极限知识点总结及高考题萃.doc

极 限
第一部分知识点
第二部分六年高考题萃
考试内容：
 　教学归纳法．数学归纳法应用．
　 数列的极限．
　 函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
极 限 知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确；②假设当（）时，结论正确，证明当时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果
①当（）时，成立；
②假设当（）时，成立，推得时，也成立.
那么，根据①②对一切自然数时，都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：
①
②当时，.
⑵几个常用极限：
①（为常数）
②
③对于任意实常数，
当时，
当时，若a = 1，则；若，则不存在
当时，不存在
⑶数列极限的四则运算法则：
如果，那么
①
②
③
特别地，如果C是常数，那么
.
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为.
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限；
⑴当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为.记作或当时，.
注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求.（当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关.函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.）
如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.
⑵函数极限的四则运算法则：
如果，那么
①
②
③
特别地，如果C是常数，那么
.
（）
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.
⑶几个常用极限：
①
②（0＜＜1）；（＞1）
③
④，（）
4. 函数的连续性：
⑴如果函数f（x），g（x）在某一点连续，那么函数在点处都连续.
⑵函数f（x）在点处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点处有定义；②存在；③函数f（x）在点处的极限值等于该点的函数值，即.
⑶函数f（x）在点处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f（x）的不连续点.
①f（x）在点处没有定义，即不存在；②不存在；③存在，但.
5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（＜＜）使.
⑵介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（＜＜）.
⑶夹逼定理：设当时，有≤≤，且，则必有
注：：表示以为的极限，则就无限趋近于零.（为最小整数）
6. 几个常用极限：
①
②
③为常数）
④
⑤为常数）
极限汇编
六年高考荟萃
2010年高考数学分章汇编
极限与连续性
一、选择题:
1.(2010年高考数学湖北卷理科7）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，
又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设为前个
圆的面积之和，则
A． B.
C. D.
【答案】C

2．（2010年高考四川卷理科2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是

（A） （B） （C） （D）
解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.w_w_w.k*s 5*u.c o*m
答案：D
3．（2010年高考四川卷理科8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则
（A）0 （B） （C） 1 （D）2
解析：由,且 w_w_w.k*s 5*u.c o*m
作差得an＋2＝2an＋1
又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 Þ a2＝2a1w_w w. k#s5_u.c o*m

故{an}是公比为2的等比数列
Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1
则
答案：B
4．（2010年高考江西卷理科4）
A． B． C． D．不存在
【答案】B
5.(2010年高考重庆市理科3)＝
（A） －1 （B） － （C） （D） 1
【答案】B
解析：=.
二、填空题：
1．（2010年高考上海市理科11）将直线、（，）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为，则 。
【答案】1
2．
（2010年上海市春季高考14)

答案：。
解析：不妨取，……
故

故，故答案为1.
三、解答题：
1．(2010年高考全国2卷理数18）（本小题满分12分）
已知数列的前项和．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：．
【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.[来源:Z&xx&k.Com]
【参考答案】

【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.
估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.

2009年高考题
一、选择题
1、（09重庆理8）已知，其中，则的值为 （ ）
A.6 B. C. D.
【解析】

答案 D
2、（09湖北理6）设，
则 （ ）
A.-1 B.0 C.1 D.
【解析】令得令时
令时
两式相加得：
两式相减得：
代入极限式可得，故选B
答案 B
二、填空题
3、（09陕西理13）设等差数列的前n项和为,若,则 .
答案 1
2005—2008年高考题
一、选择题
1、（2007年江西） （　　）
Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于 Ｄ．不存在
答案 B
2、（2007年湖北）已知和是两个不相等的正整数，且，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
答案 Ｃ
3、（2006湖南）数列{}满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则
( )
A. B. C. D.2
【解析】数列满足: , 且对任意正整数都有，，∴数列是首项为，公比为的等比数列。，选A.
答案 A
4、（2005年全国Ⅱ理5） ( )
A B C D
【解析】
,选(A)
答案 A

二、填空题
5、（2008上海2）计算： .
答案
6、（2007年全国Ⅱ理16）已知数列的通项an=－5n+2,其前n项和为Sn, 则= .
答案 -
【解析】数列的通项an=－5n+2，其前n项和为Sn，则=－.
7、（2006天津）设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角，（其中），设
，则= ．
【解析】函数，点表示坐标原点，点，若向量
=，是与的夹角，（其
中），设，则=1．
答案 1
8、（2005年上海2） .
答案 0
三、解答题
9、（2007年辽宁）已知数列，与函数，，满足条件：
，.
（I）若，，，存在，求的取值范围；
（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）．
(Ⅰ)解法一：由题设知得，又已知,可得

由 其首项为.于是

又liman存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且

解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且可得

由可知,所以是首项为,公的等比数列.

由 可知，若存在，则存在.于是可得0＜＜1,所以-1＜t.
=2
解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即
①
于是有
②
②-①得

由，所以是首项为b公比为的等比数列，于是

（b2-b1）+2b.
又存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且

说明：数列通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准.
(Ⅱ)证明因为.
下面用数学归纳法证明＜.
(1)当n=1时，由f(x)为增函数,且＜1,得
＜1
＜1
＜，
即＜，结论成立.
（2）假设n=k时结论成立，即＜.由f(x)为增函数，得
＜f即＜进而得
＜f()即＜.
这就是说当n=k+1时，结论也成立.
根据（1）和（2）可知，对任意的，＜.

第二部分 三年联考汇编
2009年联考题
一、选择题
1、(2009年3月襄樊市高中调研统一测试理)的值为 ( )
A．0 B．1 C． D．
答案 C
2、(湖北省八市2009年高三年级三月调考理)若(1+5x)n的展开式中各项系数之和为an，(7x2
＋1)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn，则的值是 （ ）
A． B． C．1 D．－
答案 A
3、（2009衡阳四校联考）若（P∈R，P为常数），则a和P的值分别为（ ）
A． 0， B． 1， C． D．
答案 D
4、（2009牟定一中期中）若的
值为 （ ）
A. －2 B. C. D.
答案 B
5、（2009宣威六中第一次月考）下列命题不正确的是（ ）
A．如果 f (x) = ，则 f (x) = 0
B．如果 f (x) = 2 x－1，则 f (x) = 0
C．如果 f (n) = ，则 f (n) 不存在
D．如果 f (x) = ，则 f (x) = 0
答案 D
6、（2009宣威六中第一次月考），则（ ）
A． B． C． D．
答案 A

二、填空题
7、（2009上海十四校联考）如图，在杨辉三角中，斜线上方
的数组成数列：
1，3，6，10，…，记这个数列的前n项和为Sn，
则= .
答案 6

8、（2009上海奉贤区模拟考）已知各项均为正数的等比数列
的首项，公比为，前n项和为，若，则公比为的取值范围是 。
答案
9、（2009闵行三中模拟）若实数满足，则____________.答案3
10．(北京市石景山区2009年4月高三一模理)若展开式的第项为，则= ．
答案 2
11. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测理) 设等比数列的前项和为，若
，则= 。
答案 4
12、（2009厦门一中）若函数在处的，则等于_______________
答案 －2
13. (湖北省2009年3月高三八校第二次联考理科) 设是的展开式中项的系
数（、、、…），则________.
答案 18
14、（2009张家界市11月考）已知，则= （其中为
虚数单位）
答案 1-i.

15、（2009上海闸北区）若展开式的第9项的值为12，则
= ．
答案 2
16、（2009上海九校联考）设常数>0，的展开式中，的系数为，
则
答案
17、（2009宣威六中第一次月考）= .
答案 -3
三、解答题
18、（2009冠龙高级中学3月月考）由函数确定数列，，函数的反函数能确定数列，若对于任意，都有，则称数列是数列的“自反数列”。
(1)若函数确定数列的自反数列为，求的通项公式；
(2)在(1)条件下，记为正数数列的调和平均数，若，
为数列的前项和，为数列的调和平均数，求；
(3)已知正数数列的前项之和。求的表达式。
解 (1) 由题意的：f –1(x)== f(x)=，所以p = –1，所以an=

(2) an=，dn==n，
Sn为数列{dn}的前n项和，Sn=，又Hn为数列{Sn}的调和平均数，
Hn=== ==
(3) 因为正数数列{cn}的前n项之和Tn=(cn+)，
所以c1=(c1+)，解之得：c1=1，T1=1
当n≥2时，cn = Tn–Tn–1，所以2Tn = Tn–Tn–1 +，
Tn +Tn–1 = ，即：= n，
所以，= n–1，= n–2，……，=2，累加得：
=2+3+4+……+ n， =1+2+3+4+……+ n =，Tn=
19、（2009上海普陀区）设数列的前项和为，. 对任意，向量、都满足，求.
解 因为，所以由条件可得，.
即数列是公比的等比数列.
又，所以，.

2007—2008年联考题

一、选择题
1、（2008荆门市实验高中测试）
等于 ( )
A.1 B. C. c D.1或
答案 D
2、（2008荆门市实验高中测试）下列极限存在的是 ( )
① ② ③ ④
A.①②④ B.②③ C.①③ D.①②③④
答案 C
3、（2008荆门市实验高中测试）已知a,b时互不相等的正数，则
等于 （ ）
A.1 B.1或－1 C.0 D.0或－1

答案 B
4、(淮南市部分重点中学2007年高三数学素质测试）设
存在，则常数b的值是 （ ）
A．0 B．1 C．－1 D．e
.答案 B
5、 (巢湖2007二模)若,则常数、的值为 （ ）
A.， B. ， C. ， D.
.答案 C
6、(皖南八校2007届一联）的值为 （ ）
A．0 B．不存在 C．－ D．
.答案 C
7、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4… …则这个数列的第2006个数是 ( )

A 62 B.63 C 64 D 65
答案 B
8、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）函数f（x）=的不连续
点为 ( )
A x= B x=1 C x= D 以上答案都不对
答案A
9、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）用数学归纳法证明命题时，此命题
左式为，则n=k+1与n=k时相比，左边应添加 ( )
A． B．
C． D．

答案C
二、填空题
10、 （2008荆门市实验高中测试） 若 。
.答案 2
11、（2008荆门市实验高中测试） _____________。
答案 －1
12、（2008宣威六中高三数学测试）_________。
答案 －1
13、（安徽宿州三中2007年三模）已知，则 。
答案 -8
三、解答题
14、 （2008荆门市实验高中测试）求
解
15、 （2008荆门市实验高中测试）已知，求a 的取值范围.
解 依题意有：

16、 (南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练)已知递增等比数列{an}满足：a2+a3+a4＝28且a3+2是a2和a4的等差中项，
⑴求数列{an}的通项公式；
⑵若，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求
解 ：（1）设公比为，则。
据题意得：
所以
（2）因为
所以
故

17、(南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练)
数列
（1）求
（2）证明猜想的正确性
解 ：
同理得，
猜想
（2）证明：n=1时，
假设n=k 时，猜想正确，即
又

即n=k+1时也成立

18、 (南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练)函数的定义域为R，
且
（1）求证：
（2）若上的最小值为，
求证：.
解 ⑴定义域为R，

⑵由⑴知

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