两道每日一题及“双变量问题训练”.doc

10

两道每日一题
1．已知是椭圆的左，右焦点，直线与椭圆相切。
（1）分别过作切线的垂线，垂足分别为，求的值
（2）设直线与轴，轴分别交于两点，求的最小值。
【解】（1）设直线的方程为，由已知: ，。
所以 ；。
于是。
联立，消去y，的：。
因为直线与椭圆相切，所以
。
所以 为定值。
（2）易知：，。
所以
。当且仅当，即时取等号。 所以 。

2．已知椭圆，过点作直线与椭圆顺次交于两点（在之间）。（1）求的取值范围； （2）是否存在这样的直线，使得以弦为直径的圆经过坐标原点？若存在，求的方程，若不存在，说明理由。

【解】（1）方法一：（联立方程法）
ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
且设。
联立， 消去，并整理得：
则有， 求得：
又有 ① ②
设 ，则有，即 ③
从①，②，③中消去可得：
而 ， 所以 。 而 ，故求得：
ⅱ）当直线的斜率不存在时，
综上所述， 的取值范围是
方法二：（点差法） 设，
则有：， 所以，，即
于是有
(1)(2) 得：，即
由已知， ，所以
而， 所以
（2）假设满足条件的直线存在，设，则
由（1）可知：
从而求得：
于是有： 满足
故满足条件的直线存在且直线方程为：或

利用导数解决“双变量”问题
例1．（全国卷III) 已知函数，．
（Ⅰ）求的单调区间和值域；
（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．

问题发散：
在主干条件“函数，，，，”不变的前提下，对问题（Ⅱ）进行如下变式：
变式1 若存在，，使得成立，求实数的范围；

变式2 若存在，，使得成立，求实数的范围；

变式3 若对任意，总存在，使得成立，求实数的范围；

变式4 若对任意，总存在，使得成立，求实数的范围；

变式5 若对任意，，使得成立，求实数的范围；

变式6 若存在，，使得成立，求实数的范围．
2．已知函数（为常数，）．
（I）若是函数的一个极值点，求的值；
（II）求证：当时，在上是增函数；
（III）若对任意的 总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．

3．已知函数（）．
（I）讨论的单调性；
（II）设 当时，若对任意，存在（），使，求实数的最小值．

4．已知函数，其定义域为（），设，． （1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
（2）试判断，的大小并说明理由；
（3）求证：对于任意的，总存在，满足并确定这样的的个数．

5．设函数在上是增函数．
（1）求正实数的取值范围；
（2）设，，求证：．

6．（2010山东理数） 已知函数．
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设．当时，若对任意，存在，使
，求实数取值范围．
解：（Ⅰ）因为，
所以 ，．
令 ，
（1）当时，，．
∴ 当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增．
（2）当时，由，即，解得，．
① 当时，，恒成立，此时，函数在上单调递减；
② 当时，
∴ 时，，此时，函数单调递减；

时，，此时，函数单调递增；
时，，此时，函数单调递减．
③ 当时，，
∴ 时，，，函数单调递减；
时，，，函数单调递增．
综上所述：
当时，函数在上单调递减，
函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减；
函数在上单调递增；
函数在上单调递减．
（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以在上的最小值为．
由于“对任意，存在，使”等价于
“在上的最小值不大于在上的最小值” （*）
又，，所以：
① 当时，因为，此时与（*）矛盾；
② 当时，因为，同样与（*）矛盾；
③ 当时，因为．
解不等式，可得．
综上，的取值范围是．

8．（2010辽宁理数）已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（II）设，如果对任意，，求的取值范围．
解：（Ⅰ）的定义域为，．
当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减；
当时，令，解得．
则当时，＞0；时，＜0．
故在单调递增，在单调递减．
（Ⅱ）不妨假设，而，由（Ⅰ）知在单调递减，从而
，，
等价于 ， ①
令，则．
①等价于在（0，+∞）单调减少，即 ．
从而．
故的取值范围为．

9．设且，为自然对数的底数，函数，．
（1）求证：当时，对一切非负实数恒成立；
（2）对于内的任意常数，是否存在与有关的正常数，使得成
立？如果存在，求出一个符合条件的；否则，请说明理由．

10．设是函数（）的一个极值点．
（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（2）设，，若存在，使得成立，求的取值范围．