一种逆用等价无穷小在极限问题中的应用.pdf

第 卷 第 期洛阳理工学院学报(自然科学版)年 月 ()一种逆用等价无穷小在极限问题中的应用任 铭 刘 乐 张 荣 贾耿华(.洛阳理工学院 数学与物理教学部 河南 洛阳 .洛阳师范学院 数学科学学院 河南 洛阳)摘 要:极限是高等数学中重要的概念之一 贯穿于高等数学课程的始终 掌握好极限运算是学好高等数学的前提条件 而合理利用等价无穷小是简化极限运算的一种重要方法 针对未定式极限 提出常用等价无穷小“时 ()”的逆用形式“时 ”利用该形式能够快速准确地求出一些函数的极限 为解决研究生考试和全国大学生数学竞赛一些极限问题提供重要的方法关键词:极限 等价无穷小 考研 大学生数学竞赛:./.中图分类号:文献标识码:文章编号:()收稿日期:作者简介:任 铭()女湖南岳阳人硕士讲师主要从事应用数学和数学教育方面的研究.:.基金项目:年河南省高等教育教学改革研究与实践项目()洛阳理工学院教研项目().极限理论是高等数学课程中的一个重要理论 贯穿于高等数学的始终 比如函数的连续、可导、可微、可积等等这些概念都是以极限为基础的 正确理解极限概念 根据不同的极限类型 选择合适的方法准确有效地求解极限是学好高等数学的基础 在各种极限问题中 求未定式的极限(型、型、型、型、型、型、型)既是难点 也是重点 其中型、型是基础 其余 种类型极限均可以通过适当变形或变量代换转化为这两类极限 但是就处理这两类基础型的未定式极限而言 还没有统一的方法 往往需要各种技巧相结合 黄辉巧用等价无穷小与泰勒公式结合求极限 刘乐提出“桥梁法”解决等价无穷小之差的极限问题 本文针对未定式极限 提出一种逆用等价无穷小的表示形式 将逆用等价无穷小与其他求极限的方法巧妙结合 可以大大简化极限运算 也为解决考研和全国大学生数学竞赛一些极限问题提供了重要的方法 一种逆用等价无穷小的表示形式当 时 一些常用的等价无穷小:()()()()()在文献中 给出了()中任意两个式子相减是 的同阶无穷小()中任意两个式子相减是 的同阶无穷小 本文是针对()中 时 ()做恒等变形 得出另一个等价无穷小 在极限中利用该等价无穷小 能够快速准确地求出极限一般情况下 求()()时 利用等价无穷小 时()把该极限转化为()如果令 则该等价无穷小变形为“时”或者“时”这里“时”本质上和“时 ()”是一样的 称为顺用等价无穷 洛阳理工学院学报(自然科学版)第 卷小 而“时”称为逆用等价无穷小 逆用等价无穷小使用得当的话 能够化繁为简化未知为已知 从而大大简化极限运算例 求极限()()解:该极限分子上出现了()()如果把()()当做 可知 时 从而有 则原式()()()()()()()()前后(以下简称)逆用了等价无穷小“时 ”利用了对数函数的性质“(、)”利用了对数函数的性质“()”利用了等价无穷小“时()”即可得结果事实上 该极限问题也可以采用“桥梁法”进行计算 这里利用公式 ()()()()进行凑项 即原式()()()()()()()这里采用“桥梁法”进行减项添项 与逆用等价无穷小相比 此方法不容易想到 具体的凑项也没有太多的规律性 因此 对于多因子的积或幂指函数 可以考虑结合对数函数性质 利用等价无穷小公式“时()”和逆用等价无穷小“时 ”来转化 计算思路更清晰 一种逆用等价无穷小在考研题中的应用全国硕士研究生招生考试数学试题中有些极限题可以利用该等价无穷小例 求极限 【】解:该式分子仍然为 的形式 其中 原式 逆用了等价无穷小“时 ”利用了对数函数的性质“()”顺用了等价无穷小“时 ”利用了等价无穷小 时 例 当 时 与 是等价无穷小量 求常数 与 的值【】第 期任 铭 等:一种逆用等价无穷小在极限问题中的应用解:由题知当 时 与 是等价无穷小量 即 显然 当 时 上式中的分子为 的形式 其中 所以 ()()()()()(根据题意此极限存在 则 )(由 可得 )逆用了等价无穷小“时 ”利用了对数函数的性质“(、)”和都利用了等价无穷小的性质“无穷小 时 ()”以及等价无穷小 时 ()事实上 例 中的极限问题也可以参考文献采用“桥梁法”计算 例 中 个余弦函数乘积的极限问题可推广至 个余弦函数乘积的极限问题 即例 中的极限例 求极限 解法:(桥梁法)注意到分母为 而 因此可以考虑添项减项求极限原式 ()()()()()这里主要采用“桥梁法”分子上凑项 即减去 再加上 分子上凑项 即减去 再加上 依此类推 需要进行 次凑项才能计算出结果 显然计算过程有些复杂解法:(逆用等价无穷小法)该式分子只需要提取一个负号 就可以写成 的形式 其中 所以原式 ()洛阳理工学院学报(自然科学版)第 卷 ()()分子恒等变形 使之出现 的形式 逆用等价无穷小“时 ”利用对数函数的性质“(、)”利用极限四则运算法则 顺用等价无穷小“时 ”利用等价无穷小 将上述两种方法对比 解法 (逆用等价无穷小法)计算思路更易想到 且计算更简便 另外 利用添项减项可以求该题极限 但是如果把该题稍微改一下 此方法就不适用了 比如下面例 中的极限问题 一种逆用等价无穷小在全国大学生数学竞赛题中的应用例 求极限 分析:该题如果添项减项后 因为后面提取不了公因子 本题通过添项减项来求极限就行不通了但是例 和例 相似 分子均出现了 只需要提取一个负号就可以把分子写成 的形式 所以例 可以完全按照例 的解法 (逆用等价无穷小法)来做 即原式 ()()()()分子恒等变形 使之出现 的形式 逆用等价无穷小“时 ”利用对数函数的性质“(、)”和“()”顺用等价无穷小“时 ”利用等价无穷小 对于该方法 比较例、例 可以看出 例 就比例 多用了 ()这一性质 全国大学生数学竞赛中许多涉及对数函数的极限大都可以逆用该等价无穷小 比如 例 中取 时的情形第 期任 铭 等:一种逆用等价无穷小在极限问题中的应用就是 年第九届全国大学生数学竞赛初赛(非数学类)中的极限问题例 求极限 【年第九届全国大学生数学竞赛初赛(非数学类)】解:该题为例 中 时的情形 所以原式()再比如 年第十二届全国大学生数学竞赛决赛(非数学类)中的极限问题(例)也可以利用逆用等价无穷小进行计算例 求极限 ()其中 为正整数【年第十二届全国大学生数学竞赛决赛(非数学类)】解:当 时 ()则 ()原式 ()()()()()()()“低阶吸收高阶”分母等价无穷小 逆用等价无穷小“时 ”利用对数函数性质“()”和 (、)利用泰勒公式 结 语极限的求法根据类型选择方法 比如利用洛必达法则、利用泰勒中值定理、利用拉格朗日中值定理、利用“捉大放小”、利用“夹逼准则”、利用定积分的定义 有时候一道题可能有好几种求法 在平常练习的时候应该尽量用可能多的方法 只有这样才能融会贯通 举一反三 也可能多种方法共同使用 才能计算出来 因此要想对于一道极限题能够完整地做出来 要求对极限各个类型的求法都要熟练掌握所谓“兵来将挡 水来土掩”不同类型的极限有不同的相应的方法 根据极限的特点 选择相应求极限的方法 这样不但有利于能够轻松求出极限 也有利于提升学习兴趣参考文献:同济大学数学系.高等数学上册.北京:高等教育出版社:.任芬芳汪晓勤陈玲玲.美国早期数学教科书中的极限概念.数学教育学报():.孟献青.几类常见函数的极限计算方法.山西大同大学学报(自然科学版)():.洛阳理工学院学报(自然科学版)第 卷 黄辉.巧用等价无穷小与泰勒公式求极限.江西电力职业技术学院学报():.刘乐.“桥梁法”在等价无穷小之差的极限中的应用.高等数学研究():.李永乐王式安刘喜波等.数学历年真题全精解析.北京:中国农业出版社:.张宇高昆轮.张宇考研数学真题大全解.北京:中国理工大学出版社:.陈挚郑言.大学生数学竞赛十八讲.北京:清华大学出版社:.(.):.:(责任编辑:陈白生)(上接第 页)陈端云李清湘.重选沉降分层理论研究与应用.现代矿业():.雷杰.铝土矿尾矿泥浆沉降过程中的关键影响因素.桂林:桂林理工大学:.雷中云邓荣东姜克冰等.低雷诺数下不规则颗粒沉降阻力公式的改进和验证.福州大学学报(自然科学版)():.侯永莉郝喆.尾矿颗粒沉降和分选规律研究.力学与实践():.:.():.方华祥.溶液性质对金属纳米颗粒在多孔介质中迁移持留行为的影响机制研究.杭州:浙江大学:.(.):.:(责任编辑:翟智卫)