1、向量数乘运算及其几何意义宜宜兴市市东山中学山中学 蒋云蒋云涛涛1.abbaa-b复复习向量的减法向量的加法ababa+ba+b2.3.探究一：向量的数乘运算及其几何意探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考思考1 1：已知非零向量：已知非零向量a，如何求作向量，如何求作向量aaa和（和（a）（）（a）（a）？）？aaaaO OM MN NP PO OaaaC CB BA Aaaa （a）（a）（a）4.数数形形O OaaaC CB BA AaaaO OM MN NP Paaaa=？（a）（a）（a）=？3 a-3 a5.一般地，我一般地，我们规定：定：实数数与向与向量量a的的积是一个向量，是一个
2、向量，这种运算叫做种运算叫做向量的数乘向量的数乘.记作作a，该向量的向量的长度与方向与向量度与方向与向量a有什么关系？有什么关系？（1 1）|a|=|=|a|；（2 2）0时,a与与a方向相同；方向相同；0时,a与与a方向相反；方向相反；=0时,a =0.=0.6.探究二探究二:向量的数乘运算性向量的数乘运算性质-2-2(5(5a)=-10)=-10a ；2 2a 2 2b=b=2(2(a+b)；(3(3 )a=3=3a a.思考思考1 1：你：你认为22（5 5a），），2 2a2 2b，a可分可分别转化化为什么运算？什么运算？7.思考思考2 2：一般地，：一般地，设，为实数，数，则(a)，
3、)a，(ab)分分别等于什么？等于什么？(a)=?)=?；()a=?=?；(a b)=?.)=?.(a)=()=()a ；()a=a a；(a b)=)=ab.8.例例1 1 计算算（1 1）（）（3 3）44a；（2 2）3 3（ab b）2 2（ab b）a；（3 3）（）（2 2a3 3b bc）（）（3 3a2 2b bc c）.9.如图，D,E分别为ABC的AB,AC的中点，求证：共线，并将 用 线性表示。BDAEC 证明：D,E分别是AB,AC的中点DE BC探究三：向量共探究三：向量共线定理定理10.思考思考1 1：对于向量于向量a（a00）和）和b，若存在若存在实数数，使，使
4、b=a，则向量向量a与与b的方向有什么关系？的方向有什么关系？思考思考2 2：若向量：若向量a（a00）与）与b共共线，则一定存在一定存在实数数，使，使b=a成立成立吗？综上可得向量共上可得向量共线定理：定理：向量向量a（a00）与）与b共共线，当且，当且仅当有当有唯一一个唯一一个实数数，使，使b=a.11.2b3babO O例例2 2 如如图，已知任意两个非零向量，已知任意两个非零向量a，b b，试作作 =ab b，=a2 2b b，=a3 3b b.你能判断你能判断A A、B B、C C三点之三点之间的位置关系的位置关系吗？为什么？什么？abA AB BC C12.1.1.实数与向量可以相乘，其数与向量可以相乘，其积仍是向量，仍是向量，但但实数与向量不能相加、相减数与向量不能相加、相减.2.2.若若a=0=0，则可能有可能有=0，也可能有，也可能有 a=0.=0.3.3.向量共向量共线定理是平面几何中定理是平面几何中证明三明三点共点共线，直，直线平行，平行，线段数量关系的理段数量关系的理论依据依据.13.14.
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