求变力做功 文档 (5).doc

高三物理第一轮复习教案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第八章机械能
求变力做功的几种方法

　　功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下：

一、等值法
　　等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。
　　 1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
　二、微元法
　　当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
　　　 例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：
　 A　 0焦耳　 B　 20π焦耳
　 C 10焦耳　 D　　 20焦耳
三、平均力法
　　如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。
　　例3、一辆汽车质量为105千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100米时，牵引力做的功是多少？
四、图象法
　　如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F—x图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。
例如：对于例3除可用平均力法计算外也可用图象法。

例6.长度为，质量为的均匀绳，一段置于水平的光滑桌面上，另一段垂于桌面下，长为，求从绳开始下滑到绳全部离开桌面，重力所做的功。

例题3：用锤子把钉子钉入木块中，设锤子每次打击时，锤子对钉子做的功均相同，钉子进入木块所受到的阻力跟钉入的深度成正比。如果第一次被打入木块的深度为2Cm。求第二次打击后可再进入几厘米？

五、能量转化法求变力做功
　　功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功。
　　1、用动能定理求变力做功
　　动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达式是W外=ΔEK，W外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
　　例4、如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

例]如图所示，把一小球系在轻绳的一端，轻绳的另一端穿过光滑木板的小孔，且受到竖直向下的拉力作用．当拉力为F时，小球做匀速圆周运动的轨道半径为R．当拉力逐渐增至4F时，小球匀速圆周运动的轨道半径为R／2．在此过程中，拉力对小球做了多少功?

　 例5、如图5所示，质量m为2千克的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5米/秒的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，求弹簧的弹力对物体所做的功。

　　例题6：（89年全国高考） 一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移到Q点，.如图5所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F所做的功为：（ ）

　　2、用公式W=Pt求变力做功
　　例7、质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大。

课后训练题
[例]质量为m的汽车在平直公路上以初速度v0开始匀加速行驶，经时间t前进距离s后，速度达最大值vm，设在这段过程中发动机的功率恒为P，汽车所受阻力恒为f，则在这段时间内发动机所做的功为：
A、Pt B、fvMt
C、fs+mvm2/2 D、mvm2/2-mv02/2+fs

1、如图所示，质量为2ｋｇ的物体从Ａ点沿半径为Ｒ的粗糙半球内表面以10ｍ／ｓ的速度开始下滑，到达Ｂ点时的速度变为2ｍ／ｓ，求物体从Ａ运动到Ｂ的过程中，摩擦力所做的功是多少?

2、一条长链的长度为ａ，置于足够高的光滑桌面上，如图所示．链的下垂部分长度为ｂ，并由静止开始从桌上滑下，问：当链的最后一节离开桌面时，链的速度及在这一过程中重力所做的功为多少?

3、如图所示，一人用定滑轮吊起一个质量为Ｍ的物体，绳子每单位长的质量为ρ，试求人将物体从地面吊起高度为Ｌ的过程中所做的最小功．

4、质量为5×105ｋｇ的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0．06倍，机车经过5ｍｉｎ速度达到最大值108ｋｍ／ｈ，求机车的功率和机车在这段时间内所做的功．

5、用锤子把铁钉打入木块中，设每次打击锤子时给铁钉的动能相同，铁钉进入木块所受的阻力跟打入的深度成正比．如果钉子第一次被打入木块的深度为2ｃｍ，求第二次打入的深度和需要几次打击才能将铁钉打入4ｃｍ深处．

6、将一根水平放置在地面上的长为6ｍ、质量为200ｋｇ的粗细均匀的金属棒竖立起来，至少要做多少功（设所施加的力始终垂直于棒）?

，

（答案：ABD）

Q
θ
L
P
F
图5
O

五、用功能原理求变力做功
功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。

例题5：如图4所示，置于水平面的平行金属导轨不光滑，导轨一端连接电阻R，其他电阻不计，垂直于导轨平面有一匀强磁场，磁感应强度为B，当一质量为m的金属棒ab在水平恒力F作用下由静止向右滑动时：（ ）
图4
A.外力F对ab棒做的功等于电路中产生的电能；
B.只有在棒ab做匀速运动时，外力F做的功才等于电路中产生的电能；
C.无论棒ab做何运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能；
D.棒ab匀速运动的速度越大，机械能转化为电能的效率越高。
解：在导体棒的运动过程中外力做的功，用来克服由于发生电磁感 应而产生的感应电流的安培力的那一部分转化为电能，又因为有摩擦，还需克服摩擦力做功，转化成内能.所以A、B错，C对；又当匀速运动时，由能量转化的观点，可知：
v,B、l、F、R一定，所以η ∝v,即v越大η越大，D对.，故C、D正确.。

例题7：质量m为2千克的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5米/秒的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，求弹簧的弹力对物体所做的功。(g=10m/s2)
分析：对于弹簧和物体组成的系统而言，只有重力和弹簧的弹力做功，全过程中，机械能守恒。而弹力做的负功等于弹簧的弹性势能的增量。
解：假设B为参考点，由机械能守恒定律可知：
EA=EB 即：E弹
弹力做功W弹=-125J

　　例3、一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的。在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好触及水面，如图所示。现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动。已知管筒半径r=0.100m，井的半径R＝2r，水的密度ρ＝1.00×l03kg/m3，大气压p0＝1.00×105Pa。求活塞上升H＝9.00m的过程中拉力F所做的功。(井和管在水面以上及水面以下的部分足够长。不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g=10m/s2。)

　　[分析与解答]
　　从开始提升到活塞升至内外水面高度差为的过程中，活塞始终与管内液体接触。（再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论。）设活塞上升距离为h1，管外液面下降距离为h2，如图所示。

　　h0=h1+h2　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 …………①

　　因液体体积不变，有 … …②

　　得 　　　　　 …………③

　　题给H=9m＞h1，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程。

　　活塞移动距离从零到h1的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力外其他所做的功。因为始终无动能，所以机械能的增量也就等于重力势能增量，即 …………④

　　其他力有管内、外的大气压力和拉力F。因为液体不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功p0π(R2-r2)h2-p0πr2h1=0，故外力做功就只是拉力F做的功，由功能关系知　 W1=ΔE…………⑤

　　即： … …⑥

　　活塞移动距离从h1到H的过程中，液面不变，F是恒力F=πr2p0，做功

　　W2=F(H-h1)=πr2p0(H-h1)=4.71×103J　　　　　 ……⑦

　　所求拉力F做的总功为　 W1+W2=1.65×104J　　　　……⑧

　　事实上，在活塞上升距离为h1，管外液面下降距离为h2的过程中，作用在活塞上的拉力F始终等于活塞以下、水面以上的水的重力，于是有：
　　　　当活塞上升距离为h1＞7.5m后，拉力F恒定，所以拉力F随活塞上升距离s的变化图线如图所示。
　　于是，图线围成的面积表示拉力F做的功W。

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