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纳什均衡与ESS
发布: 2006-8-05 10:06 | 作者: mumu | 来源: Biooo社区门户
纳什均衡与ESS是我这两年学到得最喜欢的两个理论，下面关于这两个的解释，发现表述还困难，偏数学形式才能讲明白，得耐心看，还是很有趣的：）

1.纳什均衡

1.1二人零和有限对策之纯策率
纳什均衡是博弈论里的很重要的概念和理论，最简单的一种：二人零和有限对策，零和是指双方利益完全冲突，我的收益就是你的损失，反之亦然；有限对策当然就是指招数有限，设A方有n招，记为a1,a2,…,an ；B方有m招，记为b1,b2,…,bm，两方对局共有n*m个局势，收益形势也就有n*m个用矩阵S={sij}n*m表示，sij表示A方采用ai B方采用bj时A方的收益，越大越好；-sij是B方的收益，对于B方sij越小越好，如下例：

..........b1....b2....b3
.....a1...-6....1.....-8
.....a2....3....2......4
.....a3....9...-1....-10
.....a4...-3....0.....6

...........a1....a2....a3....a4
......b1....6....-3....-9....3
......b2...-1....-21....0
......b3....8....-4....10....-6

A方如何出招，收益最大的？

a3最大可能收益是9，那就用它行吗？那可是一相情愿，得指望对方是b1，要是b3可惨了；所以对方出什么招是很重要的，简单的方法是最小最大原则，即先考虑自己每一招最坏情况下的收益，然后再从挑出最大的那个，也就是最坏情况下的最大收益，应该是a2，最低期望收益为2，当然这是保守的方法；
对于B方则是最大最小原则，则是b2，最低期望收益为2（以sij作标准，-sij就该是-2）
你会发现两者最低期望收益是相同的，当然了，这是偶构造的特殊形式，对这样的解叫纳什均衡解；

双方愿意接受这样的结局吗？应该，达到了最低期望收益，还都一样，大家也就乐哈哈 :））；甘心吗？当然，若B方坚持用b2，你是A方，用用其它招，保管你输，若存在这样的解，对于任何一方主动脱离是会吃亏的。

1.2二人零和有限对策之混合策略
有这样解得情况并不多，如下的对策收益阵：

..........b1...b2
......a1...3....6
......a2...5....4

A方应该用a2，最低期望收益为4，也就是碰到b2；B方应该用b1最低期望收益为5，也就是碰到a2。若是这样A方的实际收益是5，比期望的多了1，很开心啊；B方虽是期望，终究不大平衡，想想既然A方用a2，何不用b1？倘若A方也想到这一层，问题就不好办了，没有一个认可的解，大家就开始斗心思。
若是可以出混合策略如何？鸡蛋不能放在一个篮子里，小孩都知道的，对于A方a1占x1、a2占x2，对于B方b1占y1、b2占y2， x1、x2、y1、y2多少合适呢？

A方的收益计算公式：x1*(3*y1+6*y2)+x2*(5*y1+4*y2)
B方的收益计算公式：y1*(3*x1+5*x2)+y2*(6*x1+4*x2)

两个式子一样，但对A方可是越大越好，B方越小越好
可解得x1=1/4,x2=3/4 y1=1/2,y2=1/2 ，收益是9/2 ，怎么解的就不讲了，敲起来费劲，可以试试当一方采用此组合，另一方不用，看看结果如何？

这就是纳什均衡，“美丽心灵”中有这一段，是纳什在舞厅里约姑娘失利后的痛苦思索得经验，我还没想明白是怎么回事

2.进化稳定对策（ESS）

ESS(evolutionary stable strategy)，进化稳定对策，当种群内所有个体都采取了某个对策后，其它对策者都不能侵入该种群，那么这个对策就是进化上稳定得。经典例子是鹰鸽对策，群体里当老鹰的多还是鸽子的多，比例是多少？

考虑极端情况：
若都是老鹰如何？雄赳赳，气昂昂，很威风，但却会为了利益互不相让，退让了就是鸽子，胜固然好，败了就要损失；因为偶尔原因混进一些鸽子，鸽子遇到老鹰就溜了，不吃亏，若遇到的还是鸽子，其中一方会妥协，平均上获利应是一半，这样这些鸽子不会消失，还会增多
若都是鸽子又如何？这时某个原因诞生了只老鹰，那就是要风得风，要雨有雨，老鹰就会越来越多，从上面知道，也不会都成为老鹰。

这样可以知道，在这个群体里，必定是老鹰与鸽子的混合，单一是不稳定得，老鹰与鸽子比例是由对阵的收益确定的，若对阵胜方得V，败方损失C；鹰鹰对阵，必分胜负，期望收益(V-C)/2（胜败机会相等）；鹰鸽对阵，鹰为V，鸽为0；鸽鸽对阵，一方退让，期望收益为V/2，赢得阵为：

....................鹰..........鸽
..鹰..(V-C)/2.......V
..............鸽.....0.........V/2

这就变成寻找纳什均衡的形式了，需要注意的这不是二人零和有限对策：首先不是双方，而是一个群体中的两类，鹰、鸽；若认为是双方对阵，鹰鸽是策略，也不是零合的。但思想是
damoquan
2003-8-24 01:35:00
朋友，以后博弈论就请教你了。马上就出野外，回来再求教。
popular
2003-8-24 01:35:00
我倒是学过运筹学等课程，还是跟数学系学生一块学的，当时很感兴趣，不过后来走了实验路线，这些就全还给老师了。
mumu

2003-8-24 01:35:00
两个部分，写在一起是因为后者是前者的应用

纳什均衡里讨论得是二人零和有限对策，又分两块，一是纯策率就有均衡解，另一是混合策率才有均衡解

首先要理解纯策率下得纳什均衡解；两个效益阵是等价得（通常只写一个，用第一个，第二个是参考示意），一个从A方看，另一个从B方看，只不过A希望越大越好，B希望越小越好；收益的确定要依赖对方得选择，保守得方法是考虑最坏情况下得最好收益，A是最小最大，B是最大最小；这种选择是预期对方出最坏情况下也有好得收益，如果对方不是这一选择，则会更好，对A来说，A2就是这样的，最坏遇到b2,效益为2，但比其他最坏情况都高，如果对方不是b2，则会更好，这是一种很理性的选择；如果B方也是这样考虑，选b2，预防对方得A2，两个刚好碰到一起，得到得是预期效益，可以接受，这就是个均衡解，谁先违背谁吃亏。

纯策率下很多时候不存在均衡解，如第二个，有一方占点便宜，另一方就有点不平衡，但若可以用混合策率，就可以找到均衡解；能明白效益计算公式就可以了，对于2*2得可以用图解法，再高的用到对偶阵，求解也不是很难，只要不害怕

上面是最简单的两种，思想是相通的

ESS在张大勇的“理论生态学研究”是一章，我理解起来有点困难，可能他是数学出身，感觉很自然，我以前一位舍友说，硕研虽没什么象样论文，但长劲是肯定的，温伯格的量子物理（？）原版已可以象读小说一样，一页一页的翻；尚玉昌得书里一点介绍，可以做入门得了解，篇幅短，不会吓着；就我觉得看这类东西，一定要自己推一遍，否则很难理解；ESS的应用很广泛，有谁能介绍？我知道得就是解释为什么男女性别比是1:1 ，张得那一章末尾讲的是稳定的根系分配与生长冗余；看看自己工作范围内可不可以用用，有没有人做过，一个好的想法，你的工作就会很漂亮

[ 此消息由 mumu 在 2003-07-30.10:15:30 编辑过 ]
ecospace
2003-8-24 01:35:00
挺早的一篇文章，不过没看明白。
The Evolution of ESS Theory
Thomas L. Vincent; Joel S. Brown
Annual Review of Ecology and Systematics, Vol. 19. (1988), pp. 423-443.

“看看自己工作范围内可不可以用用，有没有人做过，一个好的想法，你的工作就会很漂亮 ”，很受启发。
沙丁鱼罐头
2003-8-24 01:35:00
早上翻书惊讶地发现自己连一元二次方程的求根公式都忘了
郁闷之中拿这个开刀....

将x2=1-x1，y2=1-y1代入下式
x1*(3*y1+6*y2)+x2*(5*y1+4*y2)
y1*(3*x1+5*x2)+y2*(6*x1+4*x2)

得2*x1-4*x1*y1+y1+4
=2*x1*（1-2*y1）+9/2

设A=2*x1-4*x1*y1+y1+4 （0<=x1<=1,0<=y1<=1)
可得 9/2-2<=A<=9/2+2
由此可见9/2是中间数，多了b方不高兴，少了a方不高兴
所以 2*x1*（1-2*y1）=0
解得x1=1/4,x2=3/4 y1=1/2,y2=1/2
是大家都满意的双赢策略，哈哈哈哈~

另外，我觉得纳什均衡在生态学中只能作为一个漂亮的理论看看，并不实用。影响一个物种的因素

太多了，一条简单的食物链 虫子--青蛙--蛇--鹰，虫子和青蛙之间有n条策略，青蛙和蛇之间有m条

策略，这n和m条还要考虑相互影响，更何况整个生物圈是一个巨大的食物网还要考虑非生物的因素

，要建的模型实在是太庞大了非人力所能为。但是大自然办到了，并且亿万年来一直维系着这个平

衡，真是纳什均衡最高明的应用者啊

bnuecot
2003-9-21 22:41:00
我的感觉是纳什均衡和进化稳定对策是一回事，但是我对此思考得还不深入，说出来大家讨论讨论，见笑！
阿成
2003-9-22 23:16:00
经济博弈论有详细的数学推论和应用体系。
鄙人认为博弈论在生态上的应用价值前景很大，我现在正想运用在metapopulation and metacommunition的景观动态组成结构上。
丑小丫
2005-8-05 03:22:00
原来ESS在这里