弹性力学 第十一章 弹性力学的变分原理.doc

第十一章 弹性力学的变分原理
知识点
静力可能的应力
弹性体的功能关系
功的互等定理
弹性体的总势能
虚应力
应变余能函数
应力变分方程
最小余能原理的近似解法
扭转问题最小余能近似解
有限元原理与变分原理
有限元原理的基本概念
有限元整体分析
几何可能的位移
虚位移
虚功原理
最小势能原理
瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz)法
伽辽金(Гапёркин）法
最小余能原理
平面问题最小余能近似解
基于最小势能原理的近似计算方法
基于最小余能原理的近似计算方法
有限元单元分析
一、内容介绍
由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。
变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。
本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。
本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。
二、重点
1、几何可能的位移和静力可能的应力；2、弹性体的虚功原理；3、最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理的基本概念。
§11.1 弹性变形体的功能原理
学习思路:
本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。
首先建立静力可能的应力 和几何可能的位移 概念；静力可能的应力
和几何可能的位移 可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。
建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。
学习要点：
1、静力可能的应力；2、几何可能的位移；3、弹性体的功能关系；4、真实应力和位移分量表达的功能关系。
1、静力可能的应力
假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S 可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的面力给定，称为Ss 。如图所示

显然 S=Su+Ss
假设有一组应力分量sij 在弹性体内部满足平衡微分方程

在面力已知的边界Ss ，满足面力边界条件

这一组应力分量称为静力可能的应力。静力可能的应力未必是真实的应力，因为真实的应力还必须满足应力表达的变形协调方程，但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。
为了区别于真实的应力分量，我们用 表示静力可能的应力分量。
2、几何可能的位移
假设有一组位移分量ui和与其对应的应变分量eij，它们在弹性体内部满足几何方程

在位移已知的边界Su上，满足位移边界条件

这一组位移称为几何可能的位移。几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程；在面力已知的边界Ss 上，必须满足以位移表示的面力边界条件。但是，真实的位移必然是几何可能的。
为了区别于真实的位移，用 表示几何可能的位移。
几何可能的位移产生的应变分量记作 。
3、弹性体的功能关系
对于上述的静力可能的应力 、几何可能的位移 以及其对应的应变分量 ，设Fbi 和Fsi 分别表示物体单位体积的体力和单位面积的面力（面力也包括在位移边界Su的约束反力）。则不难证明，有以下恒等式

证明：
由于 和 满足几何方程，而且应力 是对称的，所以

将上式代入等式的右边，并且利用高斯积分公式，可得

由于 满足面力边界条件，上式的第一个积分为

由于 满足平衡微分方程，所以第二个积分为

将上述结果回代，可以证明公式 为恒等式。
4、真实应力和位移分量表达的功能关系
公式 揭示了弹性体的功能关系。
功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能位移上所做的功，等于任意一组静力可能应力在上述几何可能位移对应的应变分量上所做的功。
这里需要强调指出的是：对于功能关系的证明，没有涉及材料的性质，因此适用于任何材料。当然，证明时使用了小变形假设，因此必须是满足小变形条件。
其次，功能关系中，静力可能的应力 、几何可能的位移 以及其对应的应变分量 ，可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。
假如静力可能的应力 和几何可能的应变分量 满足材料本构方程时，则对应的静力可能的应力 和几何可能的位移 以及其对应的应变分量 均成为真实的应力，位移和应变分量。对于真实的应力，位移和应变分量，功能关系为

显然这是应变能表达式。不过在应变能公式中，假设外力，即体力和面力是由零缓慢地增加到最后的数值的，因此应变能关系式中有1/2。而在功能关系公式的推导中，并没有这一加载限制。
功能关系是弹性力学中的一个普遍的能量关系，这一原理将用于推导其它的弹性力学变分原理。
§11.2 变形体的虚功原理
学习思路:
本节讨论的重点是弹性体的虚功原理。
首先定义虚位移概念，通过将几何可能的位移定义为真实位移与虚位移的和，可以确定虚位移是位移边界条件所容许的位移微小改变量。对于虚位移所产生的虚应变，记作deij 。
根据弹性体的功能关系，可以得到虚功方程表达式 dW =dU 。
虚功方程的意义为：如果弹性体是处于静力平衡状态的，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。这就是虚功原理。
虚功原理等价于平衡微分方程和面力边界条件，它满足了静力平衡的要求。
学习要点：
1、虚位移与虚应变；2、虚功原理；3、虚功原理的意义。
1、虚位移与虚应变
功是指力与力作用点处沿力方向位移的乘积。显然，功包括力和位移两个基本量。如果力或者应力在其自身引起的真实位移或者应变上作功，这种功称为实功；如果力或者应力在其他某种原因引起的微小位移或者应变上作功，这种功称为虚功。
设几何可能的位移为

这里ui为真实位移，d ui称为虚位移。虚位移是位移边界条件所容许的位移的微小改变量。由于几何可能的位移在边界 Su上，应该满足位移边界条件，因此,边界Su，有
d ui=0
将几何可能位移公式代入几何方程

显然，上式右边的第一项是真实应变，而第二项是虚位移所产生的虚应变，记作deij 。因此上式可以写作

几何可能的位移对应的应变可以用真实应变与虚位移所产生的虚应变之和表示。

2、虚功原理
如果用虚位移表达的几何可能位移 、和真实应力作为静力可
能应力代入功能关系表达式 ，注意到
真实应力和位移是满足功能关系的，因此可以得到用虚位移d ui 和虚应变deij 表达的虚功方程

上式中应力分量为实际应力。注意到在位移边界Su上，虚位移是恒等于零的，所以在上述面积分中仅需要在面力边界Ss上完成。
就力学意义而言，虚功原理表达式的等号的左边为外力在虚位移中所做的功，称为外力虚功d W ；右边为应力分量在虚位移对应的虚应变上产生的应变能，称为虚应变能d U 。即
d W =dU
根据上述分析，可以得出结论：如果弹性体是处于静力平衡状态的，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变而言，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。这就是虚功原理。
3、虚功原理的意义
对于虚功方程 ，其右边的积分可以写作

上式在推导中应用了在位移边界Su上，d ui＝0的边界条件。现在将上式回代到虚功方程，整理可得

因为虚位移d ui 是任意的，因此上式的成立，要求在弹性体内

在位移已知边界Su 上，有

显然，虚功原理等价于平衡微分方程和面力边界条件，它满足了静力平衡的要求。应该指出：虚功原理的推导并没有涉及任何材料性质，因此适用于任何材料。当然，由于使用了小变形假设，即线性的几何方程，因此虚功原理必须是在小变形条件下适用于任何材料。除此以外应力和应变分量之间不需要满足任何关系。
§11.3 功的互等定理
学习思路:
本节讨论功的互等定理。定理的证明比较简单，将功能方程应用于同一弹性体的两种不同的受力和变形状态，则可以得到功的互等定理。它是弹性体功能原理的另一种应用形式。
功的互等定理可以描述为：作用在弹性体上的第一种状态的外力，包括体力和面力，在第二种状态外力对应的位移上所做的功为例，等于第二种状态的外力在第一种状态对应的位移上所做的功。
功的互等定理是一个十分重要的力学概念。它的应用可以帮助我们推导和理解有关的有关的力学公式和概念，同时也可以直接用于求解某些弹性力学问题。
学习要点：
1、功的互等定理
1、功的互等定理
如果将功能方程工科 应用于同一弹性体
的两种不同的受力和变形状态，则可以得到功的互等定理。
假设第一种状态的体力为 ，在面力边界Ss上的面力为 ，在位移已知的边界Su的位移为 ，弹性体内部的应力，应变和位移分别为 ；
第二种状态的体力，面力，应力，应变和位移分别为 ， ，
。由于两种状态的应力和应变分量都是真实解，所以它们当然也就是静力可能的和几何可能的。
现在把第一种状态的应力作为静力可能的应力，而把第二种状态的位移和应变作为几何可能的位移和应变。将上述两种状态的应力和位移分别代入功能方程，有

同理，把第二种状态的应力取为静力可能的应力，而把第一种状态的位移和应变作为几何可能的位移和应变分别代入功能方程，有

对于上述公式的右边，由于

所以

上式称为功的互等定理。功的互等定理可以叙述为：作用在弹性体上的第一种状态的外力，包括体力和面力，在第二种状态对应的位移上所做的功等于第二种状态的外力在第一种状态对应的位移上所做的功。
功的互等定理是一个十分重要的力学概念。主要用于推导有关的力学公式，也可以直接用于求解力学问题。
§11.4 位移变分方程--最小势能原理
学习要点:
本节讨论最小势能原理。首先根据虚功原理推导应变能的一阶变分表达式，然后根据任意几何可能位移场与真实位移场的总势能的关系，得到真实位移场的总势能取最小值的结论。
最小势能原理用数学方程描述：总势能的一阶变分为零，而且二阶变分大于零。
最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力边界条件，所以，对于一些按实际情况简化后的弹性力学问题， 可以通过最小势能原理推导出其对应的平衡微分方程和面力边界条件。本节通过例题对此作了说明。
推导中设应变能密度函数是应变分量的函数，因此最小势能原理是位移解法在变分原理中的应用。
进入本节内容学习之前，应该首先学习有关泛函和变分的基础知识。
学习思路：
1、总势能；2、总势能的变分；3、最小势能原理；4、最小势能原理推导弯曲问题的平衡微分方程和面力边界条件；5、最小势能原理推导扭转问题的平衡微分方程和面力边界条件。
1、总势能
下面根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原理。
设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能密度函数的一阶变分为

上式推导中，应用了格林公式 ，将上式代入虚功方程，则

上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。定义外力势能为

注意到虚位移与真实的应力无关，因此在虚位移过程中外力保持不变，即变分与外力无关。而且积分和变分两种运算次序可以交换的，所以外力势能的一阶变分可以写作

回代可得
其中Et 称为总势能，它是应变分量的泛函。由于应变分量通过几何方程可以用位移分量表示，所以总势能又是位移分量的泛函。

公式表明，在所有几何可能的位移中，真实位移将使弹性体总势能的一阶变分为零，因此真实位移使总势能取驻值。
2、总势能的变分
以下证明:对于弹性体的稳定平衡状态，总势能将取最小值。
将几何可能位移对应的应变代入总势能表达式，可以得到几何可能位移对应的总势能

将上式减去真实应变分量的总势能，可得

将 按泰勒级数展开，并略去二阶以上的小量，有

回代可得

由于总势能的一阶变分为零，因此

3、最小势能原理
总势能的二阶变分为

由于

由于应变能密度函数为正定函数，即只有在所有的应变分量全部为零时其才可能为零，否则总是大于零的,因此

所以
以上证明了在所有的可能位移场中，真实位移场的总势能取最小值。所以这一原理称为最小势能原理。数学描述即总势能的一阶变分为零，而且二阶变分是正定的（大于零）。
必须强调指出的是，真实位移与其他的可能位移之间的差别在于是否满足静力平衡条件，所以说最小势能原理是用变分形式表达的平衡条件。
通过总势能的一阶变分为零，可以推导出平衡微分方程和面力边界条件，这和虚功原理是相同的，即最小势能原理也等价于平衡微分方程和面力边界条件。
虚功原理和最小势能原理之间的差别在于：虚功原理不涉及本构关系，适用于任何材料，只要满足小变形条件；最小势能原理除了小变形条件之外，还需要满足应变能密度函数表达的本构关系，因此仅限于线性和非线性弹性体。
最后，将最小势能原理完整的叙述为：在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值。该方法是以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题的。当然，选择的位移函数必须是在位移已知的边界上满足位移边界条件，对于面力边界是不需要考虑的，因为面力边界条件是会自动满足的。
4、最小势能原理推导弯曲问题的平衡微分方程和面力边界条件
例2：图示直梁，分布载荷q(x)作用在轴线所在的铅垂平面内。用最小势能原理推导问题的平衡微分方程和面力边界条件。

解: 该梁为超静定结构。在梁的端面，施加适当的约束使梁不能产生刚体位移，施加适当的剪力和弯矩，使梁保持平衡。
设w(x)表示梁的挠度，r表示梁轴线变形后的曲率半径，则梁的应变能为

由于 ，并且注意到对于小变形问题， 所以上式可以写作

本问题的面力边界为梁的上下表面，作用分布载荷q(x)，则外力功为

梁的总势能为

对上式作一阶变分并且令其为零，有

整理可得

因此

上述关系式的第1式即问题的平衡方程，第2，3和4式为梁边界条件。
以上根据最小势能原理推导出梁的弯曲问题对应的平衡微分方程和面力边界条件。
5、最小势能原理推导扭转问题的平衡微分方程和面力边界条件。
例3：应用最小势能原理推导柱体扭转问题的基本方程和边界条件。

解：对于柱体扭转的位移解法，位移分量用扭转翘曲函数表示为

与上述位移分量对应的应力分量为

由于其他的应力分量全部为零，所以柱体的应变能为

令

则
由于柱体的侧表面不受外力的作用，不存在外力功的问题。在端面上，作用有扭矩T，产生扭矩的是x和y方向的面力Fsx和Fsy,而z方向的面力Fsz为零。根据柱体扭转的位移表达式，本问题的虚位移为
d u=0, d v=0, dw=jdF
因此，柱体所有表面的外力虚功均为零。根据最小势能原理

所以

即
利用高斯积分公式,上式简化为

由于dF 是任意的，所以上式成立的条件为

显然，这和第九章中导出的扭转函数所要满足的平衡微分方程和面力边界条件是相同的。
§11.5 最小势能原理的应用
学习要点:
最小势能原理是弹性力学问题近似解法的基础。这一原理要应用于实际问题，必须有对应的求解方法。
首先建立以级数形式表达的位移试函数，选择的位移试函数必须满足位移边界条件，它是几何可能的。根据位移试函数可以确定应变分量以及总势能Et的表达式。注意到总势能Et原为位移的泛函，写作成为待定系数Am,Bm和Cm的二次函数。这样就把求解泛函的驻值问题，转化成为求解函数的极值问题。
根据上述原则推导的近似解法称为瑞利-里茨法。
如果选择的位移试函数不仅满足位移边界条件，而且满足面力边界条件，则求解公式将进一步简化。称为伽辽金法
最后举例说明瑞利-里茨法和伽辽金法的应用。
学习思路
1、位移试函数；2、瑞利-里茨法；3、伽辽金法；4、简支梁弯曲问题；5、矩形板；6、扭转问题。
1、位移试函数
最小势能原理的主要用途并非推导平衡微分方程和面力边界条件，它是弹性力学问题近似解法的基础。如果要使得某个原理要应用于实际问题，必须有对应的求解方法。本节介绍基于最小势能原理的两种近似解法：瑞利-里茨（Rayleigh-Ritz）法和伽辽金（Гапёркин）法。
根据最小势能原理，如果能够列出所有的几何可能位移，那么使总势能П1取最小值的那一组位移就是真实位移。问题是列出所有几何可能的位移是非常困难的，甚至是不可能的。
因此，对于实际问题的计算，只能凭借经验和直觉缩小寻找范围，在这个范围内的一族几何可能的位移中，找到一组位移使得总势能Et 最小。
虽然这一组位移一般的说并不是真实的，但是可以肯定，它是在这个缩小的给定范围内部，与真实位移最为接近的一组位移，由此解答可以作为近似解。
从上述思想出发，在一般情况下，可以将位移分量选择为如下的形式

其中，Am，Bm和Cm均为任意的常数；u0，v0和w0 以及um，vm和wm 都是坐标的已知函数，并且在位移边界Su上，有

这样构造的位移试函数，不论系数Am，Bm和Cm取何值，总是满足位移边界条件的。而且对于连续函数，必然满足几何方程。因此满足几何可能位移的条件。
2、瑞利-里茨法
现在的问题是将要如何选择待定系数Am，Bm和Cm，使得总势能П1在位移表达式表示的这一族位移中取最小值。
为此，将位移表达式代入几何方程求得应变分量，然后代入总势能П1的表达式，注意到应变能密度函数是应变分量的齐二次函数，因此总势能П1表达式的第一个积分成为待定系数Am，Bm和Cm的齐二次函数，而第二和第三个积分为Am，Bm和Cm的一次函数。于是，总势能 Et 原本是自变函数的泛函，现在成为待定系数Am，Bm和Cm的二次函数。
这样就把求解泛函的极值问题，转化成为求解函数的极值问题。总势能Et取极值的条件为

总势能 Et 取极值的条件又可以写作

上述公式是一组以Am，Bm和Cm（m=1，2，3…）为未知数的线性非齐次代数方程组，求解方程可得待定系数，回代就可以得到近似位移解答。这一方法称为瑞利—里茨法。
3、伽辽金法
下面讨论伽辽金（Гапёркин）法。注意到应变能的一阶变分可以写作

将上式回代最小势能原理，整理可得

如果选择的位移试函数不仅在位移边界上满足位移边界条件，而且在面力边界上满足面力边界条件，即位移试函数满足全部的边界条件，则上式可以进一步简化为

上式展开可以写作

将位移函数表达式代入几何方程求得应变分量，再根据物理方程求出应力分量代入上式，并且注意到

将上述结果代入虚功方程，可得

由于dAm，dBm和dCm 彼此独立而且是完全任意的，所以上式成立的条件为

由于应力分量为Am，Bm和Cm的线性函数，所以上述公式为Am，Bm和Cm的线性非齐次代数方程组。解出待定系数代入公式就得到位移函数的近似解答，这种方法称为伽辽金法。
4、简支梁弯曲问题
例4：两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷q作用如图所示。试求解梁的挠度w（x）。

解：首先使用瑞利—里茨法求解。
为了满足梁的位移边界条件，即简支梁两端的约束条件: 在x=0和l 处，w=0，取位移试函数，即挠曲线方程为

问题的总势能为

即

根据 ，所以

所以

回代到位移公式，可得

挠曲线表达式是无穷级数，它给出了本问题的精确解答。这个级数收敛很快，只要取少数几项就可以得到足够的精度。最大挠度在梁的中点，即 处，因此

如果取一项，有 。这一结果与精确值十分接近。
由于上述位移试函数表示的挠曲线方程在求二阶导数后仍为正弦函数，所以二阶导数在x=0 和x=l处仍旧为零。
本问题的静力边界条件是梁的绞支处弯矩为0，所以该表达式也满足面力边界条件，因此这一试函数也可以应用于伽辽金法求解。注意到

将位移试函数公式代入上式并且积分，可以得到与瑞利—里茨法相同的结果。
5、矩形板
例5：图示矩形薄板，四边固定，受有平行于板面的体力作用。设坐标轴如图所示，试用瑞利—里茨法求解。

解：设位移试函数为

上式中m和n为正整数，在边界x=0，a，和y=0，b上，u=v=0，所以试函数满足位移边界条件。
由于问题属于平面应力问题，所以

因此

将位移试函数代入上述公式求导数后再积分，并且注意到方程

则

由此可见，只要体力的分布是已知的，通过积分即可以求得待定系数Amn和Bmn，从而位移分量可以求解，根据几何方程可以得到应变分量，再由物理方程求出应力分量。
例6：图示矩形薄板，三边固定，而另外一条边的位移给定为
受有平行于板面的体力作用。设坐标轴如图所示，
试用伽辽金法求解。
解：设位移试函数为

位移试函数满足位移边界条件。由于问题没有面力边界条件，因此我们可以认为位移试函数满足面力边界条件，即可以采用伽辽金方法求解。由于问题属于平面应力问题，有

将位移试函数代入上式，积分后可得

积分后，求解关于Amn和Bmn的线性方程组则问题可解。如果h =0，则问题与例5完全相同。
本问题当然可以采用瑞利—里茨法求解。但是，一般的讲，使用伽辽金法求解相对的工作量要小一些。
6、扭转问题
例7：应用瑞利—里茨法求解椭圆截面柱体和矩形截面柱体的扭转函数F（x，y）。

解：柱体的扭转问题归结为求解变分方程，其中I0由公式确定。
对于椭圆截面柱体，根据其扭转时横截面的翘曲情况，设扭转函数为F（x，y）=Axy。
其中A为任意常数。将上式代入公式，积分后可得。
I0本来是泛函，它取极值的必要条件是一阶变分为零，但现在I0是A的函数，其取极值的必要条件为

所以

因此

对于矩形截面杆，同样根据横截面的翘曲，设扭转函数为

将上式代入公式，积分后可得

所以

求解可得

将上述待定系数代入公式，可得扭矩为
。
最大切应力发生在长边的中点，即

上述结果与精确解很接近。
§11.6 应力变分方程--最小余能原理
学习思路:
如果设能量为应力分量的泛函，则可以得到应变余能的定义。
将静力可能的应力表示为真实应力与虚应力、或者说应力变分之和。根据定义，虚应力满足无体力的平衡微分方程和无面力的面力边界条件。将应力试函数代入功能方程，并且用真实位移替代几何可能的位移，就可以得到应力变分方程－最小余能原理。
对于稳定的平衡状态，真实应力使总余能取最小值。这一关系称为最小余能原理。
应力变分方程或者最小余能原理应该是等价于以应力分量表示的变形协调方程和位移边界条件。
应力变分的实质就是引入应力解法于能量原理，因此对于多连域问题，还有位移单值连续条件需要考虑，这将导致问题十分复杂。
学习要点：
1、应变余能函数；2、虚应力；3、应力变分方程；4、最小余能原理
1、应变余能函数
首先介绍有关应变余能的概念。以单向拉伸为例，设单向拉伸应力为sx，应变为ex。对于线弹性问题，应力与应变曲线是一条直线，对于一般的弹性体，它是一条曲线。当弹性体受到拉伸，应变达到ex时，弹性体内部存储的应变能密度相当于应力应变曲线与ex轴所围的面积，有

而应力应变曲线与应力sx轴所围的面积定义为应变余能密度，有
。
对于复杂应力状态，应变能和应变余能密度函数分别定义为
和
对于应变能和应变余能，显然 。
这里定义应变能密度是应变分量的泛函而应变余能密度是应力分量的泛函。对于上式作变分，有

即

根据格林公式，上式的右边为零。而dsij是任意的，所以可以证明对于应变
余能密度函数 。
2、虚应力
以下通过虚功方程推导最小余能原理，设静力可能的应力为

其中，sij为真实应力，dsij为真实应力邻近的应力的微小改变量，通常称为虚应力。将上式代入微分平衡方程和面力边界条件，则

和
(在 )
由于sij为真实应力，必然满足平衡微分方程和面力边界条件，所以虚应力dsij必然满足

(在 )
上式表明，如果应力试函数表示的应力是静力可能的，则虚应力应该满足无体力的平衡微分方程和无面力的面力边界条件。
3、应力变分方程
现在将应力势函数 代入功能方程

并且用真实位移替代几何可能的位移，则

注意到公式

则上式简化为

应该注意的是，虚应力与虚位移、即位移变分方程不同，表面面力是有增量dFsi的。即虚应力dsij 在位移边界Su 将引起的面力，称为虚面力。有
（在Su）
将虚面力表达式回代公式

可得

上式称为虚应力方程，又称为应力变分方程。它表示在已知位移的边界上，虚面力在真实位移上所作的功整个弹性体内部的虚应力在真实变形中所作的功。
4最小余能原理
将公式 代入虚应力方程 的右边，有

由于在位移边界Su 上的位移是给定的，所以上式左边的变分符号可以提到积分符号的外边，则应力变分方程还可以写作以下形式

令

则

这里，Et（sij ）称为总余能，它是应力分量的泛函。上述公式表示，当应力分量从真实应力sij 变化到静力可能的应力sij＋dsij 时，总余能的一阶变分为零，即真实应力使得总余能取驻值。因此这一关系称为最小余能原理。
和最小势能原理相同，可以证明，对于稳定的平衡状态，真实应力使总余能取最小值。这一关系称为最小余能原理。它可以叙述为：在所有静力可能的应力中，真实应力使得总余能取最小值。
如果弹性体的全部边界面力已知，最小余能原理可以简化为

上式称为最小功原理，它是最小余能原理的特殊形式。
根据弹性力学的分析方法，真实应力除了满足平衡微分方程和面力边界条件以外，还必须满足用应力分量表示的变形协调方程。而根据能量变分的原理，真实应力除了满足平衡微分方程和面力边界条件以外，还要满足应力变分方程或者总余能的极值条件。因此，应力变分方程或者最小余能原理应该是等价于以应力分量表示的变形协调方程和位移边界条件。
应力变分方程是应力解法在能量原理中的应用，因此对于多连域问题，同样需要考虑位移单值连续条件这将是十分复杂的。
§11.7 基于最小余能原理的近似计算方法
学习思路:
最小余能原理近似解法的基础是首先选择以级数形式表达的应力试函数。试函数满足满足平衡微分方程和面力边界条件，它是静力可能的应力。问题的求解级数确定试函数的待定系数。
将应力试函数代入总余能的表达式，于是总余能E't成为待定系数Am的二次函数， 这样就把求解泛函的驻值问题，转化成为求解函数的极值问题。
在利用最小余能原理求解弹性力学问题的近似解时，最困难的问题是应力试函数的选择必须同时满足平衡微分方程和面力边界条件。对于能够应用应力函数的平面和扭转问题，需要考虑的仅是应力试函数满足面力边界条件，比较容易得到解答
学习要点：
1、应力试函数；2、最小余能近似解；3、平面问题最小余能近似解；4、扭转问题最小余能近似解；5、矩形薄板。
1、应力试函数
本节讨论的近似计算方法仅限于线弹性问题。因此应变能与应变余能是相等的。
根据最小余能原理，如果可以将所有静力可能的应力全部列出，则其中使总余能取最小值的那一组应力分量就是真实应力。
对于实际的计算问题，列出所有的静力可能的应力是困难的。但是我们可以根据经验和感觉在一定的范围内部列出一族静力可能的应力，并在此找出一组应力分量使得总余能取最小值。虽然这一组应力分量一般并不是问题的真实应力，但是可以肯定的是它在这一族应力中是最接近真实应力的。因此这一组应力分量就是问题的近似解。
Папкович（帕普考维奇）建议，将应力分量的表达成如下形式

其中， 是平衡微分方程的特解，并且满足面力边界条件，当然，如果它还满足变形协调方程，则它就是问题的真解，这里不妨假设其是不满足变形协调方程的。
满足无体力的平衡微分方程和无面力的面力边界条件，当然，它也是不满足变形协调方程的。
Am(m=1,2,3,…)为任意常数。显然，应力试函数给出的应力分量是静力可能的。
2、最小余能近似解
将应力试函数代入总余能的表达式，于是原为应力泛函的总余能E't 成为关于待定系数Am(m=1,2,3,…)的二次函数，求解泛函极值的条件转换为
(m=1,2,3,…)
上式为关于待定系数Am(m=1,2,3,…)的线性非齐次方程组，求解线性方程组可以得到全部待定系数。回代到应力应力试函数表达式即可得到问题的近似解。
最小余能原理求解弹性力学问题的近似解时，最困难的问题是应力试函数的选择必须同时满足平衡微分方程和面力边界条件。
对于一般问题，构造同时满足面力边界条件和平衡微分方程的应力试函数是十分可能的。但是对于弹性力学的平面问题和柱体的扭转问题，由于应力函数的应用，使得应力分量自然满足平衡微分方程。因此，只需要考虑应力试函数的表达式满足面力边界条件。这将使得困难大为减少。
以下将分别介绍最小余能原理在平面问题和扭转问题中的应用。
对于平面应力问题，设板的厚度为1，由于只有应力分量 存在，而且这些应力分量均为x，y的函数，与坐标 z 无关。则弹性体的应变余能表达式为（对于线弹性问题，应变能和应变余能是相等的）

对于平面应变问题，只要将上式中的E和n分别用 替代即可。
3、平面问题最小余能近似解
如果讨论的平面问题是单连通的，应力分量和弹性常数是无关的，因此可以设泊松比n =0，这样应变余能表达式可以简化为

将应力分量用应力函数表达，在不计体力时，有

则

假如平面物体全部边界上的面力都是已知的，则根据最小功原理，有

不难证明，上述变分方程等价于 。
设应力函数为 。
为了使面力边界条件得到满足，设由 给出的应力分量满足实际的面力边界条件，而由 给出的应力分量应该满足面力为零的面力边界条件。Am(m=1,2,3,…)为任意常数，于是弹性体的余能成为关于Am(m=1,2,3,…)的二次函数，其取极值的条件为
(m=1,2,3,…)
上式为关于Am(m=1,2,3,…)的线性代数方程组。求解即可得到问题的近似解。
4、扭转问题最小余能近似解
以下介绍最小余能原理在柱体扭转中的应用。扭转问题的应变余能表达式为

其中l为杆的长度。按应力法求解，横截面上的切应力可以表示为应力函数的偏导数，则应变余能可以写作

为了建立适用于扭转问题的变分方程，需要计算面力在实际位移上做的功。在柱体的侧面，由于没有面力作用，因此也没有面力的功。在柱体的两端，面力合成为方向相反的两个扭T，而两端的相对扭转角为j l ，端面是位移已知的边界。因此面力在实际位移上做的功就等于

所以 。将上述结果代入总余能公式，则柱体扭转
问题的总余能为

求一阶变分，可得

上式即为柱体扭转问题的应力变分方程。在实际计算中，可以将应力函数y(x,y)定义为

其中，Am(m=1,23,…)为互相独立的m个待定系数。为了使应力函数ym满足边界条件，即应力函数y(x,y)在横截面的边界上等于零，必须设定ym在横截面的边界上等于零。
对于泛函总余能的一阶变分，即求解总余能的最小值的条件转换成为

通过上式可以确定待定系数Am(m=1,2,3,…)。
5、矩形薄板
例8: 图示矩形薄板，其两端受抛物线分布的拉力作用，求应力分量。

解：本问题的边界条件为

为了满足边界条件，设

显然以上假设满足面力边界条件。现在适当的选取 ，并且使与之对应的应力分量在边界为零。为达到这一目的，设各个函数 中都包括 这些因子，则这些函数对x，y的二阶偏导数在x=±a，y=±b为零。所以设

由于对称性，上式中仅取x和y的偶次幂，为了使得待定系数A1，A2…Am成为无因次的，所以上式中布置了因子qb2，并且使x和y分别除以 a和b等，如果在上式中仅取一项，即A1一个系数，则

将上式代入公式，则

对于正方形薄板，即a＝b，可得 A1=0.0425。因此，问题的应力分量近似解为

在薄板的中心，x=y=0，可得 sx =0.830q。
如果取A1，A2 ，A3三项，通过同样的运算，可得 A1=0.0414, A2=A3=0.0117, 在薄板的中心，x=y=0，可得sx0.862q。
为了得到更为精确的解答，应力试函数应该选取更多的项数。
§11.8 有限元原理基础知识
学习思路:
有限元原理是目前工程上应用最为广泛的结构数值分析方法，它的理论基础仍然是弹性力学的变分原理。在有限元方法中，试函数的选取不是整体的，而是在弹性体内分区（单元）完成的，因此试函数形式简单统一。
有限元原理将单元内部位移用节点位移表示，这可以使用插值函数构造单元位移函数。并且通过单元位移描述单元的应力和应变分量。通过最小势能原理建立单元位移与单元节点力的关系，构造单元平衡方程。对于由单元集合得到的弹性体整体，应用最小势能原理构造整体平衡方程。这个方程是一个线性方程组，求解可以得到弹性体的位移，以及单元的应力和应变分量。
近年来，随着计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得以有限元原理为代表的计算力学的迅速发展，改变了弹性力学理论在工程应用领域的处境。特别是以计算机的强大计算能力为后盾开发的大型通用有限元程序，目前已经成为工程技术人员手中强大的结构分析工具。
如果你需要进一步学习有限元方法的理论和应用，请查阅参考资料。
学习要点：
1、有限元原理与变分原理的关系；2、有限元原理的基本概念；3、单元与单元位移确定；4、有限元单元分析；5、有限元整体分析。
1、有限元原理与变分原理的关系
弹性力学问题的本质是求解偏微分方程的边值问题。由于偏微分方程边值问题