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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 刚体的转动,刚体定轴转动二,质点运动学计算题,1,一质点沿,x,轴作直线运动，其,u,-,t,曲线如图所示，如,t,=0,时，质点位于坐标原点，求：,t,=4.5,秒时，质点在,x,轴上的位置。,解,:,1,2,与 为某质点在不同时刻的位置矢量（矢径），与 为不同时刻的速度矢量，试在两个图中分别画出 、以及 、。,2,3,如图，有一小球从高为,H,处自由下落，在途中,h,处碰到一个 45的光滑斜面与其作完全弹性碰撞。试计算斜面高,H,为多少时能使小球弹得最远？,解,:,设碰撞前的速度为,u,1,碰撞后的速度为,u,2,碰撞前小球作自由落体运动,有,碰撞后小球作平抛运动,有,碰撞为弹性碰撞,取最大值时,3,牛顿定律计算题,1,有一条单位长度质量为,l,的匀质细绳，开始时盘绕在光滑的水平桌面上。现以一恒定的加速度竖直向上提绳，当提起的高度为,y,时，作用在绳端的力为多少？若以一恒定速度竖直向上提绳时，仍提到,y,高度，此时作用在绳端的力又是多少？,F,解,:,此题为变质量问题,4,F,1),以恒定加速度上提时,2),以恒定速度上提时,5,2,质量为,m,的小球在水中受的浮力为常力,F,当它静止开始沉降时,受到水的沾滞阻力为,f,=,k,u,(,k,为常数,),求小球在水中竖直沉降的速度,u,与时间,t,的关系。,f,mg,F,y,解,:,6,动量守恒和能量守恒计算题,1,如图，两小球质量相等，均为,m,，开始时外力使劲度系数为,k,的弹簧压缩某一距离,x,，然后释放，将小球,m,1,投射出去，并于静止的小球,m,2,发生弹性碰撞，碰后,m,2,沿半径为,R,的圆轨道上升，达到,A,点恰与圆环脱离，,A,与竖直线所成角,q,=60,，忽略一切摩擦力。试求弹簧被压缩的距离,x,等于多少？,60,O,x,m,2,A,m,1,解,:,过程,I,，发射,m,1,，机械能守恒。,过程,II,，弹性碰撞，动量守恒、机械能守恒。,过程,III,，轨道运动。遵循牛顿运动定律和机械能守恒。,G,N,7,60,O,x,m,2,A,m,1,过程,I,，,过程,II,，,G,N,过程,III,，,q,=60,，,N,=0,8,2,一竖直弹簧，一端与质量为,M,的水平板相联接，另一端与地面固定，其劲度系数为,k,。一质量为,m,的泥球自矩板,M,上方,h,处自由下落到板上，求以后泥球与平板一起向下运动的最大位移。,解,:,h,m,M,过程,I,，泥球自由下落，泥球,-,地球机械能守恒。,过程,II,，泥球,-,板发生完全非弹性碰撞，动量守恒。,平板在重力、弹性力作用下保持平衡。,f,G,9,h,m,M,过程,II,，,过程,III,，泥球,-,板向下运动，泥球,-,板,-,弹簧,-,地球机械能守恒，弹性势能零点在原长处、重力势能零点在板的平衡位置。,过程,I,，,f,G,四式联立有，,10,3,一质量为,m,的子弹，水平射入悬挂着的静止砂袋中，如图所示砂袋质量为,M,，悬线长为,l,为使砂袋能在竖直平面内完成整个圆周运动，子弹至少应以多大的速度射入？,解,:,过程,I,，子弹,-,砂袋发生完全非弹性碰撞，动量守恒。,过程,II,，轨道运动，遵循牛顿运动定律和机械能守恒。以最低点为势能零点，在最高点有，,G,N,11,过程,I,，,过程,II,，,G,N,砂袋要能完成整个圆周运动，,拉力,N,0,。,12,一、选择题,1.,花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为,J,0,，角速度为,w,0,然后她将两臂收回，使转动惯量减少为,J,0,/3,这时她转动的角速度变为,(A),(B),(C),(D),花样滑冰运动员在转动过程中,对轴的角动量守恒,刚体的转动,13,2,如图，光滑的水平桌面上，有一长为,2,L,、质量为,m,的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴,O,自由转动，其转动惯量为,mL,2,/3,，起初杆静止，桌面上有两个质量均为,m,的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率,相向运动当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为,（俯视图）,(A),(B),(C),(D),(E),杆,-,两小球系统对,O,点的角动量守恒,14,3.,如图，一静止的均匀细棒，长为,l,、质量为,M,，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴,O,在水平面内转动，转动惯量为,M,2,l,/3,一质量为,m,、速率为,u,的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为,u,/2,，则此时棒的角速度应为,(A),(B),(C),(D),杆,-,子弹系统对,O,点的角动量守恒,15,4,一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人,.,把人和圆盘取作系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统,(A),动量守恒,(B),机械能守恒,(C),对转轴的角动量守恒,(D),动量、机械能和角动量都守恒,(E),动量、机械能和角动量都不守恒,人,-,盘系统存在,非保守内力,作用并在,转轴处受外力,作用,.,M=0,L=,恒矢量,转轴与盘之间有作用力故,F,合,不为零,16,5,质量为,m,的小孩站在半径为,R,的水平平台边缘上，平台可以绕通过其中心的光滑固定轴自由转动，转动惯量为,J,，平台和小孩开始时均静止，当小孩突然以相对于地面为,u,的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为,w,(A),，顺时针,(D),，逆时针,(C),，顺时针,(B),，逆时针,17,二、填空题,1,一飞轮以角速度,w,0,绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为,J,1,；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍啮合后整个系统的角速度,w,=_,二者对轴的角动量守恒,w,0,/3,2.,定轴转动刚体的角动量,(,动量矩,),定理的内容是,_,_.,其数学表达式可写成,_.,动量矩守恒的条件是,_,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于转动刚体对轴的角动量的增量,刚体所受对轴的合外力矩等于零,18,3.,在一水平放置的质量为,m,、长度为,l,的均匀细杆上，套着一质量也为,m,的套管,B(,可看作质点,),，套管用细线拉住，它到竖直的光滑固定轴,OO,的距离为,l,/2,，杆和套管所组成的系统以角速度,w,0,绕,OO,轴转动，如图,.,若在转动过程中细线被拉断，套管将沿着杆滑动在套管滑动过程中，该系统转动的角速度,w,与套管离轴的距离,x,的函数关系为,_,(,已知杆本身对,OO,轴的转动惯量为,ml,2,/3),19,4.,长为,l,、质量为,M,的匀质杆可绕通过杆一端,O,的水平光滑固定轴转动，转动惯量为,Ml,2,/3,，开始时杆竖直下垂，如图有一质量为,m,的子弹以水平速度,u,0,射入杆上,A,点，并嵌在杆中，,OA=2,l,/3,，则子弹射入后瞬间杆的角速度,w,=_,20,5.,力矩的定义式为,_,在力矩作用下，一个绕轴转动的物体作,_,运动若系统所受的合外力矩为零，则系统的,_,守恒,M,=,r,F,变角速,角动量,6,一个质量为,m,的小虫，在有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘边缘上，沿逆时针方向爬行，它相对于地面的角速度为,v,，此时圆盘正沿顺时针方向转动，相对于地面的角速度为,w,0,设圆盘对中心轴的转动惯量为,J,若小虫停止爬行，则圆盘的角速度为,w,0,21,三、计算、证明题,1.,如图，质量为,M,、长为,l,的均匀细杆，可绕,A,端的水平轴自由转动，当杆自由下垂时，有一质量为,m,的小球，在离杆下端的距离为,a,处垂直击中细杆，并于碰撞后自由下落，而细杆在碰撞后的最大偏角为,q,，试求小球击中细杆前的速度。解,:,v,a,A,过程,I,，碰撞对,O,点角动量守恒：,过程,II,，杆摆动机械能守恒：,22,2.,如图,一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为,l,，质量为,m,，开始时棒处于水平位置。令棒由水平位置自由摆下，求：,（,1,）棒在任意位置时的角加速度；,（,2,）棒摆至铅垂位置时重力矩所做的功；,（,3,）,q,角为,30,，,90,时的角速度；,（,4,）铅垂位置时轴端所受外力。,C,C,N,d,G,解,:,在棒与水平成,q,角处,重力矩为,M,=(,mgl,cos,q,),/2.,由刚体定轴转动定律有,23,C,C,N,d,G,棒摆至铅垂位置时重力矩所做的功在转动过程中,机械能守恒,以棒水平位置为势能零点,:,24,C,C,N,d,G,由质心运动定律有,n,t,在铅垂位置，,q,=,p,/2,，,a,=0,，,w,=3,g,/(2,l,),25,3,唱机的转盘绕过盘心的固定竖直轴转动，唱片放上后将受转盘的摩擦力作用随转盘转动。设唱片可以看成是半径为,R,的圆盘、唱片的质量为,m,，唱片与转盘之间摩擦系数为,m,，求唱片刚放上去时受到的摩擦力矩,M,f,和唱片由放上去到具有角速度,w,1,所需要的时间,t,1,。,解,取长,dl,、宽,dr,的面元,dS,=,drdl,面元受摩擦力,此摩擦力对转盘转轴上点,O,的力矩为：,26,唱片所受的合摩擦力矩为：,由转动定律可得唱片角加速度,唱片转速达到,w,1,所需时间,27,4.,一轻绳绕过一半径,R,，质量为,m,/4,的滑轮。质量为,m,的人抓住绳子的一端，而绳子另一端系一质量为,m,/2,的重物，如图。求当人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？,解,:,M,/4,，,R,M,M,/2,T,1,T,1,mg,T,2,T,2,mg,/2,以人、滑轮、重物为一个系统。设重物上升速度为,u,，因绳不可伸长，人一端绳的下降速度也为,u,，又,人相对于绳的上升速度为,u,，故人的上升速度为,u-,u.,整个系统对,o,轴的外力矩为：,M,=,mgR,/2;,对,o,轴的角动量为：,由转动定律,o,28,5.,用力推开房门，门以角速度,w,0,转动。门与制动器的碰撞会震松门的铰叶。然而,只要制动器的位置安装得当,可以将对铰叶的冲击力减至最小。设房门可看成高,h,、宽,b,的均匀矩形薄板。求制动器的合理安装位置。,铰叶,制动器,d,m,l,俯视图,N,F,t,n,解,:,设制动时间为,D,t,，由角动量定理有，,由质心运动定律有，,29,