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亚克力平板的受力凹陷及解决方法

一、受力分析概况
1、平板的几何特征及平板分类
几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。
分 类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。
图(1 )
t/b≤1/5时,为薄板;
w/t≤1/5时,为小挠度;按小挠度薄板计算(w为薄板在垂直于中面的变形量);
2、载荷与内力
载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷
②横向载荷：垂直于板中面的载荷
③复合载荷：包含上述两项载荷的合成;
内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形;
②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形;
◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。
◆现仅讨论弹性薄板的小挠度理论。
3、弹性薄板的小挠度理论基本假设:
① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线的挠度;只有横向力载荷。
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。
◆研究: 弹性,薄板 / 受横向载荷 / 小挠度理论 / 近似双向弯曲问题
二、 圆平板对称弯曲微分方程
分析模型

图(2 )

分析模型：半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz，在r、θ、z圆柱坐标系中，有内力Mr、Mθ、Qr 三个内力分量;
轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r、θ、z圆柱坐标系中，挠度只是 r 的函数，而与θ无关。
微元体：用半径为r和r+dr的圆柱面和夹角为dθ的两个径向截面截取板上一微元体。图(3 )如下:
微元体内力 ：
径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr
周向：Mθ
横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr
微元体外力 ：
上表面

图(4 )
1、平衡方程
微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即ΣMT=0

（2-1）
（圆平板在轴对称载荷下的平衡方程）图(5 )如下:

2、几何协调方程(W~ε)
取，径向截面上与中面相距为z，半径为r与两点A与B构成的微段

图(6 )
板变形后：
微段的径向应变为 （第2假设）
过A点的周向应变为（第1假设）
作为小挠度，带入以上两式，得
应变与挠度关系的几何方程：
（2-2）
3、物理方程
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为：
（2-3）
4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程
(2-2)代入2-3)式：
（2-4）
通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩和表示成的形式。由式（2-4）可见，和沿着厚度(即z方向)均为线性分布，图(7)中所示为径向应力的分布图。
图(7) 圆平板内的应力与内力之间的关系
、的线性分布力系便组成弯矩、。单位长度上的径向弯矩为：

（2-5a）
同理 （2-5b）

“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关,将(2-5)代入(2-4)，得弯矩和应力的关系式为：
（2-6）
(2-5)代入平衡方程(2-1)，得：
即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：
（2-7）
Qr值可依不同载荷情况用静力法求得
三、 圆平板中的应力
承受均布载荷时圆平板中的应力：①简支;②固支;
承受集中载荷时圆平板中的应力

图(8)均布载荷作用时圆板内Qr的确定

一、承受均布载荷时圆平板中的应力
据图(8)，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：
代入2-60式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为：

对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率：
（2-8）
对r连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度。
（2-9）
C1、C2、C3均为积分常数。
对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 ＝0 ，于是上述方程改写为：
（2-10）
式中C1、C3由边界条件确定。
下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件)
①周边固支圆平板
②周边简支圆平板

周边固支圆平板 周边简支圆平板
图(9) 承受均布横向载荷的圆板

1、周边固支圆平板：（在支承处不允许有挠度和转角）
图(10)周边固支圆平板

将上述边界条件代入式（2-10），解得积分常数：
代入式（2-10）得周边固支平板的斜率和挠度方程：
（2-11）

将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-5），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：
（2-12）
由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式(Z=t/2)：
（2-13）
周边固支圆平板下表面的应力分布，如图 (11)所示。
图(11) 圆板的弯曲应力分布（板下表面）
最大应力在板边缘上下表面，即
2、周边简支圆平板
将上述边界条件代入式（2-10），解得积分常数C1、C3：
代入式（2-10）得周边简支平板的挠度方程：
（2-14）

图(12) 周边简支圆平板
弯矩表达式：
（2-15）
应力表达式：
（2-16）
可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处，

周边简支板下表面的应力分布曲线见图 (11b)。
3、比较两种支承
a. 边界条件
周边固支时:
周边简支时:
b. 挠度
周边固支时，最大挠度在板中心 （2-17）
我们知道：亚克力板的弹性模量E=3.06GPa,μ=0.32,ρ=1.19g/cm3,当R=500mm时：
(1): t=3mm,D’=767.13kg.mm, Wmax(f)=4.54mm
(2): t=4mm,D’=1818.38kg.mm,Wmax(f)=2.56mm
(3): t=5mm,D’=3551.5kg. mm,Wmax(f)=1.64mm
周边简支时，最大挠度在板中心 （2-18）
μ=0.32, Wmax(s)/ Wmax(f)=5+μ/1+μ=4.03
(1): t=3mm,Wmax(s)=4.54x4.03=18.3mm
(2): t=4mm,Wmax(s)=2.56x4.03=10.3mm
(3): t=5mm,Wmax(s)=1.64x4.03=6.6mm
而当R=1000mm时：
(1): t=3mm,Wmax(f)=72.7mm, Wmax(s)=72.7x4.03=293mm;
(2): t=4mm,Wmax(f)=40.9mm, Wmax(s)=40.9x4.03=164.8mm;
(3): t=5mm,Wmax(f)=26.2mm, Wmax(s)=26.2x4.03=105.6mm;

表明: 周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。
尽量采用周边固支板。
c. 应力
周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为
（2-19）
周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为
（2-20）
→
表明: 周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。
内力引起的切应力：
在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力（处），
近似采用矩形截面梁中最大切应力公式，
得到
最大正应力与同一量级；
最大切应力则与同一量级。
因而对于薄板R>>t，板内的正应力远比切应力大。
从以上可以看出：与圆平板的材料（E、μ）、半径、厚度有关。
所以,要解决亚克力平板凹陷的常规方法有:
●若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正应力。
●工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于固支条件;
●增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度;

姚建强
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