(极坐标与直角坐标方程).ppt

目标在哪？在以为X轴以为Y轴，坐标是.算的太慢了！以立新街为X轴以大桥东路为Y轴请问：去融安二中怎么走？以立新街为X轴以大桥东路为Y轴脑子进水了？以立新街为X轴以大桥东路为Y轴精神病！从这向北向东南方向3000米。请问：去融安二中怎么走？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东南走3000米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。XO极坐标系内一点的极坐标的规定XOM对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从OX到OM 的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。题组一:说出下图中各点的极坐标平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。想一想？点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的其他表达式。思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角题组二:在极坐标系里描出下列各点:ABCDEFGOX极坐标系下点与它的极坐标的对应情况1给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。2给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)一般地,若(,)是一点的极坐标,则(,+2k)、都可以作为它的极坐标.如果限定0,02或,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.2.在极坐标系中,与(,)关于极轴对称的点是()A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)AB题组三 1.在极坐标系中，与点 (3,)重合的点是()A.(3,)B.(3,)C.(3,)D.(3,)平面内的一个点的直角坐标是(1,)这个点如何用极坐标表示?Oxy在直角坐标系中,以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相同的长度单位点M的直角坐标为设点M的极坐标为(,)极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)极坐标是(,)x=cos,y=sin 互化公式的三个前提条件：1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴 重合;3.两种坐标系的单位长度相同.例1.将点M的极坐标 化成直角坐标.解:所以,点M的直角坐标为已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。例2.将点M的直角坐标 化成极坐标.解:因为点在第三象限,所以因此,点M的极坐标为练习:已知点的直角坐标,求它们的极坐标.思考：在平面直角坐标系中1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为 x=3x=32、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_x=a特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标与之间的关系，然后列出方程(,)=0，再化简并讨论。怎样求曲线的极坐标方程？例题1：求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。oMx分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是 ，其极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为1、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。易得思考：2、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为或例题2:求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点为直线L上除点A外的任意一点，连接OMoxAM在 中有 即可以验证，点A的坐标也满足上式。求直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；2、设点 是直线上任意一点；3、连接MO4、根据几何条件建立关于 的方程,并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。练习：设点A的极坐标为A ,直线 过点A且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。解：如图，设点为直线 上异于的点连接OM，oMxA在 中有 即显然A点也满足上方程。例题3设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。oxMP解：如图，设点点P外的任意一点，连接OM为直线上除则 由点P的极坐标知 由正弦定理得显然点P的坐标也是它的解。设直线 与极轴交于点A。则在直线的几种极坐标方程1、过极点2、过某个定点，且垂直于极轴3、过某个定点，且与极轴成一定的角度探究如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xC(a,0)OMA=2acos 例1已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？C(r,0)xOM=r练习练习1 1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程（）中心在极点，半径为；（）中心在极点，半径为；（）中心在（）中心在（，），半径为），半径为；（）中心在（）中心在（，2），半径为），半径为；2-2acos 2asin 极坐标方程分别是cos和 sin的两个圆的圆心距是多少 练习2参数方程的概念：如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？xy500o参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。一般的，在平面直角坐标系中，如果曲一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标线上任意一点的坐标x x，y y都是某个变数都是某个变数t t的的函数，即函数，即 并并且对于且对于t t 的每一个允值，的每一个允值，由方程组由方程组 所确定的点所确定的点M(x,y)M(x,y)都在这条都在这条直线上，那么方程组直线上，那么方程组 就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系，联系x x，y y 之间关系的变数叫做之间关系的变数叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。相对于参数方程来说，直接给出点的坐相对于参数方程来说，直接给出点的坐标间关系的方程叫做标间关系的方程叫做普通方程普通方程。rxyop0po1oxyr练习:如图，已知点P是半径是2的圆O上的一个动点，点Q是x轴上的定点，坐标为（6，0）.当点P在圆上运动时,线段PQ的中点M的轨迹是什么?PxyOQMPxyOAM解:设点M的坐标是(x,y).因为圆O的参数方程为所以 可设点P的坐标为(2cos ,2sin ).由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为参数方程和普通方程 的互化（1普通方程化为参数方程需要引入参数如：直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程（t为参数）在普通方程xy=1中，令x=tan,可以化为参数方程 （为参数）（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程如：参数方程消去参数可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数t,（x0）注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.例:把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？例:椭圆 的参数方程为：练习:1.把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程（口答）。练习（1）当参数R时，化为普通方程是_.（2）当参数0，时，化为普通方程是_.（1）(x-1)2+(y+3)2=4；4、在参数方程中，练习:（2）(x-1)2+(y+3)2=4,(y-3).5、曲线y=x2的一种参数方程是（）.注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.分析:发生了变化，因而与 y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都抛物线的参数方程抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)普通方程参数方程引入参数消去参数小结