1、第三第三节节 向量的数量向量的数量积积和向量和向量积积一、两向量的数量积二、两向量的向量积1-一、两向量的数量积1 定定义义两个向量两个向量a a和和b b的模与它的模与它们们之之间夹间夹角的余弦之角的余弦之积积，称称为为向量向量a与与b的的数量数量积积，记记作作ab,b,即即数量数量积积也称也称点点积积。力学意力学意义义：一物体在力一物体在力F的作用下，的作用下，沿直沿直线线AB移移动动了了S，F与与AB的的夹夹角角为为,如右如右图图，则则力力对对物体做的功物体做的功为为BSAF2-2 性性质质：（1）aa=|a|a=|a|2 2（2）（3）表示两非零向量表示两非零向量a a和和b b的的夹
2、角，角，则有有3-3 运算律运算律（1）交）交换换律律（2）分配律）分配律（3）结结合律合律其中其中为常数。常数。4 数量数量积积的的计计算公式算公式设设向量向量则则有有4-证证明：明：则有两非零向量有两非零向量a a和和b b的的夹角角的的余弦坐余弦坐标表示表示为 5-此此时时，对对于非零向量于非零向量a，b，有，有5 向量在向量在轴轴上的投影上的投影设设A为为空空间间一点，一点，u轴轴已知，如已知，如图图。Au过过点点A作与作与轴轴垂直的平面，垂直的平面，平面与平面与轴轴的交点的交点A称称为为A在在轴轴上的投影。上的投影。A对对于已知向量于已知向量 ，u轴轴上的有向上的有向线线段段 的模称
3、的模称为为向量向量 在在轴轴u 上的投影，上的投影，它是一个数量，它是一个数量，记记作作BB6-那么那么为向量向量 与与轴u的的夹角。角。用用e表示表示u轴轴上的上的单单位向量，位向量，则则aee为为向量向量a a在在e e方向方向上的投影，那么有上的投影，那么有例例1 已知已知a=1，1，-4，b=1，-2，2，求：求：（1）abb；（2）a与与b的的夹夹角；角；（3）a在在b上的投影。上的投影。7-解：解：（1）（2）所以所以（3）因因为为所以所以8-例例2 求求证证余弦定理余弦定理为边CACA，CBCB的的夹角。角。证证明：明：如如图图所示的所示的ABCABC，令令ABC可得可得那么那么
4、所以所以证毕证毕9-二、两向量的向量二、两向量的向量积积1 定定义义设设向量向量c由两个向量由两个向量a和和b按下列按下列规规定定给给出：出：（1）|c|=|a|b|sin，为向量向量a a和和b b的的夹角；角；（2），且向量，且向量a，b，c的方向的方向满满足右手定足右手定则则，如，如图图；那么向量那么向量c称称为为向量向量a和和b的的向量向量积积，记记作作ab，即，即C=ab向量向量积积又称又称为为叉叉积积。向量向量积积模的几何意模的几何意义义是：是：以以a，b为邻边为邻边的平行四的平行四边边形的面形的面积积。abc10-O为为一根杠杆一根杠杆L的支点，的支点，LOPF有一个力有一个力F
5、作用于其上点作用于其上点P处处，F与与 的的夹夹角角为为，由力学由力学规规定，定，力力F对对支点支点O的力矩的力矩是一个向量是一个向量M，Q它的模它的模而而M的方向垂直于的方向垂直于 与与F所决定的平面，所决定的平面，M的指向是的指向是是按右手是按右手规则规则从从 以不超以不超过过的角的的角的转向向F F来确定，来确定，因而因而实际实际上上力学意力学意义义：力矩力矩，如下如下图图所示。所示。11-2 两向量两向量积积的性的性质质（1）aa=o；（2）（3）若）若ao，bo，a，b的的夹夹角角为为，则3 两向量的向量两向量的向量积积的运算律的运算律（1）ab=-ba；（2）（）（a）b=a（b）
6、=（ab（为常数常数）（3）（）（a+b）c=ac+bc12-4 两向量的向量两向量的向量积积的坐的坐标标表示表示设设向量向量则则有有此此时时，对对于非零向量于非零向量a，b，有，有约约定：若分母中有零，相定：若分母中有零，相应应地，分子也地，分子也为为零。零。13-例例3 设设向量向量解：解：例例4 设设向量向量问问ab与与c是否平行？是否平行？解：解：显显然然故故ab/c.14-例例5 问问向量向量是否共面？是否共面？解：解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为为什么？）什么？）由于由于所以，所以，=4-2-2=0因而因而a，b，c共面。共面。15-例例6 求以点求以点A（1，2，3），），B（3，4，5）和）和C（-1，-2，7）为顶为顶点的三角形的面点的三角形的面积积S。解：解：根据向量根据向量积积模的几何意模的几何意义义可知，可知，所求三角形所求三角形的面的面积积等于等于而而故故所以所以16-
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