高一数学直线的倾斜角与斜率3.doc

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直线的倾斜角和斜率
知识和技能目标 ：
（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，
（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
过程和方法目标：
通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法。掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间的互化。
情感价值观目标：
（1） 培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。
（2） 帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
教学重点、难点：直线斜率的概念和公式
教学过程 ：
（一）直线方程的概念
一般地，满足函数式的每一对,的值，都是直线上的点的坐标（，）；
反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对x，y的值为坐标的点构成的．
从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数 的每一对,的值“变成了”二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系．
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．
问：你能用充要条件叙述吗？
答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．
（二）直线的倾斜角
【问题1】
请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．
； ；
过定点，方向不同．
如何确定一条直线？
两点确定一条直线．
还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？
学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．
【导入 】
今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．
【问题2】
在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．
学生：展开讨论．
通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．
【板书】定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．
（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．）
特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．
由此定义，角的范围如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π 如图3

至此问题2已经解决了回顾一下是怎么解决的．
（三）直线的斜率
【问题3】
下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：
直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？
学生：在练习本上画出直线，写出方程．
30° ß--à＝
45° ß--à＝
135°ß--à＝
（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）
观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中 系数变化的关系
(1) 直线变化→α变化→中的系数变化 （同时注意α的变化）．
(2) 中的x系数k变化→直线变化→α变化 （同时注意α的变化）．
教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！
【板书】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即 ．
这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．
指出下列直线的倾斜角和斜率：
(1) ＝- (2) ＝tg60° (3) ＝tg(-30°)
学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)
画图，指出倾斜角和斜率．
结合图3，观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．

注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．
α＝0° ß—à ＝0
0°＜α＜90° ß—à ＞0
α＝90° ß--à 不存在
90°＜α＜180°ß--à ＜0
（四）直线过两点斜率公式的推导
【问题4】
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义 ＝tgα求出直线的斜率；
如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？
即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．
思路分析：（首先由学生提出思路，教师启发、引导）
运用正切定义，解决问题．
(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）
(2)角α是“标准位置”吗？（不是．）
(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量．）
(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）
(5)直线的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2）

(6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．

评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．
【练习】
(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 α？
(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？
(3)直线 (-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？
(4)求经过两点 (0，0)、 (-1，)直线的倾斜角和斜率．
(5)课本第37页练习第2、4题．
教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．
【总结】
教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题：
(1)直线倾斜角的概念要注意什么？
(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？
(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？
学生边讨论边总结：
(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，α不存在．
(3) ＝（），没有．
【作业 】1.书上（ 略）

2．思考题
（1）方程是单位圆的方程吗？
（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？
（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？
（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？
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