一种多振子软基体声子晶体板的低频带隙特性研究.pdf

第 卷第 期 年 月兰州交通大学学报 ，收稿日期：?学报网址：基金项目：兰州市科技计划项目（?）作者简介：戴鸿飞（），男，黑龙江哈尔滨人，硕士研究生，主要研究方向为声子晶体与声学超材料。?：文章编号：（）：一种多振子软基体声子晶体板的低频带隙特性研究戴鸿飞，谭茂霆（兰州交通大学 数理学院，兰州 ）摘要：低频噪声与振动具有波长长、穿透能力强的特点，容易对人类的生产和生活造成严重影响。针对低频噪声控制，设计了一种椭圆铅球嵌在周期孔硅橡胶基体中的声子晶体板，利用有限元方法计算了其能带结构，并讨论了低频局域共振带隙形成机理。研究了散射体的填充率、高度、旋转角度以及材料参数和预应变对声子晶体板第一带隙宽度的影响。结果表明：所设计的声子晶体板能达到低频宽带隙的特点，施加在基体板上的预拉伸应变对其第一带隙影响较小。该研究为低频减振降噪结构设计和带隙优化提供了潜在理论参考价值。关键词：声子晶体；低频；带隙优化；局域共振中图分类号：文献标志码：?，（，）：?，?，?，?，?：；?；声子晶体是一种人工设计的周期性功能新材料，因为其质量密度和弹性常数均具有周期性，所以声波和弹性波在特定的频率范围内无法传播。研究学者将波无法传播的特定频率范围称为带隙 。改变声子晶体的几何结构和组成材料，可以实现对声波或弹性波的吸收、反射和折射控制 。自声子晶体发展 多年来，由于其具有独特的禁带特性，使其在轨道交通减振降噪领域有着巨大的应用潜力?。根据声子晶体禁带特性将其分为 散射型和局域共振型。年，刘正猷提出的局域共振型声子晶体模型，即用软材料包裹铅球排列在环氧树脂基体中，该模型所产生的带隙所对应的波长远大于晶格常数，实现“小尺寸”控制“大波长”的效果，为设计出轻质化和集成化的低频减振降噪材料兰州交通大学学报第 卷提供了理论依据 。针对声子晶体板低频带隙优化的问题，目前声子晶体领域的研究主要集中在被动优化和主动调控两个方面 。被动优化通过调节声子晶体的几何参数、材料组成以及利用缺陷结构的方式来调整模型从而形成低频带隙?，但这种方式加工成型后，其减振降噪特性也随之固定，因此设计一类具有低频、噪声良好衰减特性的声子晶体，在轨道交通的应用中具有重要意义。面对环境中低频噪声的复杂多变，声子晶体带隙的可调性展现了其在工程应用中的优势 。相比于被动优化，主动调控往往通过在声子晶体内部或表面施加外部电场、磁场、压力、温度等外部条件?，实现对声子晶体带隙频率或宽度的可调节。目前，已有许多研究针对声子晶体中软材料进行带隙宽度优化设计。例如，针对单一软材料声子晶体板，王艳锋等 改变板上周期孔的几何形状在低频范围内打开了更多的局域共振带隙；等 设计了一种环形柱体周期性排列嵌在软材料板中的结构，研究了不同材料对禁带影响以及该结构带隙宽度对非线性弹性预应力的响应效果；董亚克等 将材料参数小于硅橡胶的塑料引入到设计的混合结构声子晶体，在 下实现了 以上的带隙宽度；陈伟球课题组在多孔软基体材料中调整谐振子的排布可以同时调整带隙的频率和宽度，证实了合理的排布有利于拓宽低频带隙的宽度 。本文基于声子晶体局域共振机理，设计了一种以硅橡胶为基体板，铅为散射体的声子晶体板结构，并刻蚀周期性孔洞，获得了较宽的低频局域共振带隙。分析并讨论了带隙的影响因素，为设计兼具低频和宽带隙的局域共振型声子晶体提供了理论依据。声子晶体板模型及能带结构和传输损失的计算本文提出的基于局域共振机理的声子晶体板结构如图 所示，图 （）为空间笛卡尔直角坐标系下的声子晶体板单胞结构的立体图，图 （）为声子晶体板单元结构的俯视图。图 中单胞结构的尺寸：周期结构的晶格常数为 ，基体板厚度为，周期性孔半径为 ，散射体椭球?面长轴和短轴的长度分别为 和，方向高度为。以椭球中心为旋转基点，与长轴之间的夹角为散射体的旋转角度 。散射体的填充率为 ，其中 和 分别是椭球与基体板的椭圆形截面长轴和短轴长度。?单胞示意图?单胞俯视图?图 多振子软基体声子晶体板 在各向同性、体积无限大的弹性均匀介质中，忽略介质阻尼的影响，弹性波动方程 为 （）（）（）（）（）其中：、是拉梅常数，是拉普拉斯算符，是材料密度，（）是位移。对方程进行有限元求解，矩阵形式方程为 （）其中：为刚度矩阵，为质量矩阵，为各节点位移，是声子晶体的固有频率。位移场在结构上具有一定的周期性，根据布洛赫定理可分解为（）（）（）（）（）（）（）（）式中：为晶格矢量，使波矢沿整个不可约布里渊区边界进行求解即可以获得完整的色散曲线图。计算了该声子晶体板沿着面外方向的等效质量密度，沿着 方向施加幅值为 、角频率为 的简谐位移 ，通过有限元方法计算了频域下的结第 期戴鸿飞等：一种多振子软基体声子晶体板的低频带隙特性研究构响应，等效质量密度为 （）（）（）式中：是声子晶体单胞体积，（）为反作用力的 分量。采用有限元方法计算了声子晶体板的隔声性能，超胞结构如图 所示。在 方向上对周期板左端的激发态端口施加平均位移激励 ，在周期板右端拾取平均位移响应 。为了避免弹性波在边界上的能量反射对计算结果造成影响，在 方向上使用两个长度为 的完美匹配层，在 方向上使用周期性边界。频率响应函数 定义为 （）周期性边界条件周期性边界条件?图 用于计算幅频响应函数的 周期性结构 数值计算结果与分析 声子晶体板的低频带隙特征本文设计了一种局域共振型声子晶体板，晶格常数 ，周期性孔半径 ，环氧树脂板厚度 ，材料为铅的散射体高度 ，长轴和短轴的长度 和 ，材料参数详见表。表 材料参数 材料密度（）杨氏模量 泊松比 铅 硅橡胶 由于模型设计的比较复杂，考虑到收敛性和计算效率的问题，我们使用工程上常用的有限元方法建立数值分析模型，采用有限元法计算其能带结构和幅频响应函数。有限元法在离散度的选择方面提供了极大的自由，而在求解过程中，针对求解对象的复杂性需对网格进行合适的划分，以保证计算结果准确性的同时提高求解效率。为保证计算精度，本文计算均使用细化的网格。该声子晶体结构打开了一条 的低频带隙，阴影部分为声子晶体板的第一带隙，如图（）所示，宽度为 ，且在截止频率附近出现多条平直能带，表明该结构在所有方向上具有几乎相同的固有频率。根据 点第一带隙起始频率和截止频率的振动模态，即 点和 点的振动模态，证明了局域共振型声子晶体的散射体振动模态，决定了带隙的起始频率，而基体结构的固有频率决定了带隙的截止频率，二者的振动没有发生耦合作用且相互独立。当弹性波频率接近散射体的固有频率时，对应于 点的模式被激活为主模式，弹性波以此模式在板中传播，散射体顺时针旋转振动并对基体产生反作用，当基体中原本的振动模态被抑制时，弹性波在声子晶体板中的传输效果呈指数型衰减，故而形成带隙。当弹性波频率超过散射体固有频率时，其反作用力将逐渐减小至消失，随着抑制作用的衰减，点对应的模态将为主模态，弹性波继续以此模式在板中传播，带隙消失。我们计算该结构 方向的等效质量密度如图 （）所示，第一带隙范围内等效质量密度均为负值，证明在激励作用下，基体和散射体具有相反的振动方向，从而形成局域共振带隙。与图 （）中的频率响应函数曲线相比，阴影区的弹性波透射衰减超过 ，与能带结构中的禁带非常吻合。等效质量密度和频率响应函数验证了能带结构计算的准确性，第一带隙是由局域共振机制引起的。兰州交通大学学报第 卷此外，考虑到重力对基体板产生 方向的应力与形变，分别观察起始频率 点与截止频率 点处的振动模态。起始频率 点振动模态主要为基体与散射体整体发生面内扭转，方向的应力与应变几乎对该振动模态不产生影响。截止频率 点处的振动是由于基体板与散射体材料组分差异过大，振动集中在基体上，振动频率与材料的本身特性有关，重力的影响效果有限。为了验证重力对第一能带起止频率的影响，我们对基体板在 方向施加与重力等大的预应力，分析散射体重力影响下的能带结构，其能带结构如图 所示。第一带隙的起始频率和截止频率分别变为 和 ，与未考虑散射体重力的情况相比，起始频率无明显变化，截止频率增加了 ，因此，考虑散射体重力后计算出的能带结构与未考虑散射体重力的情况几乎相同。?频率?波矢?等效质量密度?能带结构?方向的等效质量密度?幅频响应函数图 声子晶体带隙特性的计算 优化过程为拓宽所设计的声子晶体模型的第一带隙，分别研究了散射体的填充率、高度、旋转角度和材料密度对第一带隙宽度的影响，并在软基体板上施加预应变，如图 所示。图（）中，散射体旋转角度对第一带隙的宽度影响较小；图 （）显示了在 范围内，随着散射体高度增加，第一带隙的宽度逐渐增大，且增加速率逐渐变缓；图 （）中散射体填充率能明显影响第一带隙的宽度；从图 （）可以发现，第一带隙的宽度随着散射体密度增大而逐渐增大。因此，可以得出散射体的填充率、高度、旋转角度和材料密度能明显影响第一带隙宽度。此外，本文研究了预拉伸应变对该声子晶体板第一带隙宽度的影响，如图 中的插图所示，分别对基体板施加横向、纵向预拉伸应变，、分别为预应变方向。图 中，横向预应变对带隙宽度的影响较小而纵向预应变对带隙几乎没有影响。这是由于软基体上施加的预应变对散射体的谐振产生影响较小所致 。?波矢?频率?图 在 方向上，施加重力等大预应力的能带结构 第 期戴鸿飞等：一种多振子软基体声子晶体板的低频带隙特性研究?频率?频率?散射体旋转角度?散射体旋转角度?散射体高度散射体高度?频率?频率?填充率填充率?材料密度材料密度?图 被动调控优化方式对声子晶体板第一带隙宽度的影响?预应变频率?纵向横向?图 预应变对多振子软基体声子晶体板第一带隙的影响?硅橡胶材料的阻尼大小会对声子晶体板的振动频率产生影响。因此，本文计算了 阻尼系数范围下声子晶体板的第一带隙的起止频率和幅频响应函数，如图 所示。图 （）中，硅橡胶材料阻尼系数的增大对第一带隙宽度几乎没有影响。对比图 （）中不同阻尼系数的幅频响应函数，频率下的传输损失峰值逐渐减小，使得第一带隙上能带的振动幅度变小。基体材料的阻尼系数增大，有效阻碍了该频率弹性波的传输。?阻尼系数?第一带隙起始频率和截止频率?频率?起始频率截止频率兰州交通大学学报第 卷?频率?幅值响应曲线?幅频响应函数?图 硅橡胶阻尼对第一带隙宽度影响 结论本文设计了一种多振子局域共振型声子晶体，分析了结构和材料参数以及预拉伸应变对第一带隙宽度的影响。经研究发现，填充率和散射体高度对第一带隙宽度影响较大，在一定范围内，随着填充率和散射体高度的增加，第一带隙宽度随之增大；散射体的旋转角度改变了模型的对称性，当 和 时，第一带隙宽度分别达到最宽和最窄；散射体材料不同，密度越大，第一带隙越宽。并且考虑到实际应用中硅橡胶材料的阻尼特性会对整个声子晶体的振动模态产生影响，当阻尼范围为 时，声子晶体板的振动对阻尼系数的响应很小，但是在第一带隙截止频率附近，频率响应函数峰值随着阻尼系数的增大而减小，表明该频率范围内，基体材料阻尼增大影响了弹性波在声子晶体板中的传输性能。参考文献：，（）：?，（）：，?，（）：?，?，?，：，：?，：?，?，：?，（）：?，?，?，（）：?，?，（）：，?，（）：?，?，?：，（）：?，?，（）：?：，（）：?，（）：，（）：?，?，：?第 期戴鸿飞等：一种多振子软基体声子晶体板的低频带隙特性研究 ，?，（）：，?；，：?，?，（）：，?，：，?，：（责任编辑：赵冬艳檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴）（上接第 页），?，：，?：，：?，：，：，?，：?，：，?：，：?，?：，：?，?：，：?，：，：?，：，：?（责任编辑：赵冬艳）