演化博弈视角下高中数学教与学的策略选择分析——以直线方程课堂导入为例.pdf

第4 3卷第3期黄 冈 师 范 学 院 学 报V o l.4 3N o.32 0 2 3年6月J o u r n a l o fH u a n g g a n gN o r m a lU n i v e r s i t yJ u n e.2 0 2 3演化博弈视角下高中数学教与学的策略选择分析 以直线方程课堂导入为例李 平1,2,吴秀云1,刘 青1,3,王振豪3(1.黄冈师范学院 数学与统计学院,湖北 黄冈4 3 8 0 0 0;2.萍乡学院 商学院,江西 萍乡3 3 7 0 0 03.黄冈市蕲春县第三高级中学,湖北 黄冈4 3 5 3 0 0)摘 要:有效的课堂导入既能激发学生的学习热情,又利于知识的迁移。因此,课堂导入不仅是教学过程的重要环节,也是教育研究领域的热点问题。本文以高中数学课堂导入过程中教师和学生的策略选择为研究对象,并以演化博弈论为工具,以教师和学生为参与者建立了师生互动的演化博弈模型。在这一过程中,教师和学生作为主导者和跟随者参与博弈互动。在建模过程中,通过博弈支付矩阵描述教师与学生所关切的利益与其策略选择之间的关系;通过研究复制动态方程组的均衡点及其稳定性来探究教师和学生在课堂导入方面的稳定均衡策略和适用条件。理论分析和数值仿真的结果表明,降低教师优化导入和学生积极配合的成本有助于系统向优化导入、积极配合的均衡点演化。这意味着教师和学生付出的成本越低,教学效果就越可能向共赢的方向发展。最后,在理论分析的基础上设计了一个高中数学课堂导入的案例,并通过教学实践进行了反思和总结。关键词:高中数学;课堂导入;演化均衡;稳定策略中图分类号:G 4 2 2,O 1 9 3 文献标志码:A 文章编号:2 0 9 6-7 0 2 0(2 0 2 3)0 3-0 0 8 9-0 6收稿日期:2 0 2 2-0 6-0 9 D O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.2 0 9 6-7 0 2 0.2 0 2 3.0 3.0 1 8 作者简介:李平,男,湖北黄冈人,副教授,博士,主要研究方向为博弈论及其应用;吴秀云,女,贵州黔南人,硕士研究生,主要研究方向为教育科学;刘青,女,湖北黄石人,中学中级教师,主要研究方向为动力系统及其稳定性。基金项目:教育部产学研创新项目(2 0 1 9 I T AO c x y 0 1 4 1);湖北省教育厅科研项目(B 2 0 2 0 1 2 5);黄冈市教育科学规划重点项目(2 0 2 2 GA 0 4)。课堂导入作为课堂教学第一环节,呈现了知识的有趣表象,也是后续教学环节的基础,重要性不言而喻。根据美国心理学家洛钦斯提出的“首因效应”原理,第一印象停留在人脑海中的时间最长,作用也最深。苏联教育学家苏霍姆林斯基曾说:“如果老师不想办法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态,就急于传授知识,那么这种知识只能使人产生冷漠的态度,而给不动感情的脑力劳动带来疲劳。”从教师的视角来看,课堂导入决定了整个课堂教学的基调,反映了教师自身对教学知识的掌握水平。从学生的视角来看,优秀的课堂导入可提高学生的求知欲望从而影响整个课程的学习。因此,课堂教学中的导入环节需要科学地设计和谨慎地处理。高中阶段数学课程具有知识密度大、教学节奏快等特点1。与初中数学相比,高中阶段数学语言抽象程度陡然增加。如,集合论和逻辑运算语言涉及的概念非常抽象,难以通过形象通俗的方式予以表达。此外,高中阶段数学衔接了初等数学和高等数学乃至现代数学,具有呈上启下的重要作用。这个阶段的教学目标不仅要求学生掌握基本的知识点,更注重数学思维的锻炼和数学方法的融会贯通。因此,教学工作者需要格外重视,并科学合理地设计课堂导入环节。通过讲述故事创设情境引出新知识,从而激发学生的兴趣;通过图文或视频音频创设出饶有黄 冈 师 范 学 院 学 报 第4 3卷趣味的学习情境,引导学生通过想象建立直观形象与抽象知识之间的联系;通过特定的游戏或活动环节,使得学生从气氛活跃的轻松环境中自发地进入学习情境。这些优化导入模式有一个共同的特点,都是通过精心设计课堂环节来创设趣味性强的教学情境,从而激发学生的学习兴趣,调动他们的学习主动性。姜明峰2提出课堂导入在教学过程中具有重要的引导和启发意义,设计精巧的高中数学课堂导入能让学生在面对重难点知识时产生“跃跃欲试”的劲头,在掌握知识点后又因“意犹未尽”而产生更多的学习兴趣。沈建成3提出高中数学课堂导入的合理性和优化性是非常值得关注的教研课题。将教育心理学理论与导入相结合,充分考虑学生的学习方式,将会出现事半功倍的效果。姜合峰等4将有意义学习理论用于数学课堂导入的条件与策略,他认为一次成功的数学课堂导入,不仅是建立在学生的适当观念基础之上,还要让学生体会旧知识不够用,意识到学习新知识的必要性。姜泉洋5认为课堂导入应符合导向性原则、趣味性原则、启发性原则、情感性原则,并把课堂导入分为开门见山式、情境导入式、复习导入式、类比导入式、实验导入式、问题导入式。林天伦等6提出博弈实质是师生非合作博弈的结果与表现,双方都力求在师生互动中寻求自身利益最大化的结果。于娜等7构建了课堂中的师生关系演化模型,分析老师与学生关系的演化过程。R i t a8将基于博弈论的合作伙伴匹配机制理论应用于在线学习平台,实现了学生的最佳伙伴配对。方兴林9和欧阳富明等1 0研究了基于有限理性和不确定信息假设条件下学生和教师的多重演化博弈模型及其最优均衡点。严凤君1 1提出了学生在课堂互动提问环节中的演化博弈过程和均衡策略演化轨迹。卢蔼玲1 2认为在合作学习中,由于小组成员存在学习梯度,因此会出现成员“搭便车”的情况,导致合作失败,利用博弈视角来分析,采用结对子的方式展开互助式学习。高中数学课堂导入和以博弈论为工具的教育教学问题分析研究受到了很多国内外研究者的关注1 3-1 5。目前已有的文献多数集中于对高中数学课堂导入的意义、原则、方法等各个方面进行概括和总结的定性研究,而以演化博弈为工具对教育理论中的一些常见现象进行分析却并不常见。基于演化博弈模型使用系统动力学分析的方法对高中数学课堂导入问题进行的研究文献也较少。本文将以教学过程中的教师和学生为博弈参与者,建立一个包含教师和学生为参与者的演化博弈模型,通过系统动力学分析,以期揭示博弈参与者的决策动机及系统达到均衡稳定状态的条件,从而为高中数学课堂的组织者和设计者提供可信的理论依据和决策建议。1 演化博弈论演化博弈论是博弈论的一个分支,它通过多次重复博弈来模拟群体策略选择的演化过程。目前,这一方法广泛应用于社会科学与管理科学领域。将教师和学生视为教学互动中的参与者和决策者,可将高中数学课堂导入过程简化为一个师生互动博弈问题,其中师生之间为了优化自身收益而采取各种应对策略。当师生双方都没有动力改变当前决策选择时,称他们达到了博弈的均衡。在教学过程中,课堂的组织者和参与者往往需要面对以下几个方面的问题:第一,教师和学生的决策是如何交互影响的?第二,在一个由教师和学生组成的动态系统中,稳定的均衡策略是什么?第三,系统达成均衡稳定的条件是什么?这里教师的利益指的是不需要通过维护课堂、批评学生等辅助方式,而只通过自己的讲授,让学生能够最大程度地掌握知识。学生的利益在于不产生对课堂的厌倦情绪、对老师的反感心理而实现最大程度地掌握老师传授的知识。当师生双方形成一个高水平地传授知识、积极配合探索的均衡策略时,双方最终都能从这一策略中得到最大的利益或好处。2 演化博弈模型以高中数学中的直线方程为例:虽然初中阶段学生就接触过直线的几何概念与相关性质,但是,以代数方法研究直线等几何对象是一种思维方式上的全新范式。如果教师以平铺直叙的概念介绍和例题讲解作为引入,有可能导致学生对几何与代数结合的重要数学思想停留在较浅层次的理解,甚至使他们失去进一步探索新知的兴趣和动力。如果教师能够结合十七世纪工业革命前夕背景下数学理论发展对技术创新的促进作用,讲解科技对人类历史的影响和数学家笛卡尔的生平轶闻,进而激励青年学子勇攀科学高峰为中华民族伟大复兴而读书。通过科学合理的设计,融入课堂思政的方式进行新知识的导入,无疑将激发学生们学习解析几何探索新知的兴趣,培养他们09第3期李 平,等:演化博弈视角下高中数学教与学的策略选择分析热爱科学和热爱祖国的道德情操。2.1 模型建立为了简化问题,本文假设教师在高中数学课堂中可选择的导入策略为一般导入和优化导入,学生可选择的策略为积极学习、消极学习,并作如下假设:(1)假设师生都是理性人,即教师、学生都追求自身利益的最大化。(2)假设教学过程中教师可以选择一般导入模式和优化导入模式,后者能够培养学生具备更强的独立学习能力。当选择优化导入模式时,教师需要花费额外的时间精力成本 T以设计组织优化导入环节。(3)假设学生可以选择消极或积极的学习态度。积极的态度会给学习者带来知识和技能方面的提升。学生在积极学习时收获量化为r2,学生在积极学习时付出的成本为c。此外,当学生选择积极认真的学习态度时教师也会获得正收益r2。当教师选择优化导入时,这种由学生积极态度带给教师的收益为r1。当教师选择一般导入模式时,这种由学生积极态度带来的收益降为1r1(011)。(4)优化导入模式带给态度积极的学生的收益量化为 S,但当学生态度消极时,这种收益降低为2 S(021)。(5)教师选择一般导入模式的概率为,选择优化导入模式的概率为1-。学生选择消极态度的概率为,选择积极态度的概率为1-。综上,可以建立起不完全信息下的师生博弈模型如表1。表1 不完全信息下师生博弈模型教师学生消极学习()积极学习(1-)一般导入()优化导入(1-)0,0-T,2 S1r1,r2-cr1-T,S+r2-c2.2 演化博弈的动态复制方程根据博弈模型矩阵,选择一般导入的教师期望收益为t1,选择优化导入的教师期望收益为t2,整个教师群体的期望收益用t来表示。则得到的收益表达式为:t1=(1-)1r1(1)t2=(-T)+(1-)(r1-T)(2)教师群体的期望收益为:t=t1+(1-)t2(3)根据博弈模型矩阵,选择消极学习的学生期望收益为s1,选择积极学习的学生期望收益为s2,整个学生群体的期望收益用s来表示。则得到的收益表达式为:s1=(1-)2 S(4)s2=(r2-c)+(1-)(S+r2-c)(5)学生群体的期望收益为:s=s1+(1-)s2(6)当教师和学生两个博弈主体的人数足够多时,从学生和教师群体中随机选择两个主体参与博弈,用动态复制方程表示师生之间的博弈系统的变化过程:d d t=(t1-t)=(1-)(t1-t2)(7)dd t=(s1-s)=(1-)(s1-s2)(8)3 演化博弈动力学分析令(7)-(8)式组成的复制动态方程组的右端函数为0,可计算得到系统的5个均衡点:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(*,*)。其中*,*的具体表达式为:*=2 S-S-r2+c2 S-S(9)*=1r1-r1+T1r1-r1(1 0)复制动态方程组的雅可比矩阵为:J=(1-2)(T-r1)(1-)(1-1)r1(1-)(1-1)S(1-)(1-2)(1-2)c-r2+S(2+-2-1)()根据L y a p u n o v稳定性理论可知,(7)-(8)式组成的微分动态系统,当雅可比矩阵J的特征值的实部全部为负时,对应的均衡点为演化稳定策略点(E S S)。系统的5个均衡点处雅可比矩阵的特征根如表2所示。表2 各均衡点的特征根均衡点特征根(0,0)1=T-r1(1-1),2=c-r2+S(2-1)(0,1)1=T,2=r2-c+S(1-2)(1,0)1=-T+r1(1-1),2=c-r2(1,1)1=-T,2=r2-c(*,*)1,2=T(c-r2)(T-r1+1r1)(c-S-r2+S 2)r1 S(1-1)(1-2)根据表2中各均衡点处雅可比矩阵的特征根及演化稳定策略的判定条件可以得到各均衡点成为演化稳定策略点的条件(表3)。当 Tr1(1-1),cr1(1-1),c0,cr2时,系统的稳定均衡策略为(1,1),此时教师选择一般导入的同时学生选择消极学习,这种情况是在教学过程中需要尽量避免的。而(0,1)和(*,*)不会成为稳定均衡策略。表3 均衡点满足E S S的相关条件均衡点条件结论(0,0)Tr1(1-1),cr1(1-1),c0,cr2E S S(*,*)鞍点 从上述分析中可以看出,教师的优化导入成本 T和学生的积极配合成本c是影响系统演化方向的重要因素。当二者均较小时,教师有动力采用优化课堂导入,学生愿意选择积极学习。当教师的优化导入成本 T较大而学生的积极配合成本c小于由选择积极策略所带来的收益r2时,教师没有动力采取优化导入策略,但学生愿意采取积极配合策略。当 T足够大,学生选择积极策略的成本c大于收益r2时,不但教师没有动力选择优化导入,学生也倾向于选择消极学习。在教学实践过程中,最理想的状态是教师采用优化课堂导入,学生选择积极学习。因此,如何降低 T和c的值,即减小教师优化导入和学生积极学习的成本是值得重视的问题,也是高中数学教学研究与改革的发展方向。4 数值仿真与案例设计4.1 数值仿真在理论分析的基础上进一步通过数值仿真方法对结 论 进 行 验 证。表4中 为 一 组 满 足 条 件 Tr1(1-1),cr2-S(2-1)的参数值。图1为对应表4参数值组的状态变量(t)、(t)的演 化 曲 线。从 图1中 可 以 看 出 当 Tr1(1-1),cr1(1-1),c0,cr2,图3为对应参数情形下状态变量(t)、(t)的变化曲线。图3中的状态变量曲线的演化趋势表明,相较于参数值组1,当其他参数保持不变,而 T和c值都变大时,不仅教师会倾向于选择成本较低的一般导入,学生也倾向于选择消极学习。即系统的演化稳定均衡点为(1,1)。这样的情况是高中数学教学实践中应当极力避免的。29第3期李 平,等:演化博弈视角下高中数学教与学的策略选择分析表6 参数值组3参数12r1r2c T S数值0.50.555844图3 参数值组3对应的(t)、(t)曲线4.2 案例设计针对“求直线的方程”内容设计了两种课堂导入方案 复习式导入和探究式导入,并将之应用于某高中数学课堂的教学实践。通过结合课后的师生访谈和专家诊断进行教学反思与经验总结,以促进教学流程的优化。4.2.1 学情分析虽然在初中阶段学习“一次函数”时,学生们已经对“一次函数的图像是直线”这一结论有较直观的认识,但对于代数方程与几何对象间如何建立一般对应关系及其重要性难以理解。这种深度理解上的缺位会进一步导致学习动机的缺乏和兴趣的丧失。高中生处在世界观逐步形成的关键时期,一方面他们有着与生俱来的探索欲望和求知热情,另一方面也处于抽象思维能力逐步成型的阶段。如果此时教师能通过引导和启发的方式正确激发他们的学习兴趣,毫无疑问会促进学生向自主学习和探究学习的方向发展,提高教学效率。4.2.2 复习式导入教师提问1:大家学过哪些直线的方程?学生回答:有点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等。教师提问2:大家知道这些直线的方程的公式吗?学生回答:知道。教师总结:那么现在大家一起来学习通过给定条件推导出符合条件的直线方程的方法(具体内容略)。4.2.3 探究式导入教师提问1:中国古代思想家荀子曾在 劝学 中这样说过:“假舆马者,非利足也,而致千里;假舟楫者,非能水也,而绝江河。君子生非异也,善假于物也。”意思是说工具对人类非常重要。那么,大家知道哪些重要的工具?学生互相讨论,举手发言回答。教师总结:大家讨论的很热烈,回答的也很精彩。但是大部分同学想到的重要工具都是飞机、高铁、电脑、手机这些有形的工具。事实上人类还掌握了很多无形的工具,例如用来沟通交流的语言、记录信息的文字、描述自然规律的数学等。它们同样非常重要。教师提问2:同学们以前掌握过哪些有用的数学工具呢?学生互相讨论,举手发言回答。教师总结:大家的发言非常踊跃,有的同学回顾了广泛用于测量、建筑、天文等领域的几何方法;有的同学回顾了可用于求解未知变量的代数方程。它们都是非常有用的工具。但纯粹的几何方法虽然直观,但广泛依赖技巧性的方法难以精确定量;而代数方法具有求解过程便于程式化的优点,但常常不够直观。解析几何是通过代数方程描述几何对象的数学分支,在科学研究和工程实践中有广泛应用。教师提问3:大家见过哪些用代数方程描述几何对象的例子呢?学生互相讨论,举手发言回答(教师可适当引导讨论的方向,使其不至于偏离课堂主题,如行星运行轨迹、抛掷物体形成的抛物线、一次函数对应的直线、零件表面的加工路径等)。教师总结:通过代数方程描述几何对象的例子非常多,这些几何对象的共同特征是都需要满足一定的约束条件。教师提问4:现在给大家提一个难度较大的问题:确定一个几何对象需要多少约束条件?怎样根据已知的约束条件推导几何对象的代数方程呢?大家想不想知道这些问题的答案?学生回答:想!(因为前面讨论较充分,并经过教师的启发和引导,通常很容易激发出学生的学习热情。)4.2.4 教学实践与比较分析本研究以湖北省黄冈市某高中二年级9个班级为实践对象,按照随机分组的方式分为两组,分别以复习式导入和探究式导入进行“求直线的方程”内容的教学实践。在课后组织了师生访谈和39黄 冈 师 范 学 院 学 报 第4 3卷教学名师的评课活动,在充分总结师生访谈和名师评课的基础上,得到如下的结论和启发。(1)复习式导入能快速有效地建立新旧知识间的联系,但缺乏新鲜感,较难调动学生主动学习的意识,也不利于学生建立整体性思维。复习式导入可作为一般导入的一种代表形式。(2)探究式导入比较新颖,但比较慢热。一方面需要教师进行精心的设计,另一方面对学生的思维活跃度和自主探究能力要求较高。探究式导入可作为优化导入的一种代表形式。(3)复习式导入简单直接,但下限较高,上限较低。即使对于前序基础知识掌握不太好的学生,也能让大部分人快速掌握基本的解题方法。但面对难度较大的拓展性习题,一筹莫展无法动手的学生比例较高。在教学实践当中,学习过程中缺乏积极性的学生往往容易与复习式导入这种模式相匹配,间接验证了一般导入、消极学习这个均衡点的稳定性。(4)探究式导入既考验了教师的教学设计能力和课堂掌控能力,又考验了学生的主动学习能力。一旦双方默契配合,很容易形成良性循环,渐入佳境。在教学实践当中,学习过程中充满积极性的学生往往容易与探究式导入这种模式相匹配,间接验证了优化导入、积极学习这个均衡点的稳定性。(5)“教学有方法,但又无定法”。针对不同的教学对象、教学内容,并没有绝对占优的教学方法,课堂导入也是如此。作为高中数学教师,需要针对不同的教学内容和施教对象,设计合适的课堂导入方法,并辅以灵活应变的课堂组织形式。本文以高中数学课堂教学中的课堂导入环节为研究对象,将教师和学生的互动过程简化为师生博弈中的策略选择和动态演化,并由此建立演化博弈模型。通过对演化博弈模型的动力学特性分析,发现成本参数值的相对大小影响了系统的演化方向。当教师选择优化导入的成本和学生积极学习的成本由相对较低的水平向较高水平变化时,系统的演化稳定均衡点会依次从(优化导入,积极学习)演化到(一般导入,积极学习),再到(一般导入,消极学习)。其中(优化导入,积极学习)是师生双赢的局面,也是教学实践中的理想状态。而(一般导入,消极学习)则是教学实践中应当尽力避免的情形。在高中数学教学实践中,如何降低教师开展教学创新活动和学生积极学习的成本,理应成为教改的方向和目标,而这一点与当前教育界所提倡的“双减政策”是不谋而合的。参考文献:1 梁洪昌.高中数学课堂导入案例分析J.中学数学研究(华南师范大学版),2 0 1 9(4):2 2-2 4.2 姜明峰.高中数学课堂导入方法研究J.西部素质教育,2 0 1 8,4(3):2 3 2-2 3 4.3 沈建成.高中数学课堂导入设计的现状分析和优化策略J.数学教学通讯,2 0 1 7(9):5 9-6 0.4 姜合峰,刘珍,王川龙.有意义学习理论用于数学课堂导入的条件与策略J.教学与管理,2 0 1 8(2 1):9 6-9 8.5 姜泉洋.多元化导入打开精彩的一课高中数学课堂导入设计的原则与方法分析J.数学教学通讯,2 0 1 7(6):6 0-6 1.6 林天伦,陈国香.基于博弈论的师生冲突分析J.教育科学研究,2 0 1 0(4):6 8-7 1.7 于娜,陈江华.思政教育中导师与研究生协同关系博弈分析J.合肥学院学报(综合版),2 0 2 1,3 8(2):1 3 3-1 3 9.8 Y u s iR,A b u s i t t a A,Am e u rE.T e e n s-o n l i n e:ag a m e t h e o r y-b a s e dc o l l a b o r a t i v ep l a t f o r mf o rp r i v a-c ye d u c a t i o nJ.I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lo fA r t i f i c i a lI n t e l l i g e n c e i nE d u c a t i o n,2 0 2 1,3 1(4):7 2 6-7 6 8.9 方兴林.演化博弈视角下大学生课程作业抄袭行为控制研究J.红河学院学报,2 0 1 9,1 7(4):1 4 3-1 4 6.1 0 欧阳富明,范霞,曹毅,等.演化博弈视角下网课平台“刷课”行为控制研究J.华中师范大学学报(自然科学版),2 0 2 1,5 5(2):3 2 9-3 3 6.1 1 Y a n,FJ.D D i s c u s s i o no n t h eE n l i g h t e n m e n t o f t h eD e v e l o p m e n t o f G a m e T h e o r y t o M a t h e m a t i c a lQ u a l i t yE d u c a t i o n,2 0 1 88 t hI n t e r n a t i o n a lC o n f e r-e n c eo nS o c i a l s c i e n c ea n dE d u c a t i o nR e s e a r c h(S S-E R2 0 1 8)C.A t l a n t i sP r e s s,2 0 1 8.1 2 卢蔼玲.博弈论视角下高中政治教学中“小组合作学习”的有效开展C.广东教育学会教育现代化专业委员会“教科研课题研究与论文写作高级研修班”会议论文集,2 0 1 9:7 4-7 6.1 3 刘进.博弈论视角下高中数学教材内容要素的选择J.教育理论与实践,2 0 1 8,3 8(2 0):3 6-3 9.1 4 杨龙仙.基于博弈论视角的中学数学教师激励机制设计的讨论J.祖国,2 0 1 7(1 9):2 4 4.1 5 何棋,范登晨.信息技术与高中数学课程整合的实践研究J.中国电化教育,2 0 0 7(9):4.责任编辑 王菊平49