1、 高二下学期（理科）提优练习5
班级 姓名
1. 已知某圆的极坐标方程为，求：
（1）圆的普通方程和参数方程；
（2）圆上所有点中的最大值和最小值.
（1）为参数）； ………………………7分
（2）. ………………………14分
2.已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线与曲线交于两点．求证：．
3.已知的展开式记为R，（）的展开式记为T，已知R的奇数项的二项式系数的和比T
2、的偶数项地二项式系数的和大496。
(1)求R中二项式系数最大的项。
(2)求R中的有理项。
(3)确定实数的值，使R与T中的相同的项，并求出相同的项。
4.某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位C处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如下图（例如，路段AB发生堵车事件的概率为，路段BC发生堵车事件的概率伟）
(1)请你为其选择一条由A到C的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
(2)若记路线中遇到堵车次数为随机变量求的方差V（）
5.某彩票的号码形如“”（其中
3、现从0~9这十个数字中每次取出一个数字，放回后再取下一个数字，取5次，依次按序排成一行成为一等奖号码。若彩票上的号码与一等奖号码恰有4个连续的数字相同（包括数字顺序相同）则为二等奖号码，恰有3个连续的数字相同（包括数字顺序相同）则为三等奖号码，其它为不中奖号码。
（1）求某人买一张彩票中一等奖的概率；
（2）若一等奖奖金1000元，二等奖奖金500元，三等奖奖金100元，求某人买一张彩票获得奖金数X（元）的概率分布及其数学期望；
（3）某人买了3张彩票，恰有1张获奖的概率是恰有2张获奖的概率的多少倍？
解：（1）某人买一张彩票中一等奖的概率为；…………………………4分
(2)
4、某人买一张彩票中二奖的概率为 ………………………………6分
某人买一张彩票中三奖的概率为 …………8分
某人买一张彩票得奖金数X（元）的概率分布为：
X
1000
500
100
0
P
则……………………10分
(3) 购买彩票获奖的概率为， ……………………………………12分
某人买了3张彩票，恰有1张获奖的概率是,
恰有2张获奖的概率是, …………………………………14分
此时
6.已知是否存在自然数，使对任意，都有整除？如果存在，求出的最大值，并证明；若不存在，说明理由．
解：由，，，，猜
5、想能被整除．
证明：（1）当时，猜想显然成立．……………………………………………………2分
（2）假设时，能被整除，即能被整除，…………………4分
则时，，……6分
根据假设可知能被整除，而是偶数．
所以能被整除，从而能被整除． …………………9分
综上所述，时，能被整除，由于，
故是整除的自然数中的最大值．………………………………10
7.已知。
（1）若，求a3的值；
（2）求证：
（3）若存在整数k (0≤k≤2n)，对任意的整数m (0≤m≤2n)，总有a k ≥a m 成立，这样的k是否唯一？并说明理由。
．解：（1）取，有解得
6、……2分
此时． ………………………4分
（2），下面证明：，
当时，左=，右=，左 右，命题成立； …………………………………6分
假设当时，命题成立，有，
则时，
，命题也成立.
由上知，()，即()．…………………10分
（3）由题意知：是中的最大项．，．
所以，10分
令，得，设小于或等于的最大整数为，则
当时，，故（时取等号）；
当时，，，故．…………14分
所以当时，满足条件的正整数有2个，即或；
当时，满足条件的正整数只有1个，即．……………………16分
8. 已知．
（1）求的值；
（2）求展开式中系数最大的项；
（3）求的值．
（1）
，
则． ………………………………………………4分
（2）展开式中的系数中，数值为正数的系数为
，，，，，
，故展开式中系数最大的项为． ………………………8分
（3）对两边同时求导得
，
令，得，
所以
．……………14分
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