晶体中电子的输运性质.ppt

第六章 晶体中电子的输运性质,晶体中电子的速度、加速度和有效质量,导体、半导体和绝缘体,德哈斯-范阿尔芬效应,玻尔兹曼方程,驰豫时间的统计理论,纯金属的电导率和热导率,电子与晶格相互作用,金属的电阻率,第一节 晶体中电子的速度、,加速度和有效质量,本节主要内容：,6.1.1 波包和电子速度,6.1.2 电子的加速度和有效质量,6.1.3 晶体中电子在恒定电场中的运动,6.1 晶体中电子的速度、加速度和有效质量,6.1.1 波包和电子速度,该粒子(例如电子)空间分布在 附近的 范围内，动量取值为 附近 范围内；满足测不准关系。把波包中心 称为该粒子的位置，称为该粒子的动量。,1.波包：,晶体电子在波矢 状态的平均运动速度，相当于以 为中心的波包移动的速度。,自由电子波包：德布罗意波组成。,晶体周期性势场中的电子波包：布洛赫波组成。,由于波包包含不同能量本征态，必须考虑时间因子，把布洛赫波写成：,波包函数写成,式中已将,的变化范围限制在,由于,是小量，,2.电子速度,将 在 处展开,其中,相应的几率分布为：,由此可知，波包中心在,u,=,v,=,w,=0,处，,由,u,，,v,，,w,满足的关系式可看出，波包中心的位置是：,波包中心移动的速度为,6.1.2 电子的加速度和有效质量,如果有外力 作用在电子上，显然在,d,t,时间内，外力对电子将作功，其值为：,1.加速度,根据功能原理得电子的准(赝)动量。,由电子的平均速度即可求出它的平均加速度。,电子加速度公式用矩阵表示为,2.电子有效质量,上式与 形式类似，只是现在一个二阶张量代替了，称其为,倒有效质量张量,。,倒有效质量张量的分量为：,选,k,x,k,y,k,z,轴沿张量主轴方向，则有：,这时倒有效质量张量是对角化的。,下面以一维情况为例对电子有效质量进行简单的讨论。,(1)有效质量反比于能谱曲线的曲率，,E,k,有效质量小,有效质量大,(2)有效质量是,k,的函数，在能带底附近总是取正值；在能带顶附近总是取负值,。,例1：以体心立方晶格,，,紧束缚近似下的,s,能带为例，讨论有效质量的特点。,。,解：由紧束缚近似可得体心立方,s,能带的能量表达式：,在能带底部，,k,x,=,k,y,=,k,z,=0,处，,在能带顶部，,而在 处，,都变成,晶体中电子的有效质量为什么可能为负值？甚至还会变成无穷大呢？,晶体中的电子除受外力作用外，还和晶格相互作用。,但是 的具体表达式是难以得知的，要使上式中不出现,又要保持式子恒等，上式只好写成,设电子与晶格之间的作用力为 ，则牛顿定律简单记为,也就是说电子的有效质量,m,*,本身已概括了晶格的作用。,将冲量用动量的增量来代换，上式化为：,二式比较得：,从上式可以看出，当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量,m,*,0；,当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，,m,*,0；,当电子从外场获得的动量全部交给晶格时，,m,*,，,此时电子的平均加速度为零。,有效质量,m,*,是固体物理学中的一个重要概念。,(1),m,*,不是电子的惯性质量，而是在能量周期场中电子受外力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质量；,（2),m,*,不是一个常数，而是 的函数。一般情况下，它是一个张量，只有特殊情况下，它才可化为一标量的形式；,（3),m,*,可以是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在能带底附近，,m,*,总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动量，而在能带顶附近，,m,*,总是负的，表示电子从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。,有效质量与准动量都是人为定义的，用来描述晶体中电子的粒子性。用这些概念，处理晶体中电子的输运问题，可以把布洛赫电子看成是具有质量,m,*,、,动量为 的准电子，使我们能够只考虑外力作用下这样的准电子的运动,。,由于通常晶体周期场的作用是未知的，也不象外力那么容易求出，所以引入这两个,量,，给处理问题带来很大的方便,。,6.1.3 晶体中电子在恒定电场中的运动,以一维紧束缚近似为例,加速度为正,加速度为负,1.电子在,k,空间的图象,设沿-,x,方向加一恒定电场,，,电子受力,沿,x,轴正方向,(常量),电子在,k,空间作匀速运动,代表同一状态，电子在,k,空间作循环运动,，,电子速度作周期性振荡。,E,E,x,x,A,C,B,(,k,=0),电子在实空间里也是振荡的。,为一周期,T,T,=,简约区宽度/,v,(,k,),外电场的存在,附加电势能-,e,x,2.电子在实空间中的运动图象,(1)电子受晶体中杂质和缺陷及声子散射作用，电子来不及完成振荡运动就被散射破坏掉了；,(2)按照量子力学，电子遇到位垒时将有部分穿透位垒(遂道效应)，部分被反射回来。,实空间中电子的振荡运动很难看到。,第 二 节,导体、半导体和绝缘体的能带论解释,本节主要内容:,6.2.1 满带电子不导电,6.2.2 导体、半导体和绝缘体的能带,6.2.3 近满带和空穴,6.2.4 金属和绝缘体的转变,6.2.1 满带电子不导电,1.满带、导带、近满带和空带,(1)满带：能带中所有电子状态都被电子占据。,(2)导带：能带中只有部分电子状态被电子占据,其余为空态。,(3)近满带：能带中大部分电子状态被电子占据,只有少数空态。,(4)空带：能带中所有电子状态均未被电子占据。,6.2 导体、半导体和绝缘体的能带论解释,2.满带和导带中电子的导电情况,(1)无外电场,不论是否满带，电子填充 和-的几率相等。,据右图可看出,又,I,=0,导带,满带,E,A,E,A,(2)有外电场,轴上各点均以完全相同的速度移动，因此并不改变均匀填充各 态的情况。从,A,移出去的电子同时又从,A,移进来保持整个能带处于均匀填满的状况，并不产生电流,。,满带：,导带：,在外场作用下，电子分布将向一方移，破坏了原来的对称分布，而有一个小的偏移,这时电子电流将只是部分抵消，而产生一定的电流。,E,A,E,A,时,I,=0,导带,满带,6.2.2 导体、半导体和绝缘体的能带,有导带,导带,导体,半导体禁带窄,禁带,半导体,空带,禁带,绝缘体,空带,绝缘体禁带宽,几个实例,1.碱金属,Li,Na,K,n,s,电子只占一半能带，为导体。,2.碱土金属,Be,Mg,Ca,n,s,电子填满了,n,s,能带，但,n,s,能带与上面能带形成能带交叠，故仍为导体。,6.2.3 近满带和空穴,满带中少数电子受激发而跃迁到空带中去，使原来的满带变成近满带，近满带中这些空的状态，称为空穴。,空穴在外场中的行为犹如它带有正电荷+,e,。,(2),(3),(4),(1),设能带中有一个 态没有电子，即能带中出现一个空穴，空穴的波矢用 表示。,可以证明：,满带中,(2),如果满带中有一个电子逸失，系统的总波矢为空穴的波矢。,(1),(4),(3),6.2.4 金属和绝缘体的转变,典型例子：低温下固化的隋性气体在足够高的压强下可以发生金属化的转变。,这种与能带是否交叠相对应的金属-绝缘体的转变称为,Wilson,转变,。从非金属态变成金属态所需的压强称为金属化压强。,1.,Wilson,转变：,任何非导体材料在足够大的压强下可以实现价带和导带的重叠，从而呈现金属导电性。,Xe,在,高压,下,5,d,能带和,6,s,能带发生交叠，呈现金属化转变,。,2.结构变化引起的金属-绝缘体转变(,Peierls,转变,),设某金属，每个原胞有1个价电子，有一个半满的导带。,使原胞的晶格常量增大,费密半径,半满的导带,满带,金属,绝缘体,例1：半导体材料的价带基本上填满了电子(近满带)，价带中电子能量表示式,E,(,k,)=-,1.016,10,-34,k,2,(,J,)，,其中能量顶点取在价带顶,这时若,k,=1 10,6,/cm,处电子被激发到更高的能带(导带)，而在该处产生一个空穴，试求出此空穴的有效质量，波矢，准动量，共有化运动速度和能量,。,解:,(1),波矢：,(2)准动量：,(3),(4),(5),例2：晶格常量为,a,的一维晶格，其价带顶附近的色散关系为,其中,，在导带底附近的色散,关系为,求：,(1)禁带宽度；,(2)导带底电子的有效质量和价带顶空穴的有效质量；,(3)电子由价带顶激发到导带底时，准动量的变化；,(4)在外电场作用下，导带底的电子和价带顶空穴的加速度；,(5)设,a,=0.,25nm,，,=,100v,/,m,，,请求出空穴自价带顶漂移到,k,0,处所需的时间。,价带顶,导带底,(1)导带底,价带顶,(2)导带底,价带顶,(3),(4),(5),第 三 节,德哈斯-范阿尔芬效应,本节主要内容：,6.3.1 电子在磁场中的运动,6.3.2 朗道能级简并度,6.3.3 由能态密度解释德哈斯-范阿尔芬效应,6.3.4 晶体中电子的有效质量近似,6.3.5 回旋共振,电导率、比热等物理量也有类似的振荡现象。这些现象同金属费米面附近电子在强磁场中的行为有关，因而同金属费米面结构有密切的关系，这些效应已成为研究费米面的有力工具。,研究费米面的其他实验方法：磁致电阻、回旋共振、磁声几何效应等。,低温下强磁场中金属的磁化率随磁场倒数周期性振荡的现象称为,德哈斯-范阿尔芬效应。,6.3 德哈斯-范阿尔芬效应,1.,恒定磁场中的准经典运动,准经典运动的两个方程：,以自由电子为例加以讨论。,若磁场沿,k,z,方向，,6.3.1 电子在磁场中的运动,k,z,保持不变,在,k,x,-,k,y,面内做匀速圆周运动，回转的频率,。,(1)电子在 空间的运动图象,自由电子的等能面是球面，与,k,z,垂直的平面与等能面的交线就是一系列圆,。,(2)电子在实空间的运动图象,电子在 空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，回旋频率为 。,设外加磁场沿,z,轴方向，,2.磁场作用下自由电子运动的量子化理论,：电子的运动学动量，,：电子的场动量，,：矢量势，,中不含,x,，,z,，,所以它和算符 及 是对易的，其波函数可选为 的本征波函数。,波函数可以写成：,代入方程 得到,与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是一个中心在,y,0,的谐振子波动方程,。,回旋频率,谐振子能量,由量子力学知,(,n,+,1,/,2,),c,从准连续的能量 变成(,n,+,1,/,2,),c,。,沿磁场,B,方向，电子保持自由运动，,相应的动能为 。,在与磁场垂直的,k,z,常数的平面内，轨道是量子化的。,这些量子化的能级称为,朗道能级,。,在垂直磁场的,x,-,y,平面上，电子的运动是量子化的。,如图所示，在,波矢空间,形成一系列,“,圆柱面,”,，每一个圆柱面对应一个确定的量子数,n,，,可以看成是一个子带，在每一个子带中只有一维自由度,k,z,。,电子的能量由连续的能谱变成一维的磁次能带。,n,=,3,n,=,2,n,=,1,n,=,0,B,=,0,0,自由电子在磁场,中的能量,n,一定，电子的能带是一条抛物线，,n,=0,是最低的次能带，,n,增加，次能带向上移，各能带有一定交叠，如图给出磁次能带的简图。,不同的,y,0,并不影响谐振子的本征值,，而,y,0,又依赖于波矢分量,k,x,，,因此不同的状态可能会是简并态。,其简并度是多少呢？,6.3.2 朗道能级简并度,该范围内的波矢数为：,朗道能级简并度：,此简并度与磁感应强度,B,成正比，与能量无关，即无论能量为何值，简并度不变。,波矢空间状态代表点,k,x,k,y,无外磁场,有外磁场,加磁场后，这些点都汇聚到等能面上。,考虑到在,d,k,z,范围,k,z,有 个不同值，,在第,n,个次能带波矢,范围的状态数是,将,d,k,z,换成,d,E,，,就得到第,n,个次能带，能量在 之间的状态数目,6.3.3 由能态密度解释德哈斯-范阿尔芬效应,能量等于,E,的电子可以处于不同的次能带，所以总的态密度应是能带底位于,以下所有次能带对应能态的累计。,其中 的次能带的能带底刚好等于,或稍低。,右图给出这一能态密度曲线。,N,(,E,),1,.在,(,n,+,1,/,2,),c,处能态密度出现峰值。,2,.相邻峰值间能量差为,随着磁场增大，能态密度也增大，每个峰内包含的状态数增多。,设,B,=,B,1,时，有,n个峰，,E,F,=(,n,+,1,/,2,),eB,1,/,m,，,B,=,B,2,时，有,n,-,1,个峰，,E,F,=(,n,-,1,/,2,),eB,2,/,m,，,N,(,E,),当 满足此条件时，就会发生电子从上一个能带抽空而转化到比它能量低的次能带，系统的总能量,E,随之发生周期性的变化。,在绝对零度下，系统的磁矩 也随之振荡。,其周期为,S,是垂直磁场方向的费米面的极值面积。,只要从实验上测定磁矩,M,在不同方向上随,1,/,B,的变化周期，便可确定沿不同晶向的费米面，进一步得到金属费米面的形状。,磁场沿方向时,银的振荡曲线,多极值轨道,6.3.4 晶体中电子的有效质量近似,晶体中电子在磁场中运动时，需考虑到晶体周期性势场的影响，但一般半导体材料中导带底和价带顶附近，可以采用有效质量近似将前面由自由电子情况得到的结论，用有效质量,m,*,代替自由电子质量即可。,6.3.5 回旋共振,在恒定外磁场作用下，晶体中的电子将做螺旋运动，,回旋频率,：,若在垂直磁场方向加上频率为,的交变电场，当,=,0,时，交变电场的能量将被电子共振吸收，这个现象称为,回旋共振,。,按量子理论，共振吸收相当于实现了电子在朗道能级之间的跃迁。通过测量共振吸收频率，可以确定晶体中电子的有效质量。,第四节 玻尔兹曼方程,本节主要内容：,6.4.1 玻尔兹曼方程的微分积分方程,6.4.2 弛豫时间近似,金属中的电子，在外场作用下会产生附加运动。如在外加电场中，产生电流；在外加温度场中，产生热流。这种由外场引起的电荷或能量从一个区域到另一个区域的迁移现象称为输运现象。,电流密度：,为金属的电导率。,中的电子数：,取单位体积,V,C,=,1,中的电子对电流密度的贡献为：,6.4 玻尔兹曼方程,不同状态电子的分布函数不同，是在外场下的非平衡分布函数。,如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？,玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的方程。,由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。,6.4.1 玻尔兹曼方程的微分积分方程,电子分布函数,f,是波矢 、空间坐标 和时间,t,的函数,。,温度梯度,变化,f,变化,变化,f,变化,在外电场 和磁场 中，电子的运动规律是,以波矢 坐标 为变量组成的空间称为相空间。,在相空间中讨论非平衡条件下电子的分布函数。,1.相空间,描述,t,时刻电子在晶体内,处波矢为 的概率,。,电子分布函数的变化表示为,碰撞引起的分布函数的变化,2.分布函数的变化,漂移作用引起的分布,函数的变化,漂移项=外场作用力引起的电子波矢的漂移,+速度引起的电子位置的漂移,碰撞项：由于晶格原子的振动或杂质的存在等具体的原因，电子不断发生从 态的跃迁，电子态的这种变化常称为散射。,只考虑相同自旋态之间的跃迁。,处单位体积中处在 间的电子数,(1),态的散射概率为,(2),态空状态数为,(3),单位时间内由于碰撞而进入 态的电子数为,(4),(只考虑自旋相同的跃迁),单位时间内由于碰撞而离开 态的电子数为,(4),单位时间内由于碰撞而进入 态的电子数为,(5),如果系统处于稳定状态，则 ，即,它是一个微分-积分方程。由于难于求出此方程的解，因此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。,6.4.2 弛豫时间近似,式中 是平衡时的费米狄拉克分布函数，,是一个参量，称为弛豫时间，是,k,的函数。,电子的分布函数偏离了平衡分布，系统依赖碰撞恢复平衡分布,表示分布函数对平衡的偏离,1.无外场，无温度梯度,总之有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无休止的漂移；有了碰撞，就会使漂移受到遏制，被限制在一定程度而达到稳定分布。,2.外场和温度梯度存在,玻尔兹曼方程为：,第 五 节,弛豫时间的统计理论,本节主要内容：,6.5.1,(,k,),表达式,6.5.2,(,k,),的物理意义,6.5 弛豫时间的统计理论,以晶格各向同性以及弹性的电子散射为例说明,：,(1)究竟在什么情况下可以用,(,k,),来描述碰撞项？,(2),(,k,),由什么决定？,对于各向同性的弹性散射，能量 与 的方向无关，只是,k,的函数，,k,空间的等能面是一些围绕原点的同心球面。,即：,弹性散射，,k,状态的电子只能跃迁到相同能量,k,态，,6.5.1,(,k,),表达式,所以对于弹性散射的情况，即,E,=,E,，,有,1.当系统处于平衡态时,f,=,f,0,，,电子由,k,态向,k,态的跃迁与由,k,态向,k,态的跃迁达到细致的平衡。,2.当有外场存在和温度梯度时，一般来说，,f,偏离平衡态不太大，这时,对于各向同性弹性散射，取,又,所以,对于等能面是球面的弹性散射，只依赖于,的模以及 之间的夹角,，即,若金属处于恒定温度下，只施加外电场,，玻尔兹曼方程,化为：,又,将上面式子比较得,此时沿电场方向，电子散射前后的动量比是：,一个波矢为,k,=,k,x,的电子，经过弹性散射到达 的状态，如图所示,只有外电场的情况下，弛豫时间的统计表达式：,如果在上式中忽略掉(,1,-,cos,),因子，积分将表示在 状态的电子被散射的总的概率，因而，上式说明弛豫时间就是电子的自由碰撞时间。,式中(,1,-,cos,),因子的作用可作如下分析：,6.5.2,(,k,),的物理意义,若散射是小角度的，即,k,与,k,接近，,角很小，,(,1,-,cos,),值也很小，因此在积分中的贡献很小；相反若散射角很大，如,，即,k,在散射中几乎是反向的，这时的,(,1,-,cos,),值最大，因此这样的散射在积分中的贡献也很大。,第 六 节,纯金属的电导率和热导率,本节主要内容：,6.6.1 纯金属的电导率,6.6.2 纯金属的热导率,6.6纯金属的电导率和热导率,6.6.1 纯金属的电导率,电流密度可用垂直于电流方向单位时间通过单位面积的电 子数来计算。按经典理论,此处设金属的体积为单位体积。,电流密度：某点电流密度大小等于通过与该点场强方向垂直的单位截面积的电流强度,。,电流密度,电导率,那么,设均匀金属，无温度梯度，,只有弱电场,，,1.分布函数,玻尔兹曼方程,外电场一般总是比原子内部的电场小得多，可以认为,f,偏离平衡分布,f,0,不大，上式右边的,f,可用,f,0,代替所以,根据泰勒定理，上式可以看成式,上式说明，当施加电场后，波矢空间内稳定态的电子分布波函数，是平衡态分布函数 发生刚性平移产生的。,如果平衡态 对应一个费米球分布，,球心沿电场相反的方向刚性移动,也对应一个费米球分布，,则稳定态,泰勒展开的结果,2.,电流密度,由于 是波矢的偶函数，是波矢的奇函数，所以上式积分中的第一部分为零，,所以积分的贡献主要来自,E,=,E,F,附近，这样上述积分简化为在费米面,S,F,上的面积分。,如果外电场沿,x,轴方向，则上式变为,将上式与立方晶系金属中电流与电场的关系式,比较可得到立方结构金属的电导率,由此可见，对金属电导有贡献的只是费米面附近的电子，这一点与电子对比热的贡献类似。,如果金属电子的等能面是球面，则,在费米面上积分,6.6.2 纯金属的热导率,温差电场阻止电子由高温区向低温区扩散，最后电子达到稳定分布。,电子+,电子,+,温差电场,高温,低温,-,1.分布函数,设温度梯度沿,x,方向，则温差电场沿,x,方向,。,可写成,作为近似取,可以证明,则,电流密度,2.,金属的热导率,第一项表示温度梯度引起的扩散电流，,第二项表示温差电场引起的漂移电流。,当达到稳定态时，,单位时间内正向穿过单位面积的电子数目等于反向穿过单位面积的电子数目,，即电流密度,j,x,=0（,测量金属热导率时，金属通常处于开路状态），于是有,由此可得,由于高温区与低温区的电子携带的能量不相等，所以尽管这时正向反向穿过单位面积的电子数目相等，但是热能流密度,q,x,不等于零。,将上式与热传导方程 比较，得金属的电子热导率,利用积分,可求得,K,1,，,K,2,，,K,3,值，代入上式得,将金属的电导率 代入上式得,对于各种金属 有相同的结果，通常称 为,维德曼-弗兰兹比率。,实验表明，导电性较好的金、银和铜，在温度较高时，实验与理论符合较好，因此在温度较高时，金、银和铜的导电电子可以按自由电子模型来处理。,为,洛伦兹比。,第 七 节,电子与晶格相互作用,本节主要内容：,6.7.1 电子与晶格相互作用满足能量守恒,6.7.2 电子与晶格相互作用满足准动量守恒,6.7 电子与晶格相互作用,电子与晶格相互作用,电子与声子相互作用,此处只讨论每个原胞包含一个原子的情况。,设格点 处的原子实在其平衡位置时，其原子势场为,t,时刻，处原子的位移为,若原子势场随原子的位移作刚性变化，则势场变为：,6.7.1 电子与晶格相互作用满足能量守恒,设,A,表示振幅，表示振动方向上的单位矢量。,哈密顿量的变化为：,由微扰论知：,跃迁矩阵元：,跃迁概率：,跃迁概率最大的条件：,或,电子吸收一个声子的散射；,电子发射一个声子的散射；,6.7.2 电子与晶格相互作用满足准动量守恒,利用关系：,其中 为倒格矢。,矩阵元不为零的条件是：,或,电子发射一个声子的散射；,电子吸收一个声子的散射；,当,时，,称为,正常散射过程(,N,过程),当,时，,称为,反常散射过程(倒逆过程，,U,过程),或,电子发射一个声子的散射电子吸收一个声子的散射；,电子与晶格相互作用满足能量守恒和准动量守恒。,第八节 金属的电阻率,本节主要内容：,6.8.1 电阻的起因,6.8.2 纯金属的电阻率,6.8.3 杂质和缺陷对金属电阻率的影响,6.8 金属的电阻率,6.8.1 电阻的起因,1.理想晶体无电阻,一个理想的晶体是无限大的，既没有杂质和缺陷也没有晶格振动。,当能带只是部分填充时，在外电场作用下，这些电子的状态以匀速变化 ，使电子在布里渊区的分布不再对称，从而产生电流。,当外电场除去后，由于 ，电子在布里渊区的非对称分布不再变化，从而维持原来的电流不变，也就是说，在外电场为零的情况下，电流仍不等于零。,可知，电导率应为无穷大，电阻率应为零。,由,2.电阻来源于杂质、声子等对电子的散射,电阻是由在能带理论所作的几步近似中被忽略的因素引起的。即,绝热近似和周期场近似。,第一步绝热近似中，,认为离子实在格点上固定不动，忽略了晶格振动，这样在导电问题上忽略了声子与布洛赫电子的作用；,第二步周期场近似中,，认为晶格势能函数 处处符合晶格的严格周期性，忽略了晶体中的杂质和缺陷，这样在导电问题上忽略了布洛赫电子与这些杂质和缺陷的作用。,6.8.2 纯金属的电阻率,1.实验规律：,高温,低温,2.理论解释,对于纯金属，杂质和缺陷可以忽略不计，电阻率主要来,自晶格振动对电子的散射作用。,假设声子系统由所谓的平均声子所构成，在这个系统中每个声子的动量等于原声子系统中声子的平均动量。虽然金属中存在大量的电子，但参与导电的仅仅是费米面附近的电子。,电子与晶格的相互作用,电子与声子相互作用,费米面附近电子与声子相互作用,其中,Z,是一常数，是除,k,态外，费米面上其他电子态的总和。是电子遭受到一个平均声子散射作用所产生的散射角。,是波矢为,k,的电子在单位时间内与一个平均声子的碰撞概率，也即波矢为,k,的电子在单位时间内与平均声子的碰撞次数。,按照经典统计理论，单位时间内某,A,气体分子与,B,气体分子的碰撞次数，正比于,A,和,B,分子的平均相对速度以及,B,分子的浓度。因此,如果采用德拜模型，声子的速度近似为金属中的声速，,也是常数。所以电子与声子的平均相对速度是一常数。,-声子浓度，,-费米面附近电子与声子的平均相对速度,(,k,F,/m,*,)。,假设可以不计倒逆过程，只讨论电子的正常散射过程，由下图可知,电子-声子的正常散射,上式中 为声子的平均动量。,上式代入,得到,根据德拜模型知，而频率为,的声子数为,声子浓度,声子浓度,声子的平均波矢,可得纯金属的电阻率为：,其中 是金属的德拜温度，,A,是常数。,令 ，,高温时：,低温时：,6.8.3 杂质和缺陷对金属电阻率的影响,实际材料中存在的杂质与缺陷，也将破坏周期性势场，引起电子的散射。在金属中杂质与缺陷的影响一般来说是不依赖于温度,T,的，而与杂质、缺陷的浓度成正比。,在杂质浓度较小时，可以认为晶格振动与杂质、缺陷的散射相互独立，总的散射概率之和用弛豫时间表示可以写成：,第一项：表示晶格振动散射的贡献，,第二项：表示杂质、缺陷散射的贡献。,当,T,=0K,时，没有声子，,L,=0，,因此杂质与缺陷的存在可以改变金属电阻率的数值，但不改变电阻率的温度系数,d,/d,T,。,L,-,代表纯金属的电阻率；,r,-,表示杂质与缺陷的散射的影响，与温度无关。,=,r,称,r,为金属的,剩余电阻率,。,第六章 晶体中电子的输运性质,总 结,晶体中电子的速度、加速度和有效质量,导体、半导体和绝缘体,德哈斯-范阿尔芬效应,玻尔兹曼方程,驰豫时间的统计理论纯金属的电导率和热导率,电子与晶格相互作用,金属的电阻率,晶体中电子的速度、加速度和有效质量,1.电子运动速度,2.电子有效质量与加速度,有效质量,m,*,是固体物理学中的一个重要的概念。,（1）,m,*,不是电子的惯性质量，而是能量周期场中电子受外力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质量,；,（2）,m,*,不是一个常数，而是 的函数。一般情况下，它是一个张量，只有特殊情况下，它才可化为一标量的形式；,（3）,m,*,可以是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在能带底附近，,m,*,总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动量，而在能带顶附近，,m,*,总是负的，表示电子从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。,1.满带、导带、近满带和空带,(1)满带：能带中所有电子状态都被电子占据。,(2)导带：能带中只有部分电子状态被电子占据，其余为空态。,(3)近满带：能带中大部分电子状态被电子占据，只有少数空态。,(4)空带：能带中所有电子状态均未被电子占据。,导体、半导体和绝缘体,2.导体、半导体和绝缘体的能带,导带,有导带,导体,半导体禁带窄,禁带,半导体,空带,禁带,绝缘体,空带,绝缘体禁带宽,3.空穴,满带中少数电子受激发而跃迁到空带中去，使原来的满带变成近满带，近满带中这些空的状态，称为,空穴,。,空穴在外场中的行为犹如它带有正电荷+,e,。,(2),(1),(3),(4),低温下强磁场中金属的磁化率随磁场倒数周期性振荡的现象称为德哈斯-范阿尔芬效应。它是研究金属费米面的一种实验方法。,1.德哈斯-范阿尔芬效应,其振荡周期为,S,是垂直磁场方向的费米面的极值面积。,2.朗道能级,在某一方向如,z,方向加上磁场后，电子能量变为：,德哈斯-范阿尔芬效应,沿磁场,B,方向，电子保持自由运动，相应的动能为 ,在与磁场垂直的,k,z,常数的平面内，轨道是量子化的。,这些量子化的能级称为,朗道能级,。,在垂直磁场的,x,-,y,平面上，电子的运动是量子化的，从准连续的能量 变成,(,n,+,1,/,2,),c,。,在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动回旋频率,为 。,朗道能级简并度：,此简并度与磁感应强度,B,成正比，与能量无关，即无论能量为何值，简并度不变。,波矢空间状态代表点,k,x,k,y,无外磁场,有外磁场,玻尔兹曼,微分积分方程,玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的方程。,1.玻尔兹曼方程,玻尔兹曼方程,3.外场和温度梯度存在,玻尔兹曼方程为：,2.驰豫时间近似,如果在上式中忽略掉(,1,-,cos,),因子，积分将表示在 状态的电子被散射的总的概率，因而上式说明弛豫时间就是电子的自由碰撞时间。,式中(,1,-,cos,),因子的作用可作如下分析：,若散射是小角度的，即,k,与,k,接近，,角很小，,(,1,-cos,),值也很小，因此在积分中的贡献很小；相反若散射角很大，如,，即,k,在散射中几乎是反向的，这时的,(,1,-,cos,),值最大，因此这样的散射在积分中的贡献也很大。,驰豫时间的统计理论,电子与晶格相互作用满足能量守恒和准动量守恒。,当,时，,称为,正常散射过程(,N,过程),；,当,时，,称为,反常散射过程(倒逆过程，,U,过程),。,“,+,”,表示电子吸收一个声子的散射；,“,-,”,表示电子发射一个声子的散射；,电子与晶格相互作用,纯金属的电导率和热导率,立方结构金属的电导率,如果金属电子的等能面是球面,一、纯金属的电导率,二、纯金属的热导率,对于各种金属 有相同的结果，通常称 为,维德曼-弗兰兹比率,。,三、维德曼弗兰兹定律,维德曼-弗兰兹比率,：,洛伦兹比,:,当,T,=0K,时，没有声子，,L,=0，,杂质与缺陷的存在可以改变金属电阻率的数值，但不改变电阻率的温度系数,d,/d,T,。,L,-,代表纯金属的电阻率；,r,-,表示杂质与缺陷的散射的影响，与温度无关。,=,r,称,r,为金属的,剩余电阻率,。,金属的电阻率,高温,低温,