到达,B,1,点时，乌龟又已前进到,B,2,点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！,B,B,1,B,1,B,2,11,如果我们从级数的角度来分析这个问题，齐诺的这个悖论就会不攻自破,。,设阿基里斯的速度为乌龟速度,的,10,倍,，,则,他跑完1000米,时，,乌龟又爬了100米,；等,阿基里斯跑完这段路,，,乌龟又,向前爬了,10米,，,依次类推,，,阿基里斯需要追赶的全部路程为,12,思考题：,还有没有其他方法解此题？,这里已经假定可以追上。,13,研究课题1：无限循环小数转化为分数,14,解,例4,小课题,：请编写一套把循环小数转化为分数的方法。,15,循环小数转化为分数的方法：,第一型：,16,例如：,17,第二型：,18,例如：,19,第二节 无穷级数的基本性质,也收敛,，且有,性质1,证,20,说明：,证,矛盾.,21,性质2,证,22,23,性质3,去掉、添加或改变级数中的有限项，不会影响它的敛散性.,这是因为，,去掉、添加或改变级数中的有限项,后所得数列的部分和数列与原级数的部分和数列只相差一个常数，所以具有相同的敛散性。,注意：,原,级数,若,收敛,，则,改变级数中的有限项,后，一般要改变它的和,.,24,性质4,收敛,级数,任意加括号后仍收敛，,且其和不变.,证,例如，,25,证,性质4,收敛,级数,任意加括号后仍收敛，,且其和不变.,注,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,推论,发散级数去括号仍,发散。,例如,26,性质5(级数收敛的必要条件),证,27,说明,：,1、如果级数的一般项不趋于零，则级数发散；,级数,发散；,级数,发散。,28,2、必要条件不充分：,再举一个重要例子：,但级数发散。,调和级数,29,调和级数增加的速度非常缓慢，例如,那么调和级数到底的收敛还是发散？,调和级数,证明：,调和级数发散。,于是,矛盾，,调和级数,假设调和级数收敛，其和为,S,，,所以级数发散。,证,因为,31,进一步的研究可以发现，虽然调和级数发散到正无穷大，但其发散的速度却是惊人的缓慢。,这说明调和级数发散到正无穷大实在不是直接的计算所能得到的，由于调和级数发散到正无穷大的缓慢性，我们也可形象地称调和级数为一“坚韧不拔”的级数，另一方面它又提醒我们：人不可“貌相”，级数的敛散性不可凭“想象”，需要严格的证明。,调和级数,例1,判断下列级数的敛散性：,因为,都收敛，,故原级数收敛，,解,且和为,33,收敛；,发散。,例1,判断下列级数的敛散性：,34,第三节 正项级数,1、定义：,这种级数称为,正项级数,。,2、正项级数收敛的充要条件：,定理,(一)正项级数的收敛问题,35,(二),比较判别法,证明,定理,(1),36,(一),比较判别法,证明,(2)是(1)的等价命题。,注,：定理的条件可放宽为：,定理,37,解,例1,所以原级数收敛.,38,解,例2,故原级数发散；,于是有,39,所以,于是,40,重要参考级数：,几何级数，,p,-,级数，调和级数。,比较：,41,解,例3,例4,解,所以原级数发散。,所以原级数收敛。,42,比较判别法的极限形式：,43,证明,44,可知两级数有相同的敛散性。,45,证明,由比较,判别,法可知，,(注意：,单向,),由,(2),即得结论,。,46,例5,例6,所以原级数发散。,所以原级数收敛。,解,解,47,例7,例8,发散,解,所以原级数发散。,解,所以原级数收敛。,48,常用等价无穷小：,49,解,例1,所以原级数收敛.,50,例9,解,51,例10,收敛，,解,所以原级数收敛。,52,例11,所以原级数收敛。,53,例12,解,所以原级数收敛。,所以原级数发散。,54,证,例13,由基本不等式,55,(三),比值判别法(达朗贝尔比值判别法),证略,56,例14,判别级数下列级数的敛散性,所以级数收敛。,解,解,所以级数收敛。,57,解,解,所以级数发散.,所以级数收敛.,58,解,练习：,所以级数收敛。,59,解,所以用比值法无法判断.,用比较法，,所以原级数收敛。,60,例15,解,61,(四),根值判别法(柯西根值判别法),证略,62,例16,解,所以级数收敛.,例17,解,所以级数收敛.,63,解,例18,级数发散。,64,第四节 任意项级数，绝对收敛,定义：,正、负项相间的级数称为,交错级数,。,定理(莱布尼茨判别法),称,莱布尼茨型级数,如果交错级数 满足条件,(一),交错级数,65,证,另一方面，,由条件(2)可知，,即原级数收敛，,由条件(1)可知，,注意：,莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件,。,定理(莱布尼茨判别法),如果交错级数 满足条件,67,例19,解,这是交错级数，,由,莱布尼茨,定理知，级数收敛。,一般地，,称为交错,p,-,级数.,所以级数收敛。,证明级数 收敛。,68,解,由莱布尼茨定理知级数收敛。,练习,69,(二)任意项级数的,绝对收敛,与,条件收敛,正项和负项任意出现的级数称为,任意项级数,。,定理：,绝对收敛必收敛。,70,证明,定理：,71,说明：,(1)定理不可逆：级数收敛，未必绝对收敛；,72,这是因为它们的依据是,说明：,73,例20,判定下列级数是绝对收敛、条件收敛或发散.,解,故原级数绝对收敛.,解,故级数绝对收敛.,74,解,故级数,发散,.,解,所以,原级数绝对收敛,。,75,例21,解,76,例22,解,即原级数非绝对收敛;,77,由莱布尼茨定理，此交错级数收敛，,故原级数条件收敛,78,例23,解,而原级数为莱布尼兹级数，故收敛,，即,条件收敛。,79,例24,解,所以级数发散；,故级数绝对收敛；,80,小结：,判定数项级数敛散性的思路：,正项？,Y,比较判别法,比值判别法,N,绝对收敛？,Y,END,N,若用比值法，发散,若用比较法，莱布尼茨定理,N,发散,Y,81,第五节 幂级数,(一)幂级数及其收敛半径和收敛域,1、幂级数的定义,级数,称为关于,x,的幂级数。,82,2、幂级数的收敛半径和收敛域,83,证,O,定理(阿贝尔,Abel,定理),84,由正项级数的比较判别法知,证,85,由(1)结论,几何说明：,收敛区域,发散区域,发散区域,这与所设矛盾.,86,此时正数,R,称为幂级数的,收敛半径,.,规定,问题：,如何求幂级数的收敛半径?,（2）在整个数轴上收敛；,87,定理,直接地讲，就是,88,证,89,证毕.,90,求下列幂级数的收敛半径和收敛域。,例1,解,发散；,收敛。,91,求下列幂级数的收敛半径和收敛域。,例1,一般，,92,解,收敛半径,端点处：,收敛；,发散,；,例2,93,解,收敛半径,端点处,明显发散，,例3,94,例4,解,例5,解,95,发散；,发散，,故收敛域为,(,-,1,3),.,例6,解,96,缺少偶次幂的项,级数收敛；,例7,解,直接应用比值判别法，,级数发散；,97,级数收敛，,所以原级数的收敛域为,级数收敛；,级数发散；,98,(二,),幂级数的性质,幂级数的加减法：,加法：,减法：,99,幂级数和函数的分析性质,100,且收敛半径仍为,R,.,(2),逐项求导后，原来,收敛的端点,可能,变发散。,101,注,：逐项积分后，原来发散的端点,可能,变收敛。,且收敛半径仍为,R,.,102,解,例8,收敛半径,端点处,明显发散，,103,解,例8,所以,两边,从 0 到,x,积分,104,(1),解,逐项求导,所以,例9,求下列幂级数的收敛域及和函数：,105,(2),解,收敛半径,106,(3),解,107,简便写法：,解,(3),108,(4),解,109,第六节 泰勒公式与泰勒级数,(一)泰勒公式,110,不足：,问题：,1、精确度不高；,2、误差不能估计。,111,分析：,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,112,n,阶接触,113,拉格朗日型余项,114,证明,：,且,115,116,则由上式得,证毕,117,118,此时泰勒公式称为,麦克劳林公式,。,麦克劳林(,Maclaurin,),公式,119,(二,),泰勒级数,定义,的,泰勒级数,。,的,麦克劳林级数,。,120,第七节 某些初等函数的幂级数展开式,问题：,2.如果能展开，怎么展开?,3.展开式是否唯一?,1.,f,(,x,),在什么条件下才能展开成幂级数?,与求和函数的相反问题：求幂级数，在其收敛域内以,f,(,x,),为和函数,函数的幂级数展开,。,121,上式两端逐项求导，得,122,且展开式是唯一的。,123,证,由泰勒公式,直接获证。,124,(一,),直接展开法(泰勒级数法),步骤：,先讨论展开成,麦克劳林,级数。,2,、,写出,幂,级数,，并求其收敛域,D,.,如果是,，,则,f,(,x,),在,D,上可展开成,麦克劳林,级数,125,例1,解,对任意固定的,x,由比值法，,126,对任意固定的,x,由比值法，,即证得,127,128,例2,解,129,130,例3,收敛域为：,(,不为正整数),推导略,131,特别,双阶乘,132,133,(二,),间接展开法,间接展开法是根据展开式的唯一性，利用已知展开式，通过,变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,等方法，求出函数的幂级数展开式。,134,利用逐项求导公式，得,例4,解,根据已知展开式,135,例5,解,两边从 0 到,x,积分,，,得,136,例6,解,两边从 0 到,x,积分,，,得,137,例7,解,所以,138,所以,例8,解法1,注意,两边从 0 到,x,积分,，,得,139,例8,解法2,140,常用的函数幂级数展开式,141,(,不为正整数),142,例9,解,143,例10,解,144,例11,解,两边逐项求导，得,145,以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下一般的泰勒级数：,其收敛域为,D,，,一般利用麦克劳林级数间接展开。,146,例12,解,147,例13,解,148,例14,解,而,149,150,例15,解,151,例16,解,152,END,END,153,