第六章 自动控制基本原理.doc

第六章 自动控制基本原理
生产实践中，人们总是希望生产过程按人们的期望进行，而生产过程中会发生各种各样的变化，这些变化可能是人们所希望的，也可能是人们所不希望的。为了是生产过程按人们预期的方式进行，就需要对生产过程进行干预，从而按某种规律变化。这些干预可由操作人员按生产要求进行操作，这叫做人工操作。也可能由一些装置代替人们按一定规律对生产过程进行操作，则生产也能按要求进行下去。这叫做自动操作。
生产过程总是会受到各方面的影响，产生会发生各种各样的变化，人们希望生产过程受到影响之后还能按预先希望的那样，按某种规律变化。这种为抵抗干扰所做的干预可能是人为进行的，也可能是自动进行的。当人们发现生产过程偏离了预先期望，由人手工进行干预，这叫做人为控制。如果由检测装置检测生产过程状况，当生产过程偏离的预期状态，按预先设计好的控制策略，由某些装置进行自动干预，使得生产过程回到预期状态，这种控制方式为自动控制。
总结上面的描述，自动控制是利用一些装置替代人对生产过程进行干预，这种干预方式叫做生产过程的自动控制。
第一节 基本概念
一． 系统的概念
系统是一个比较模糊的概念。系统的基本定义可概括为：由若干个具有相互作用的环节构成一个系统。
环节是构成系统的单元，系统的单元也可能是一个子系统。一个系统也可能是一个大系统的环节。
具有相互作用是指环节之间具有某些信息联系。某种信息联系是指人们所关注的信息。不同的关注会构成不同的系统。例如某个固定的人群，在疾病防治人员眼里是疾病发生、传染与防治系统；在心理学家眼里是一个社会心理学系统；在管理学者眼里是一个人力资源管理系统。系统分析中强调的是环节间的信息联系。
关注点不同系统与环节之间关系也不同，某些场合下系统本身就是一个环节，而环节又可能是一个系统，所以系统与环节之间没有本质区别。在系统分析过程中，常常会将一个系统等效为一个环节，也可能对某个环节进行深入分析，此时该环节就演变为一个系统了。
二．开环控制与闭环控制
上面所介绍的这两种情况都是干预生产过程的方式，人工操作与自动操作是按一定规律对生产过程进行干预，而操作人员或操作装置不检查干预的结果。人为控制与自动控制则是根据生产过程偏离期望状态对生产过程进行干预。
例如煤气发生炉，根据生产要求，首先需要向炉子内鼓风，使得炉内温度升高，然后向炉子内通入水蒸汽使得炉内产生半水煤气。随着蒸汽的通入，炉内温度会下降，然后需要停止向炉内通入蒸汽，对炉子内部进行吹扫以便将炉子内部的半水煤气吹扫干净，再向炉子内部鼓风一提高炉温。接下来进入下一个循环。可以由操作人员直接操作生产设备上的阀门进行人工操作，也可以利用自动化设备对设备上的阀门进行自动操作。
这种操作可由图6．1-1的方块图来表示。
煤气发生炉
阀门
图6．1-1煤气发生炉操作示意方块图

该操作的特点是，操作人员按一定的时间规律进行操作，而并不穿插操作的结果。
还有另一类，例如生产过程中对储水槽内的水温进行控制。储水槽上有两条管道，一条是热水管道，一条是冷水管道。每条管道上都装有阀门。首先向储水槽内放一些冷水，然后打开热水阀门向里注入热水，根据储水槽内水温的情况，开大或关小热水阀门，直至水温符合要求为止。同样，可以由操作人员直接操作生产设备上的阀门进行人工操作，也可以利用自动化设备对设备上的阀门进行自动操作。
这种操作可由图6．1-2的方块图来表示。
储水槽
阀门
图6．1-2储水槽水温操作示意方块图
水温
观察

图6．1-2中操作人员观察储水槽水温，与期望数值进行比较，然后根据偏离期望数值的高低和大小，来判断是开大热水阀还是关小热水阀，需要开大或关小多少。如此循环往复，经过几个调整步骤之后，使水温达到期望数值。与图6．1-1方块图比较可知，操作人员对水温的观察会影响到操作人员对阀门的操作，对对阀门的操作影响水温，再进一步影响操作人员的操作。
观察图6．1-1和图6．1-2可以看出，图6．1-2中有一个封闭的环路，图6．1-1则没有环路。所以类似于图6．1-1所示的系统叫作开环系统，类似于图6．1-1所示的系统叫作闭环系统。如果将图6．1-1和图6．1-2中的操作人员换成自动化设备，则变为开环自动操作系统和自动闭环控制系统。
第二节 自动控制系统组成
自动控制系统是仿照人的控制方式工作的。人的控制方式是首先观察被控参数的情况如何，偏离了预先设定数值有多少。然后根据偏差的大小与正负，去改变其他参数使得被控参数重新回到预期数值。下面图6．1-3是人控制一个液位的示意图。
流入阀
流出阀
液位
操作员
图6．2-1 人控制液位示意图

根据图6．2-1，可以画出人控制液位的方块图，方块图如图6．2-2所示。
储水槽
入口阀门
图6．2-2储水槽液位人工控制方块图
液位
观察
比较
期望液位

采用自动控制器进行自动控制时，其示意图如图6．2-3所示。

流入阀
流出阀
液位
图6．2-3 液位自动控制示意图
给定液位

LC

根据图6．2-3，可以画出人控制液位的方块图，方块图如图6．2-4所示。
储水槽
控制阀
图6．2-4储水槽液位自动控制方块图
液位
检测
控制器
期望液位
—
``

储水槽液位自动控制采用一个自动控制器，将入口阀换为自动控制阀，用检测装置取代人对液位进行测量。与液位的人工控制相比较，检测装置相当于人的眼睛；自动控制器相当于人的大脑，对测量获得的液位信号进行比较判断，然后按一定的控制规律给出控制信号；自动控制阀相当于人的手，根据获得的控制信号自动调整流入流量。
由图可以看出，自动控制系统由五部分组成：
1） 被控对象。被控对象是生产装置上的相关设备。储水槽液位自动控制中为储水槽。被控对象有时也简称为对象。
2） 检测装置。可以是各种液位传感器或液位变送器。
3） 控制器。控制器可以是智能控制器，可编程控制器（PLC）等具体的确设备，也可以是计算机中的一个虚拟控制器。
4） 执行器。这里是一个自动控制阀。自动控制阀是根据作用其上的信号大小来改变流通能力的阀门。
储水槽
控制阀
图6．2-5储水槽液位自动控制方块图
液位
检测
控制器
期望液位
—
5） 各个部分之间的连线。这些连线表示的是各个部分之间的信息联系。连线具有方向性，表示出信号的传递方向。需要注意，连线方向不是物料或能量的流向。如果图6．2-3中通过改变水槽流出阀来控制液位，物料是流出水槽的，但是其方块图仍然是：

此时方块图中控制阀与储水槽之间的连线仍然是指向储水槽的。这表示流出阀的动作会影响到储水槽的液位。
图6．2-5中将系统的输出引回到系统的输入端，从而影响系统的输入，具有这样的结构叫做反馈。如果反馈回来的信号增强了系统的输入叫作正反馈，如果反馈回来的信号减弱了系统的输入叫作负反馈。反馈结构是自动控制系统最基本的结构，从系统论的观点来看，正反馈系统是不稳定系统，负反馈系统在一定条件下是稳定系统。所以自动控制系统绝大部分是负反馈系统。
第三节 对象特性与数学模型
一．被控对象特性
自动控制系统中的被控对象是多种多样的，其特性也是千差万别。例如一个截面积比较小的水槽，其液位对流入量的反应就比较快，截面积大的水槽，对相同的流入量反应就比较慢。再比如对应出口阀门开度小的水槽，单位流入量的改变所能改变的液位高度变化，就比出口阀门开度大时改变液位高度要大。这在自动控制中关系到被控对象的各种输入对被控参数的影响方式和程度如何的问题。显然有必要对被控对象的这些特性进行深入的研究。
过程工业中，特别是在石油、化工等生产领域，需要用到许多换热器、反应器、流体输送设备精馏塔等。这些设备中，物料通常是以气态或液态在设备及管路中连续流动的，物料的温度、压力、液位、流量、组分等状态是随时间变化而连续变化的。
对于过程中的各个单元，有些可能比较好操作，反应比较灵敏；有些可能比较难操作，反应比较迟钝。这些设备操作的难易程度如何，是自动化人员所关心的内容。为此首先应当搞清楚被控对象的这些特性。这种采用数学方法描述对象输入/输出关系的数学公式就是该对象的数学模型。
需要注意，
1） 对应于一个特定的对象，不同输入/输出关系所对应的数学模型是不同的。
2） 用于自动控制数学模型可能与其他专业（工艺的、设备的）的数学模型不尽相同。
3） 描写输入/输出静态（稳定之后）关系的叫做静态数学模型；描写输入/输出动态关系的叫做动态数学模型。
4） 控制用数学模型是在设备大小、结构、内部填充等条件决定之后，经过分析所得出的模型。一旦这些条件变化则数学模型也要发生变化。
二． 被控对象的数学模型
建立对象的数学模型，其目的主要以下几个方面：
1） 设计更合理的控制方案。对被控对象的深入分析了解，全面掌握其特性，对于设计控制方案是非常重要的。例如选择被控变量、选择控制变量（操纵变量）、控制系统的结构形式等，这些都需要了解掌握对象特性。
2） 便于控制系统调试与控制器参数整定。设计好控制系统之后，配合生产过程开车，需要对控制系统进行调试。生产过程开车结束之后，还需要整定控制器参数，以便获得最佳的控制质量。
3） 制定生产过程的优化方案。生产过程优化的目的是使生产过程工作在最佳点上以获得最佳效益。因此需要掌握生产对象的数学模型。
4） 先进控制方案及控制算法的确定。例如预测控制、推理控制、动态补偿等，这些控制方案及控制算法都需要掌握对象的数学模型。
5） 通过计算机仿真技术，实现对生产对象的模拟仿真。采用模拟仿真技术可以离线训练生产过程操作，即可重复操作，又可避免对生产过程的干扰。对生产对象的模拟仿真需要掌握生产对象的数学模型。
6） 故障检测与故障诊断。过程工业的特点是相互关联严重，对象滞后比较大。因此一点出现异常就会影响上游、下游生产设备，出现异常现象的生产点不一定就是故障的起因。通过对生产对象的数学分析，可检测出故障点，从而诊断出故障原因。分析过程就需要生产对象的数学模型。
对于线性集中参数对象，通常可用常系数线性微分方程来描述，如 用x（t）表示对象的输入；用y（t）表示对象的输出，则对象特性可用：
（6—1）
过程工业对象动态特性通常忽略输入的各阶导数项，即：

建立对象的数学模型常用的有两种方法，一种是根据对象的特点和规律，通过深入分析，利用数学的方法来建立对象数学模型，这种方法叫做机理模型。另一种方法是实验方法。首先在对象稳定工况下，人为的改变某个参数，记录对象的输出参数，根据经验大致估计对象数学模型的类型，然后通过数据处理的方法，确定数学模型中的一些待定系数。
这两种方法各有优缺，对象的机理模型比较精确，但对复杂对象难以实现，特别是一些非线性、时变性、分布参数对象，通过详细的机理分析来建立对象数学模型非常困难。实验模型的方法是建立在测试基础上的，有些经验因素在里边。如果数据处理方法得当，也可获得符合精度要求的对象数学模型。还有一种将这两种方法结合，即采取一定的机理分析，也采取一些经验估计的方法。该方法的重点是采取一些近似方法，忽略一些次要因素，通过适当的数据处理，最后获得符合精度要求的对象数学模型。
1．机理模型
下面我们来举一些具体的例子。
例题1：RC电路特性：
R
ui
uo
C
图6．3-1 RC电路原理图

i
uR
uC
下面图6．3-1是一个RC电路原理图。图中R为电阻，C为电容，ui为输入电压，ui为输出电压。

根据克希霍夫第二定律可知，回路电压降之和为零。因此可有：

根据欧姆定律：
（6—2）
由图6．1-8可知
uC=uo
因此：
（6—3）
公式（6—3）除了输入电压ui和输出电压uo之外，还有一个电阻上的电压降uR。应当根据物理规律找出uR与电压uo之间的关系，从而消除中间变量。根据电学知识，电流是电量q随时间的变化量，即：

在图6．3-1中，流过电阻R的电流即为电容C的充电电流，而电容上电量q的改变与电容上所建立的电压有关系，其关系式为：
（6—4）
将公式（6—4）代入到公式（6—2）中，可得：
（6—5）
将公式（6—5）代入到公式（6—3）中，整理可得：
（6—6）
在分析对象特性过程中，更多是关心变化量之间的关系，而对稳定状态下的各个量往往不太感兴趣。为了关注变化量之间的关系，对公式（6—6）做增量化处理。假定在时间t=0之前该电路是稳定的，即电路中各个参数都不随时间变化而变化。则称这些恒定不变的量为稳态值或初始值。记ui=ui0，uo=uo0。假定在t=0时刻，输入电压产生一个变化记为Δui，则相应的输出电压也会发生变化，记为Δuo。则公式（6—6）可改写为：
（6—7）
而电路稳定状态下的方程为：
（6—8）
用公式（6—7）减去公式（6—8），则有：
（6—9）
公式（6—9）就是描写RC电路的微分方程。这是一个常系数、线性、一阶微分方程。对方程（6—9）求解，可得到输出电压变化量Δuo与输入电压变化量Δui的时间对应关系。假定在时间t=0时，输入电压变化量Δui=A。方程（6—9）的解为：
（6—10）
令RC=T，称为该RC电路的时间常数。
下面图6．3-2是图6．3-1 RC电路输入电压化量Δui与输出电压变化量Δuo的曲线关系。时间常数T大小不同，曲线的变化也不同。从图中可知，T越大曲线变化越慢，达到稳定值的时间越长。
Δui
Δuo
t
t
0
0
图6．3-2 RC电路输入电压化量Δui与输出电压变化量Δuo的曲线关系
T1

T3
T2
T1＜T2＜T3

A

例题2：储水槽对象特性：
Qi

Qo

图6．3-3 液位对象示意图

图6．3-3为储水槽示意图。图中Qi为流入流量，Qo为流出流量，h为液位高度。假定分析液位高度h与流入流量Qi的关系。根据物料守衡原理可知，流入储水槽的水量减去流出储水槽的水量等于储水槽中水的增加量，既：

用数学公式表示，即：
（6—11）
式中F为储水槽的截面积。
对该式进行整理可得：
（6—12）
公式（6—12）中除了液位高度h和流入流量Qi之外，还出现了第三个变量Qo，因此必须找出Qo与液位h的关系，然后代入到公式（6—12）中，以求消去第三个变量Qo。
对于液位槽流出流量Qo，根据流体力学原理可有：
（6—13）
式（6—13）中：
A：流出管道接管截面积；
ξ：流出阀的流动阻力系数，与节流面积有关；
γ：流体重度；
g：重力加速度。
将公式（6—13）代入公式（6—12），则：
（6—14）
考虑变化量之间的关系。假定在时间t=0之前储水槽是稳定的，即储水槽上各个参数都不随时间变化。记Qi=Qi0，Qo=Qo0。假定在t=0时刻，流入流量发生一个变化记为ΔQi，则相应的流出流量也会发生变化，记为ΔQo。则公式（6—14）可改写为：
（6—15）
稳定状态下公式（6—14）为：
（6—16）
用公式（6—15）减去公式（6—16），则有：
(6—17）
公式(6—17）可改写为：
(6—18）
公式(6—18）中的一项是非线性项。可在工作点附近做线性化处理。假定液位工作点为hS，在该点做Qo对h的导数：
（6—19）
带入公式（6—18）中，则有：
（6—20）
令，对公式（6—20）两端乘以R，可得：
（6—21）
令RF=T，R=K，则式（6—21）变为：
（6—22）
这个近似结果是一个标准的一阶线性对象特性。
公式（6—22）就是描写储水槽的微分方程。这是一个常系数、线性、一阶微分方程。对方程（6—22）求解，可得到液位变化量Δh与流入流量变化量ΔQi的时间对应关系。假定在时间t=0时，流入流量变化量ΔQi=A。方程（6—22）的解为：
（6—23）
图6．3-4是图6．3-3 储水槽流入流量变化量ΔQi与液位变化量Δh的曲线关系。
将公式（6—23）与公式（6—10）相比较，可以发现两个公式形式是一样的，曲线的形状也一样。所不同的是RC电路中放大倍数K=1储水槽的放大倍数K不等于1，其数值等于储水槽流出口阀门的阻力。也就是说，对应于同一个流入流量变化量，储水槽流出口阀门的阻力越大，液位的最终稳定高度越高。这与现实情况也吻合的。
ΔQi
Δh
t
t
0
0
图6．3-4 储水槽流入流量变化量ΔQi与液位变化量Δh的曲线关系
T1

T3
T2
T1＜T2＜T3
A
KA

例题3：直流它激电机特性

J f
Ra
ua

eb
ia

La
Mm
ML
f

ωm
θm
图6．3-5 直流它激电机原理图

图6．3-5中：
ua：电枢电压；
ia：电枢电流；
Ra：电枢电阻；
La：电枢电感；
eb：电枢反电势；
Mm：电机电磁转矩；
ωm：电机角速度；
ML：负载转矩；
J：转动惯量；
f：摩擦系数。
根据电学原理和电机原理，可知电机的电枢电压平衡方程为：
（6—24）
（6—25）
根据电学原理和电机原理，可知电机的力矩平衡方程为：
（6—26）
（6—27）
公式（6—24）到公式（6—27）是图6．3-5 直流它激电机特性的微分方程组，将这些方程联立，整理可得：
（6—28）
公式（6—28）描述的是直流它激电机的角速度与电枢电压及负载转矩的关系。由该公式可知这是一个二阶线性微分方程。影响电机角速度的因素有两个，即电枢电压和负载转矩。
如果电机空载运行，则负载转矩趋向于零，公式（6—28）可改写为：
（6—29）
公式（6—29）两端除以，则公式（6—29）变为：
（6—30）
令，，
TD叫做电机的机电时间常数，TM叫做电机的电枢回路电气时间常数，K叫做电机的放大倍数。则公式（6—30）变为：
（6—31）
同样，当电机运转平稳时，如果电枢电压发生改变，电机转速也会发生变化，如果只考虑变化量之间的关系，可仿照上面的例题1和例题2对公式（6—31）做增量化处理，其结果是：
（6—32）
对公式（6—32）求解可得电机电枢电压变化量与电机转速变化之间的关系。由于（6—32）是一个二阶线性微分方程，根据方程中的系数不同其解也会呈现出不同的情况。图6．3-6是该方程解的几种可能情况。
图6．3-6中曲线1是非振荡过程，曲线2是一个衰减振荡过程，这两个过程都是稳定过程，曲线3是一个发散振荡过程，这是一个不稳定过程。
总结上面三个例题，建立机理模型的步骤是：
1）首先根据对象的内在规律建立起基本的平衡关系，例如能量平衡关系、物料平衡关系。然后采取数学分析的方法，得出微分方程；
2）对微分方程进行增量化处理，得出变化量之间的关系。如果是非线性方程，则在工作点附近做线性化处理。注意，线性化是在工作点附近一个小的区域内的近似。如果工作点变化比较大则产生的误差就比较大；
3）将方程两侧除以零次导数相的系数，整理得出微分方程的标准形式；
4）对微分方程求解，得出输入、输出的时间函数。
有时对象的内在机理比较复杂，详细分析比较困难。这时可采用实验的方法得出对象的数学模型。
2．实验模型
实验模型是一种建立在实验基础上的近似模型。如果处理的好，也可以满足一定的精度要求，用在控制系统设计分析、参数整定，乃至于优化等方面，也能取得不错的效果。现在以例题1中的液位对象为例，说明实验模型的实验过程和数据处理过程。
首先经过操作使得液位稳定在工作点上。然后将流入流量增加一个幅度为A的增量。观察、记录液位的变化。得到一个数据表或一条曲线。这个结构如图6．3-7所示。观察曲线可知，该对象特性为一阶特性。一阶特性的数学模型是一个一阶线性微分方程。方程中有两个参数，一个是时间常数T，一个是放大倍数K。如果能够从结果曲线上获得这两个参数，就可直接写出该微分方程了。

ΔQi
Δh
t
t
0
0
图6．3-7 储水槽流入流量变化量ΔQi与液位变化量Δh的曲线关系
T

A
KA

0.632 KA

Δh（∞）
ΔQi（∞）

1）放大倍数K
用液位曲线的稳定值除以流入流量变化幅度，所的结果即为该对象的放大倍数，即：
（6—33）
可用公式（6—23）加以解释，储水槽流入流量发生变化之后的时间函数如下：

如果流入流量发生一个幅度为A的变化，液位就会按公式（6—23）变化，当时间足够长之后，公式中指数项趋向于零，既：

即： ，又知道流入流量变化为幅度A，则有
2）时间常数T
当液位变化到稳定值的63．2%时，所对应的时间值即为时间常数T。
由公式（6—23）可知当时间等于时间T时，公式（6—23）变为：

时间常数的估算还有一个图解法，既做液位变化曲线零点的切线，相交于液位的稳定值，其交点所对应的时间即为时间常数。
可以对公式（6—23）求导，得出零点的导数，既：

以此为斜率做直线相交于液位稳定线，既：
（6—34）
从公式（6—34）不难看出，交点所对应的时间必为时间常数T。
图图6．1-14中的对象特性是没有纯滞后的一阶特性。所谓纯滞后是指对象的输入发生变化，要经过一段时间才会影响到输出。这多半是由于输送、传输等问题所引起的。如果无纯滞后的特性为y=y（t），假定对象的纯滞后时间为τ，带有纯滞后的特性为y=yt-τ）。对于一阶对象来说，无纯滞后的特性为：

则带有纯滞后的特性为：

这相当于对象的输出曲线向t正方向平移了τ个时间。
下面是一个带有纯滞后的二阶特性曲线。

Δx
Δy
t
t
0
0
图6．3-8 带有纯滞后的二阶特性曲线关系
A
KA
τ

T

从图6．3-8可以看出，当输入在t=0时发生变化，输出要经过t=τ后才发生变化。一般将这样的对象特性近似为一阶带纯滞后系统。具体做法是在曲线拐点上做切线，相交于输出稳定值所对应的时间值减去τ即为对象的时间常数。放大倍数的获取与没有纯滞后的情况一样。纯滞后时间可直接从图上读取。
综合对象机理模型和试验模型可得出结论，
1） 对象特性有线性特性和非线性特性之分。在变化不大的情况下非线性特性经过线性化之后，可近似为线性特性；
2） 对象特性所描述的是变化量之间的关系；
3） 对象特性有三种参数，即放大倍数K、时间常数T和纯滞后时间τ；
4） 放大倍数K和纯滞后时间τ各有一个参数，而时间常数T根据阶次的不同其数量也不同；
5） 一般可将高阶对象特性近似为一阶加纯滞后特性。
采用微分方程表示对象特性时，需要根据物料平衡、能量平衡条件来列写出若干关系，然后对这些关系进行整理，然后对微分方程求解才能获得时间函数，而这个求解过程是比较复杂的，特别是当对象关系复杂时，直接求解是非常困难的，为此自动化领域中更多是采用传递函数与方块图的表示方法。
第四节 传递函数与方块图
传递函数是控制系统使用最多的一种分析方法。有了传递函数概念，就可利用方块图来描述系统，可以很直观的观察系统的结构。所以传递函数与方块图是控制系统分析的最基本，最常见的工具。
一． 传递函数
根据第三节对象特性与数学模型的描述，作用在环节上的输入信息，其影响环节输出过程有响应快慢、数值大小、延迟时间等特征。传递函数是描写输入信息传递到输出信息的方式。传递函数的定义：系统输出的拉氏变换[注1]与系统输入拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。有了传递函数，就可以用一个方块来表示这个环节。
仍然以第三节中的三个例题为例。
例题1中的RC电路。经过前面的分析已经得出，其微分方程为：

对两端取拉氏变换，则有：

根据定义

例题2中的储水槽。其经过线性化的机理模型为：

对两端取拉氏变换，则有：

根据定义

例题3中的直流它激电动机。其机理模型为：

对两端取拉氏变换，则有：

根据定义

通过上面三个例子可以看出，当时间常数为零时，传递函数就变为放大倍数了。因此可以将传递函数看作是放大倍数的扩展，或者说放大倍数是传递函数的一个特例。
有了环节的传递函数，就可以采用方块图来表示这个环节了。
二． 方块图
1． 环节的方块图表达
用一个方块来表示一个环节，中间用传递函数表示输入、输出的传递过程。那么例题1可表示为：
注1：拉普拉斯变换（Laplace Transform）又称为拉氏变换，是积分变换的一种。在系统分析中常采用拉氏变换方法将时域的微分方程变换为复域的代数方程，整理综合之后，再利用反拉氏变换求解出微分方程的解。详细内容请参考相应的教科书，附录中有关于拉氏变换的简单介绍和常用定理。

Uo（s）

图6．4-1 RC电路方块图

例题2可表示为：

H（s）
Qi（s）
图6．4-2 储水槽方块图

例题3可表示为：

Ua（s）
Ω（s）
图6．4-3 直流它激式电动机方块图

有了环节的基本表达，就可以利用方块图的规则进行化简，然后求得系统的整体传递函数。
2． 方块图等效变换规则
1） 方块图串联
设有n个环节，其传递函数分别为G1，G2，……Gn，如图6．4-4所示。
G1

G2
Gn
X（s）
Y（s）
图6．4-4 方块图串联图
……

设环节1的输出为Y1，环节2的输入为X2，输出为Y2，依此类推；根据图图6．44可以知Y1既为X2，且有Y1= X1G1= X2，Y2= X2G1= X1G1G2=X3，依此类推可得：
（6—35）
根据公式（6—35），串联环节的等效变换为：

X（s）
Y（s）
图6．4-5 串联环节等效方块图

图6．4-5既为串联环节等效方块图。
2） 方块图并联
设有n个环节，其传递函数分别为G1，G2，……Gn，如图6．4-6所示。

G1

G2
Gn
X（s）
Y（s）
图6．4-6 方块图并联图
……

根据图图6．4-6可以知：
（6—36）
根据公式（6—36），并联环节的等效变换为：
Y（s）
X（s）

图6．4-6 并联环节等效方块图

图6．4-6既为并联环节等效方块图。
3） 综合点移动
（1）无环节移动

X（s）
X1（s）
X2（s）
Y（s）
图6．4-7 综合点无环节移动等效方块图
X（s）
X1（s）
Y（s）
X2（s）

因为Y（s）=X（s）+ X1（s）+ X2（s）= X（s）+ X2（s）+ X1（s），所以可任意移动。
（2）跨环节移动
X（s）
X1（s）
Y（s）
G（s）
X（s）
X1（s）
Y（s）
G（s）
G（s）
图6．4-8 综合点跨环节前移等效方块图
a. 综合点前移

根据图6．4-8可知，Y（s）=G（s）[X（s）+ X1（s）]= G（s）X（s）+ G（s）X1（s）
b．综合点后移
X（s）
X1（s）
Y（s）
G（s）
X（s）
X1（s）
Y（s）
G（s）
1/G（s）
图6．4-9 综合点跨环节后移等效方块图

根据图6．4-9可知，Y（sG（s）X（s）+ X1（s）= G（s）[X（s）+ X1（s）/G（s）]
4） 分支点移动
（1）无环节移动

X（s）
Y1（s）
Y2（s）
Y（s）
图6．4-10 分支点无环节移动等效方块图
X（s）
Y1（s）
Y2（s）
Y（s）

因为Y（s）=X（s）+ X1（s）+ X2（s）= X（s）+ X2（s）+ X1（s），所以可任意移动。
（2）跨环节移动
X（s）
X1（s）
Y（s）
G（s）
X（s）
X1（s）
Y（s）
G（s）
1/G（s）
图6．4-11 分支点跨环节前移等效方块图
a. 分支点前移

根据图6．4-11可知， X（s）= X1（s）=Y（s）/G（s）
b．综合点后移
X（s）
X1（s）
Y（s）
G（s）
X（s）
X1（s）
Y（s）
G（s）
G（s）
图6．4-12 跨环节后移等效方块图

根据图6．4-12可知， X1（s）=Y（s）= G（s）X（s）。
X（s）
Z
Gc（s）
Y（s）
Go（s）
Gv（s）
图6．4-13 综合点跨环节前移等效方块图
Gm（s）
E
±
5） 反馈系统

反馈系统可以等效为一个环节，传递函数称为该系统的闭环传递函数，记为Φ（s）：
（6—37）
公式（6—37）中分子乘积项叫做前向传递函数，Gm叫做后向传递函数，分母中的乘积项叫做系统的开环传递函数。有时经过简化，用G（s）表示前向传递函数，用H（s）表示后向传递函数则公式（6—37）可表示为：
（6—38）
需要注意反馈综合点处的符号。如果是正反馈系统，分母是1—G（s）H（s），如果是负反馈系统，则分母是1+ G（s）H（s）。
根据图6．4-13则有：
Y（s）=E（s）Gc（s）Gv（S）Go（s） （6—38）
E（s）=X（s）±Y（s）Gm（s） （6—39）
将公式（6—38）和（6—39）联立，就可解出系统的总传递函数。
第五节 控制系统稳定性分析及评价指标
一． 控制系统稳定性分析
控制系统的稳定性是至关重要的，一个控制系统，首先应当是稳定的，如果控制系统不能稳定的控制被控参数，则该系统是一个失败的控制系统。控制系统稳定与否，取决于控制系统的结构、被控对象的特性、控制策略与控制器参数。某些控制系统的稳定与否还与系统的工作点、输入作用的大小和形式有关系。
1． 系统稳定性定义
系统稳定的定义：系统受到扰动，当扰动消失之后，随时间的延续，系统可以回复到初始状态，则系统是稳定的，否则系统就是不稳定的。
2． 系统的过渡过程
系统的过渡过程是指系统从一个稳定状态向另一个稳定状态的过渡过程。系统的外部输入发生变化之前，系统内部的所有参数都保持不变。此时称系统处于稳定状态。某一时刻系统外部输入发生变化，系统开始运动，其内部参数也随之发生改变，经过一段时间之后，如果系统重新稳定下来，则称该系统的稳定的。如果系统不能稳定下来，则称系统是不稳定的。从一个稳定状态向另一个稳定状态的过渡过程叫做系统的动态过程。这个过程中的系统叫做系统的动态。系统的稳定状态有时也叫做系统的平衡点。
研究系统的过渡过程主要是研究稳定系统的过渡过程，因为系统如果不能稳定，研究其过渡过程是没有实际意义的。
系统稳定性分析有很多种方法，例如根轨迹法、频率特性法、状态空间法等。下面以根轨迹法对系统稳定性进行分析。
3． 系统的稳定条件
如果已知一个闭环系统的微分方程，对其求解就可获得时间函数，当时间趋向于无穷大时候，函数变化量趋向与零则系统是稳定的，如果不能则系统是不稳定的。根据控制原理可知，系统的时间函数既为系统微分方程的解，如果能够找出该解收敛性的条件，就可以判定系统是否稳定。根据拉氏变换原理，在求解微分方程时，只要知道系统闭环传递函数的特征方程的解就能够判定系统的稳定性。
设系统数学模型为：

（6—40）
对公式（6—40）两端取拉氏变换，可得：

将该公式简写为：
（6—41）
公式（6—41）中D（s）为系统的特征式或输出端算子式，M（s）为输入端算子式，M0（s）与系统的初始状态有关的多项式，Y（s）为系统的输出，X（s）为系统的输入。
根据公式（6—41）可得系统的输出为：
（6—42）
设系统特征方程D（s）=0有n个互异特征根si（i=1，2，。。。。。。n），则：

系统输入X（s）有l个互异极点srj（j=1，2，。。。。。。l），既X（s）的分母为。则公式（6—42）可展开为：
（6—43）
公式（6—43）Ai、Bj、Ci为待定常数。
对公式（6—43）进行反拉氏变换，可得时间响应为：
（6—44）
公式（6—44）中第一项和第二项为零状态响应（第二项也称为稳态分量，其变化规律由输入作用决定），第三项为零输入响应。
系统的稳定是指去掉扰动之后，系统恢复到原始状态。显然这是由零输入响应所决定的。对于线性系统来说，输出y（t）是指对原工作点的变化量，系统稳定就意味着随时间的延续第三项趋向于零。因此，系统稳定又可表述为：
（6—45）
公式（6—45）等于零就意味着：
（i=1，2，。。。。。。n） （6—46）
公式（6—46）成立的条件显然有特征根si决定。
特征根si有两种情况，一种是实数根，一种是复数根。对于实数根，假定si=σi，则公式（6—46）有：
（6—47）
对于共轭复数根，假定si=σi±jω，则有解分量为：

则公式（6—46）有：
（6—48）
综合公式（6—47）和（6—48）可得出结论，系统所有特征根的实部为负，或系统所有特征根都位与复平面的的左面。即：
（i=1，2，。。。。。。n） （6—49）
Res（si）
Img（si）j
0
稳定区域
不稳定区域
稳定区域
不稳定区域
图6．4-14 根平面稳定区域
下面是根平面的情况